高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書：第9章 第2節(jié)　兩條直線的位置關(guān)系 Word版含解析

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1、 第二節(jié)　兩條直線的位置關(guān)系 [最新考綱]　1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo).3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離． (對應(yīng)學(xué)生用書第145頁) 1．兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行： ①對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2. ②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2. (2)兩條直線垂直： ①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1. ②當(dāng)其中一條直線

2、的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，l1⊥l2. 2．兩條直線的交點的求法 直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點坐標(biāo)就是方程組的解． 3．三種距離公式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點之間的距離 |P1P2|＝ 點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離 d＝ 平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離 d＝ 1．直線系方程 (1)平行于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)． (2)垂直于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程：Bx－Ay＋λ＝0. 2

3、．兩直線平行或重合的充要條件 直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要條件是A1B2－A2B1＝0. 3．兩直線垂直的充要條件 直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件是A1A2＋B1B2＝0. 4．過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 5．與對稱問題相關(guān)的兩個結(jié)論 (1)點P(x0，y0)關(guān)于A(a，b)的對稱點為P′(2a－x0,2b－y0)； (2)設(shè)點P(

4、x0，y0)關(guān)于直線y＝kx＋b的對稱點為P′(x′，y′)，則有可求出x′，y′. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2. (　　) (2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1. (　　) (3)點P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為. (　　) (4)兩條平行直線2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0間的距離是0. (　　) [答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．已知點(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a的值為(　　)

5、 A.　　　 B．2－ C.－1　　　　 D.＋1 C　[由題意知＝1，∴|a＋1|＝，又a>0， ∴a＝－1.] 2．已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直線PQ垂直于直線x＋y＋1＝0，則m＝________. 1　[由題意可得＝1，解得m＝1.] 3．直線2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之間的距離是________． 　[先將2x＋2y＋1＝0化為x＋y＋＝0，則兩平行線間的距離為d＝＝.] 4．若直線2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一點，則a的值為________． 　[由得 即直線2x－y＝－10與y＝x＋1相交于點(－9，－8)． 又因為直線

6、2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一點， 所以－8＝－9a－2，解得a＝.] (對應(yīng)學(xué)生用書第146頁) ⊙考點1　兩條直線的位置關(guān)系 　確定兩條直線位置關(guān)系的方法 直線方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1與l2垂直的充要條件 A1A2＋B1B2＝0 l1與l2平行的充分條件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1與l2相交的充分條件 ≠(A2B2≠0) l1與l2重合的充分條件 ＝＝(A2B2C2≠0) 　已知兩直線l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，試確定m，n的值，

7、使 (1)l1與l2相交于點P(m，－1)； (2)l1∥l2； (3)l1⊥l2，且l1在y軸上的截距為－1. [解](1)由題意得 解得即m＝1，n＝7時，l1與l2相交于點P(m，－1)． (2)∵l1∥l2，∴＝≠ 解得或 即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2時，l1∥l2. (3)當(dāng)且僅當(dāng)2m＋8m＝0， 即m＝0時，l1⊥l2. 又－＝－1，∴n＝8. 即m＝0，n＝8時，l1⊥l2，且l1在y軸上的截距為－1. 　兩條直線平行或重合的充要條件是A1B2＝A2B1，使用此公式可避免討論，但要驗證兩直線是否重合． [教師備選例題] 已知直線l1：ax＋2

8、y＋6＝0和直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1)試判斷l(xiāng)1與l2是否能平行； (2)當(dāng)l1⊥l2時，求a的值． [解](1)由＝≠得a＝－1， 即當(dāng)a＝－1時，l1與l2平行． (2)由l1⊥l2得a＋2(a－1)＝0，解得a＝. 　1.經(jīng)過兩條直線2x－3y＋10＝0和3x＋4y－2＝0的交點，且垂直于直線3x－2y＋2 019＝0的直線方程為________． 2x＋3y－2＝0　[解方程組得兩條直線的交點坐標(biāo)為(－2,2)，因為所求直線垂直于直線3x－2y＋2 019＝0，所以所求直線的斜率為k＝－，所以所求直線方程為y－2＝－(x＋2)，即2x＋3y－2＝0

9、.] 2．“a＝1”是“直線ax＋2y－8＝0與直線x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　) A．充要條件　 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 A　[由兩直線平行得＝≠， 解得a＝1，因此“a＝1”是兩直線平行的充要條件，故選A.] ⊙考點2　距離問題 1．點到直線的距離的求法 可直接利用點到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程必須為一般式． 2．兩平行線間的距離的求法 (1)利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離． (2)利用兩平行線間的距離公式． 　1.已知點P(－2,3), 點Q是直線l

10、：3x＋4y＋3＝0上的動點，則|PQ|的最小值為(　　) A．2　　　　B.　　　　C.　　　　D. B　[因為點Q是直線l：3x＋4y＋3＝0上的動點，所以|PQ|的最小值為點P到直線l的距離， 即＝.故選B.] 2．若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則|PQ|的最小值為(　　) A.　　　　 B. C. D. C　[因為＝≠，所以兩直線平行，將直線3x＋4y－12＝0化為6x＋8y－24＝0，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即＝，所以|PQ|的最小值為，故選C.] 3．若兩平行直線l1：x－2y＋m＝0(m＞0)

