新編【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué)理一輪突破熱點(diǎn)題型：第8章 第8節(jié)　曲線與方程

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1、 第八節(jié)　曲線與方程 考點(diǎn)一 定義法求軌跡方程 　 [例1]　(20xx·鄭州模擬)已知A(－5,0)，B(5,0)，動點(diǎn)P滿足||，||,8成等差數(shù)列． (1)求點(diǎn)P的軌跡方程； (2)對于x軸上的點(diǎn)M，若滿足||·||＝2，則稱點(diǎn)M為點(diǎn)P對應(yīng)的“比例點(diǎn)”．問：對任意一個確定的點(diǎn)P，它總能對應(yīng)幾個“比例點(diǎn)”？ [自主解答]　(1)由已知得||－||＝8， ∴點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且a＝4，b＝3，c＝5， ∴點(diǎn)P的軌跡方程為－＝1(x≥4) (2)設(shè)P(x0，y0)(x0≥4)，M(m,0)．∵－＝1， ∴y＝9；又＝(

2、－5－x0，－y0)，＝(5－x0，－y0)， 則||||＝·＝ ＝x－16 又 2＝||2＝(x0－m)2＋(y0)2＝x－2mx0＋m2－9， 由||||＝2得，m2－2mx0＋7＝0，(*)． 所以Δ＝4x－28≥36>0，∴方程(*)恒有兩個不等實(shí)根． ∴對任意一個確定的點(diǎn)P，它總能對應(yīng)2個“比例點(diǎn)”． 【互動探究】 若將本例中的條件“||，||,8”改為“||，||，8”，求點(diǎn)P的軌跡方程． 解：由已知得||－||＝8，∴點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且a＝4，b＝3，∴點(diǎn)P的軌跡方程為－＝1(x≤－4)．　　　　　 【方法規(guī)律】 定義法求軌跡方程

3、及其注意點(diǎn) (1)在利用圓錐曲線的定義法求軌跡方程時，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)曲線的方程，寫出所求的軌跡方程； (2)利用定義法求軌跡方程時，還要看軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，如果不是完整的曲線，則應(yīng)對其中的變量x或y進(jìn)行限制． 1．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C為一個焦點(diǎn)作過A，B的橢圓，則橢圓的另一個焦點(diǎn)F的軌跡方程是什么？ 解：由題意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14， 又∵|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2， 故點(diǎn)F的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的

4、雙曲線的下支． 又c＝7，a＝1，可得b2＝48，故點(diǎn)F的軌跡方程為y2－＝1(y≤－1)． 2．點(diǎn)P(－3,0)是圓C：x2＋y2－6x－55＝0內(nèi)一定點(diǎn)，動圓M與已知圓相內(nèi)切且過點(diǎn)P，求圓心M的軌跡方程． 解：已知圓為(x－3)2＋y2＝64，其圓心C(3,0)，半徑為8，由于動圓M過點(diǎn)P， 所以|MP|等于動圓的半徑r，即|MP|＝r. 又圓M與已知圓C相內(nèi)切，所以圓心距等于半徑之差，即|MC|＝8－r. 從而有|MC|＝8－|MP|，即|MC|＋|MP|＝8. 根據(jù)橢圓的定義，動點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C，P的距離之和為定值8>6＝|CP|， 所以動點(diǎn)M的軌跡是橢圓，并且2a＝8，

5、a＝4；2c＝6，c＝3；b2＝16－9＝7， 因此圓心M的軌跡方程為＋＝1. 考點(diǎn)二 代入法(相關(guān)點(diǎn)法)求軌跡方程 　 [例2]　(1)(20xx·遼寧高考改編) 如圖，橢圓C0：＋＝1(a>b>0，a，b為常數(shù))，動圓C1：x2＋y2＝t，b

6、又知A1(－a,0)，A2(a,0)， 則直線A1A的方程為y＝(x＋a)，① 直線A2B的方程為y＝(x－a)．② 由①②得y2＝(x2－a2)．③ 由點(diǎn)A(x1，y1)在橢圓C0上，故＋＝1.從而y＝b2，代入③得－＝1(x<－a，y<0)． (2)設(shè)M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)， ∵⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)， ∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋y＝0. 由＝2，得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)， ∴即∴－x＋＝0，即y2＝4x. 故所求的點(diǎn)N的軌跡方程是y2＝4x. [答案]　(1)－＝1(x<－a，y<0)

