新編與名師對話高三數(shù)學文一輪復習課時跟蹤訓練：選修4－4 坐標系與參數(shù)方程 課時跟蹤訓練61 Word版含解析

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1、 課時跟蹤訓練(六十一) [基礎鞏固] 1．(20xx·全國卷Ⅲ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsin＝2. (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程； (2)設點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標． [解]　(1)C1的普通方程為＋y2＝1.C2的直角坐標方程為x＋y－4＝0. (2)由題意，可設點P的坐標為(cosα，sinα)．因為C2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值，d(α)＝＝. ∴當sin＝1時，d的最

2、小值為，此時α＝＋2kπ，k∈Z，∴P點坐標為. 2．(20xx·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝4cosθ. (1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程； (2)直線C3的極坐標方程為θ＝α0，其中α0滿足tanα0＝2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a. [解]　(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓． 將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標方程為ρ2－2ρsin

3、θ＋1－a2＝0. (2)曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組 若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0， 由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0， 從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1. a＝1時，極點也為C1，C2的公共點，在C3上， 所以a＝1. 3．(20xx·湖北七市聯(lián)考)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t是參數(shù))，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝8cos. (1)求曲線C2的直角坐標方程，并指出其表示何種曲線； (2)若曲線C1與曲線C2交于A，B

4、兩點，求|AB|的最大值和最小值． [解]　(1)對于曲線C2有ρ＝8cos，即ρ2＝4ρcosθ＋4ρsinθ，因此曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2－4x－4y＝0，其表示一個圓． (2)聯(lián)立曲線C1與曲線C2的方程可得t2－2sinα·t－13＝0，|AB|＝|t1－t2|＝＝＝， 因此|AB|的最小值為2，最大值為8. 4．(20xx·東北三省四市二模)已知在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．曲線C1的極坐標方程為ρ＝4cosθ，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))． (1)求曲線C1的直角坐標方程及直線l的普通方程； (2)若曲線C2的參數(shù)方

5、程為(α為參數(shù))，曲線C1上的點P的極角為，Q為曲線C2上的動點，求PQ的中點M到直線l的距離的最大值． [解]　(1)由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ， 又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以曲線C1的直角坐標方程為x2＋y2－4x＝0， 由直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t得直線l的普通方程為x＋2y－3＝0. (2)因為點P的極坐標為，直角坐標為(2,2)， 點Q的直角坐標為(2cosα，sinα)， 所以M， 點M到直線l的距離d＝＝， 當α＋＝＋kπ(k∈Z)，即α＝＋kπ(k∈Z)時，點M到直線l的距離d的最大值為. 5．(20xx·西寧統(tǒng)一測試)已

6、知曲線C：＋＝1，直線l：(t為參數(shù))． (1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程； (2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值． [解]　(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 直線l的普通方程為2x＋y－6＝0. (2)曲線C上任意一點P(2cosθ，3sinθ)到l的距離為d＝|4cosθ＋3sinθ－6|， 則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tanα＝. 當sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為. 當sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為. [能力提升] 6．(

7、20xx·陜西西安地區(qū)高三八校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝2sinθ，θ∈[0,2π]． (1)求曲線C的直角坐標方程； (2)在曲線C上求一點D，使它到直線l：(t為參數(shù))的距離最短，并求出點D的直角坐標． [解]　(1)由ρ＝2sinθ，θ∈[0,2π]，可得ρ2＝2ρsinθ. 因為ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y(tǒng)， 所以曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2y＝0(或x2＋(y－1)2＝1)． (2)因為直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 消去t得直線l的普通方程為y＝－x＋5. 因為曲線C：x2

8、＋(y－1)2＝1是以G(0,1)為圓心、1為半徑的圓，(易知C、l相離) 設點D(x0，y0)，且點D到直線l：y＝－x＋5的距離最短， 所以曲線C在點D處的切線與直線l：y＝－x＋5平行． 即直線GD與l的斜率的乘積等于－1，即×(－)＝－1， 又x＋(y0－1)2＝1， 可得x0＝－(舍去)或x0＝，所以y0＝， 即點D的坐標為. 7．(20xx·湖南五市十校高三聯(lián)考)在直角坐標系xOy中，設傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C：(θ為參數(shù))相交于不同的兩點A，B. (1)若α＝，求線段AB的中點的直角坐標； (2)若直線l的斜率為2，且過已知點P

9、(3,0)，求|PA|·|PB|的值． [解]　(1)由曲線C：(θ為參數(shù))，可得曲線C的普通方程是x2－y2＝1. 當α＝時，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 代入曲線C的普通方程，得t2－6t－16＝0，設A，B兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2， 則t1＋t2＝6，所以線段AB的中點對應的t＝＝3， 故線段AB的中點的直角坐標為. (2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，化簡得 (cos2α－sin2α)t2＋6tcosα＋8＝0， 則|PA|·|PB|＝|t1t2|＝＝， 由已知得tanα＝2，故|PA|·|PB|＝. 8．在平面直角坐標系xOy中，曲線C1：(φ

10、為參數(shù))，其中a>b>0.以O為極點，x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝2cosθ，射線l：θ＝α(ρ≥0)．若射線l與曲線C1交于點P，射線l與曲線C2交于點Q，當α＝0時，|PQ|＝1；當α＝時，|OP|＝. (1)求曲線C1的普通方程； (2)設直線l′：(t為參數(shù)，t≠0)與曲線C2交于點R，若α＝，求△OPR的面積． [解]　(1)因為曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，且a>b>0，所以曲線C1的普通方程為＋＝1，而其極坐標方程為＋＝1. 將θ＝0(ρ≥0)代入＋＝1，得ρ＝a，即點P的極坐標為(a,0)， 將θ＝0(ρ≥0)代入ρ＝2cosθ，得ρ＝2，即點

11、Q的坐標為(2,0)． 因為|PQ|＝1，所以|PQ|＝|a－2|＝1，所以a＝1或a＝3. 將θ＝(ρ≥0)代入＋＝1，得ρ＝b，即點P的極坐標為， 因為|OP|＝，所以b＝，因為a>b>0，所以a＝3， 所以曲線C1的普通方程為＋＝1. (2)因為直線l′的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，t≠0)，所以直線l′的普通方程為y＝－x(x≠0)，而其極坐標方程為θ＝－(ρ∈R，ρ≠0)， 所以將直線l′的方程θ＝－代入曲線C2的方程ρ＝2cosθ，得ρ＝1，即|OR|＝1. 因為將射線l的方程θ＝(ρ≥0)代入曲線C1的方程＋＝1，得ρ＝，即|OP|＝，所以S△OPR＝|OP||OR|·sin∠POR＝××1×sin＝.