11、與l2：2x＋ny－6＝0之間的距離是，則m＋n＝(　　) A．0 B．1 C．－2 D．－1 C　[由兩直線平行得＝≠. 解得n＝－4，m≠－3，所以直線l2的方程為x－2y－3＝0 又l1，l2之間的距離是，所以＝， 解得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝2＋(－4)＝－2，故選C.] 　解答T1，T2時，關(guān)鍵是把兩點距離的最小值轉(zhuǎn)化為點到直線的距離和兩條平行線間的距離． ⊙考點3　對稱問題 　中心對稱問題(關(guān)于點對稱) 　中心對稱問題的兩個類型及求解方法 (1)點關(guān)于點對稱 若點M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對稱，則由中點坐標(biāo)公式得進而求解

12、． (2)直線關(guān)于點對稱 ①在已知直線上取兩點，利用中點坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標(biāo)，再由兩點式求出直線方程； ②求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程； ③軌跡法，設(shè)對稱直線上任一點M(x，y)，其關(guān)于已知點的對稱點在已知直線上． 　直線ax＋y＋3a－1＝0恒過點M，則直線2x＋3y－6＝0關(guān)于M點對稱的直線方程為(　　) A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0 C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0 D　[由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋y－1＝0. 令可得∴M(－3,1)． 設(shè)所求對稱直線上任意

13、一點為P(x，y)，則點P關(guān)于點M的對稱點為N(－6－x,2－y)，由題意點N在直線2x＋3y－6＝0上，∴2(－6－x)＋3(2－y)－6＝0，即2x＋3y＋12＝0，故選D.] 　本例題也可通過對稱直線和原直線平行，設(shè)出所求直線，然后利用點M到兩直線的距離相等求解． 　軸對稱問題(關(guān)于直線對稱) 　軸對稱問題的兩個類型及求解方法 (1)點關(guān)于直線的對稱 若兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱， 由方程組可得到點P1關(guān)于l對稱的點P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)． (2)直線關(guān)于直線的對稱 一般轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱來

14、解決，有兩種情況：一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行． 　已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)． (1)求點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標(biāo)； (2)求直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程． [解](1)設(shè)A′(x，y)，由已知得 解得 所以A′. (2)在直線m上取一點，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點M′必在m′上． 設(shè)對稱點為M′(a，b)， 則解得M′. 設(shè)m與l的交點為N，則由得N(4,3)． 又因為m′經(jīng)過點N(4,3)，所以由兩點式得直線m′方程為9x－46y＋102＝0. (1)對直線關(guān)于直

15、線對稱，要先判斷兩直線是相交還是平行，然后再確定具體解法． (2)斜率存在時，和x軸或y軸對稱的兩條直線斜率互為相反數(shù)． [教師備選例題] 已知直線l1：x－y＋3＝0，直線l：x－y－1＝0.若直線l1關(guān)于直線l的對稱直線為l2，直線l2的方程為________． x－y－5＝0　[法一：因為l1∥l，所以l2∥l，設(shè)直線l2的方程為x－y＋m＝0(m≠3，且m≠－1)． 因為直線l1，l2關(guān)于直線l對稱，所以l1與l間的距離等于l2與l間的距離．由兩平行直線間的距離公式，得＝，解得m＝－5或m＝3(舍去)．所以直線l2的方程為x－y－5＝0. 法二：由題意知l1∥l2，設(shè)直線l

16、2的方程為x－y＋m＝0(m≠3，且m≠－1)． 在直線l1上取點M(0,3)，設(shè)點M關(guān)于直線l的對稱點為M′(a，b)，于是有解得 即M′(4，－1)．把點M′的坐標(biāo)代入l2的方程，得m＝－5，所以直線l2的方程為x－y－5＝0.] 　1.已知入射光線經(jīng)過點M(－3,4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為________． 6x－y－6＝0　[設(shè)點M(－3,4)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對稱點為M′(a，b)，則反射光線所在直線過點M′，所以解得a＝1，b＝0.又反射光線經(jīng)過點N(2,6)，所以所求直線的方程為＝，即6x－y－6＝

17、0.] 2．已知直線l：3x－y＋3＝0，求： (1)點P(4,5)關(guān)于l的對稱點； (2)直線x－y－2＝0關(guān)于直線l對稱的直線方程； (3)直線l關(guān)于(1,2)的對稱直線． [解](1)設(shè)P(x，y)關(guān)于直線l：3x－y＋3＝0的對稱點為P′(x′，y′)，∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1. ① 又PP′的中點在直線3x－y＋3＝0上， ∴3×－＋3＝0. ② 由①②得 把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7， ∴點P(4,5)關(guān)于直線l的對稱點P′的坐標(biāo)為(－2,7)． (2)用③④分別代換x－y－2＝0中的x，y， 得關(guān)于l對稱的直線方程為－－2＝0，化簡得7x＋y＋22＝0. (3)在直線l：3x－y＋3＝0上取點M(0,3)， 關(guān)于(1,2)的對稱點M′(x′，y′)， ∴＝1，x′＝2，＝2，y′＝1，∴M′(2,1)． l關(guān)于(1,2)的對稱直線平行于l，∴k＝3， ∴對稱直線方程為y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0.