《新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第二章 :第四節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第二章 :第四節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)(5頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料
第四節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)
【考綱下載】
1.了解冪函數(shù)的概念;結(jié)合函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x的圖象,了解它們的變化情況.
2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.
1.冪函數(shù)的定義
形如y=xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中x是自變量,α為常數(shù).
2.五種冪函數(shù)的圖象
3.五種冪函數(shù)的性質(zhì)
y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
定義域
R
R
R[來(lái)源:]
[0,+∞)
(-∞,0)∪(0,+∞)
值域
R
[0,+∞)
R
[0,+∞
2、)
(-∞,0)∪(0,+∞)
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
單調(diào)性
增[來(lái)源:]
x∈[0,+∞) 時(shí),增
增[來(lái)源:]
增
x∈(0,+∞) 時(shí),減
x∈(-∞,0] 時(shí),減
x∈(-∞,0) 時(shí),減
4.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
a>0
a<0
圖象
定義域
R
值域
單調(diào)性
在上遞減,在上遞增
在上遞增,在上遞減
奇偶性
b=0時(shí)為偶函數(shù),b≠0時(shí)為非奇非偶函數(shù)
圖象特點(diǎn)
①對(duì)稱軸:x=-;②頂點(diǎn):
1.函數(shù)y=(x+1)3,y=x3+1,y=都是冪函數(shù)嗎?
提示:y=(x+1)3與y=x3+1不
3、是冪函數(shù);y=是冪函數(shù).
2.冪函數(shù)的圖象能出現(xiàn)在第四象限嗎?
提示:不能.因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí),根據(jù)冪運(yùn)算,冪函數(shù)y=xα>0恒成立,所以冪函數(shù)在第四象限沒有圖象.
3.a(chǎn)x2+bx+c>0(a≠0)與ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的條件分別是什么?
提示:(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要條件是
(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要條件是
1.已知點(diǎn)M在冪函數(shù)f(x)的圖象上,則f(x)的表達(dá)式為( )
A.f(x)=x2 B.f(x)=x-2 C.f(x)=x D.f(x)=x
解析:選B 設(shè)f(x)=xα
4、,則3=α,∴α=-2.即f(x)=x-2.
2.(教材習(xí)題改編)如圖中曲線是冪函數(shù)y=xn在第一象限的圖象.已知n取±2,±四個(gè)值,則相應(yīng)于曲線C1,C2,C3,C4的n值依次為( )
A.-2,-,,2 B.2,,-,-2
C.-,-2,2, D.2,,-2,-
解析:選B 由冪函數(shù)圖象及其單調(diào)性之間的關(guān)系可知,曲線C1,C2,C3,C4所對(duì)應(yīng)的n依次為2,,-,-2.
3.函數(shù)f(x)=(m-1)x2+2mx+3為偶函數(shù),則f(x)在區(qū)間(-5,-3)上( )
A.先減后增 B.先增后減 C.單調(diào)遞減 D.單調(diào)遞增
解析:選D 因?yàn)閒(
5、x)=(m-1)x2+2mx+3為偶函數(shù),所以2m=0,即m=0.所以f(x)=-x2+3.
由二次函數(shù)的單調(diào)性可知,f(x)=-x2+3在(-5,-3)上為增函數(shù).
4.已知f(x)=4x2-mx+5在[2,+∞)上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=4x2-mx+5的單調(diào)遞增區(qū)間為,所以≤2,即m≤16.
答案:(-∞,16]
5.設(shè)函數(shù)f(x)=mx2-mx-1,若f(x)<0的解集為R,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
解析:當(dāng)m=0時(shí),顯然成立;當(dāng)m≠0時(shí),解得-4<m<0.
綜上可知,實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-4,0].
答案
6、:(-4,0]
數(shù)學(xué)思想(二)
分類討論在求二次函數(shù)最值中的應(yīng)用
二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題,一定要根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系確定最值,當(dāng)函數(shù)解析式中含有參數(shù)時(shí),要根據(jù)參數(shù)的最值情況進(jìn)行分類討論.
[典例] (2014·運(yùn)城模擬)已知x∈[-1,1]時(shí),f(x)=x2-ax+>0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(0,2) B.(2,+∞) C.(0,+∞) D.(0,4)
[解題指導(dǎo)] f(x)>0恒成立?f(x)min>0.求函數(shù)f(x)=x2-ax+的最小值應(yīng)抓住問(wèn)題中的區(qū)間兩端點(diǎn)與對(duì)稱軸的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論,結(jié)合圖象和函數(shù)的單調(diào)性
7、及恒成立條件建立關(guān)于a的不等式求解.
[解析] 二次函數(shù)圖象開口向上,對(duì)稱軸為x=,又x∈[-1,1]時(shí),f(x)=x2-ax+>0恒成立,即f(x)最小值>0.
①當(dāng)≤-1,即a≤-2時(shí),f(-1)=1+a+>0,解得a>-,與a≤-2矛盾;
②當(dāng)≥1,即a≥2時(shí),f(1)=1-a+>0,解得a<2,與a≥2矛盾;
③當(dāng)-1<<1,即-2<a<2時(shí),Δ=(-a)2-4·<0,解得0<a<2.綜上得實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,2).
[答案] A
[題后悟道] 二次函數(shù)求最值問(wèn)題,一般先用配方法化為y=a(x-m)2+n的形式,得頂點(diǎn)(m,n)和對(duì)稱軸方程x=m,結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解
8、.常見有三種類型:
(1)頂點(diǎn)固定,區(qū)間也固定;
(2)頂點(diǎn)含參數(shù)(即頂點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)),區(qū)間固定,這時(shí)要討論頂點(diǎn)橫坐標(biāo)何時(shí)在區(qū)間之內(nèi),何時(shí)在區(qū)間之外;
(3)頂點(diǎn)固定,區(qū)間變動(dòng),這時(shí)要討論區(qū)間中的參數(shù).
討論的目的是確定對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系,明確函數(shù)的單調(diào)性,從而確定函數(shù)的最值.
已知函數(shù)f(x)=ax2+2ax+1在區(qū)間[-1,2]上有最大值4,則實(shí)數(shù)a的值為________.
解析:f(x)=a(x+1)2+1-a.
(1)當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上的值為常數(shù)1,不符合題意,舍去;
(2)當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上是增函數(shù),最大值為f(2)=8a+1=4,解得a=;
(3)當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上是減函數(shù),最大值為f(-1)=1-a=4,解得a=-3.
綜上可知,a的值為或-3.
答案:或-3