7、 【方法規(guī)律】 代入法(相關(guān)點(diǎn)法)適用的軌跡類型及使用過程 動點(diǎn)所滿足的條件不易得出或轉(zhuǎn)化為等式，但形成軌跡的動點(diǎn)P(x，y)卻隨另一動點(diǎn)Q(x′，y′)的運(yùn)動而有規(guī)律地運(yùn)動，而且動點(diǎn)Q的軌跡方程為給定的或容易求得的，則可先將x′，y′表示成關(guān)于x，y的式子，再代入Q的軌跡方程，整理化簡即得動點(diǎn)P的軌跡方程． 已知長為1＋的線段AB的兩個端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上滑動，P是AB上一點(diǎn)，且＝，求點(diǎn)P的軌跡C的方程． 解：設(shè)A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，由題意知＝， 又＝(x－x0，y)，＝(－x，y0－y)，所以x－x0＝－x，y＝(y0－y)， 得x0＝x

8、，y0＝(1＋)y. 因為|AB|＝1＋，即x＋y＝(1＋)2，所以2＋[(1＋)y]2＝(1＋)2， 化簡得＋y2＝1. 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)三 直接法求點(diǎn)的軌跡方程　　 1．直接法求點(diǎn)的軌跡方程是求軌跡方程的一種重要方法，也是高考考查的重要內(nèi)容． 2．直接法求點(diǎn)的軌跡方程，在高考中有以下兩個命題角度： (1)明確給出等式，求軌跡方程； (2)給出已知條件，尋找題設(shè)中的等量關(guān)系，求軌跡方程． [例3]　已知動點(diǎn)P(x，y)與兩定點(diǎn)M(－1,0)，N(1,0)連線的斜率之積等于常數(shù)λ(λ≠0)． (1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程； (2)試根據(jù)λ的取值情況討論軌跡C

9、的形狀． [自主解答]　(1)由題設(shè)知直線PM與PN的斜率存在且均不為零，所以kPM·kPN＝·＝λ，整理得x2－＝1(λ≠0，x≠±1)． 即動點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2－＝1(λ≠0，x≠±1)． (2)①當(dāng)λ>0時，軌跡C為中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(除去頂點(diǎn))； ②當(dāng)－1<λ<0時，軌跡C為中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(除去長軸的兩個端點(diǎn))； ③當(dāng)λ＝－1時，軌跡C為以原點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓(除去點(diǎn)(－1,0)，(1,0))； ④當(dāng)λ<－1時，軌跡C為中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在y軸上的橢圓(除去短軸的兩個端點(diǎn))． 直接法求軌跡方程的常見類型及解題策略 (1)題目給出

10、等量關(guān)系，求軌跡方程．可直接代入即可得出方程． (2)題中未明確給出等量關(guān)系，求軌跡方程．可利用已知條件尋找等量關(guān)系，得出方程． 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A(－1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對稱，P是動點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于－.求動點(diǎn)P的軌跡方程． 解：因為點(diǎn)B與點(diǎn)A(－1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對稱，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，－1)． 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題設(shè)知直線AP與BP的斜率存在且均不為零， 則·＝－，化簡得x2＋3y2＝4(x≠±1)． 故動點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋3y2＝4(x≠±1)． ———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————

11、————— 1個主題——坐標(biāo)法求軌跡方程 　通過坐標(biāo)法，由已知條件求軌跡方程，通過對方程的研究，明確曲線的位置、形狀以及性質(zhì)是解析幾何需要完成的兩大任務(wù)，是解析幾何的核心問題，也是高考的熱點(diǎn)之一． 3種方法——求軌跡方程的三種常用方法 　明確求軌跡方程的適用條件是求軌跡方程的關(guān)鍵． (1)定義法：求軌跡方程時，應(yīng)盡量利用幾何條件探求軌跡的類型，應(yīng)用定義法，這樣可以減少運(yùn)算量，提高解題速度． (2)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：當(dāng)所求動點(diǎn)P(x，y)是隨著另一動點(diǎn)Q(x′，y′)(稱之為相關(guān)點(diǎn))而運(yùn)動，且相關(guān)點(diǎn)Q滿足一曲線方程時，就可用代入法求軌跡方程．此時應(yīng)注意：代入法求軌跡方程是將x′，y′表示成關(guān)于x，y的式子，同時要注意x′，y′的限制條件． (3)直接法：如果動點(diǎn)滿足的幾何條件本身是一些幾何量(如距離與角等)的等量關(guān)系，或這些幾何條件簡單明了且易于表達(dá)，就可運(yùn)用直接法求軌跡方程． 在運(yùn)用直接法求軌跡方程時要注意：化簡方程的過程中有時破壞了方程的同解性，此時要補(bǔ)上遺漏點(diǎn)或刪除多余的點(diǎn)，這是不可忽視的.