新版一輪北師大版理數(shù)學教案：第8章 第6節(jié)　拋物線 Word版含解析

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1、 1

2、 1 第六節(jié)　拋物線 [考綱傳真]　1.了解拋物線的實際背景，了解拋物線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質(zhì).3.了解拋物線的簡單應用.4.理解數(shù)形結合的思想． 1．拋物線的概念 平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不過F)的距離相等的點的集合叫作拋物線．點F叫作拋物線的焦點，直線l叫作拋物線的準線． 2．拋物

3、線的標準方程與幾何性質(zhì) 標準方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的幾何意義：焦點F到準線l的距離 圖像 頂點 O(0,0) 對稱軸 y＝0 x＝0 焦點 F F F F 離心率 e＝1 準線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半徑|PF| x0＋ －x0＋ y0＋ －y0＋ 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)

4、平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線．(　　) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標是，準線方程是x＝－.(　　) (3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．(　　) (4)AB為拋物線y2＝2px(p>0)的過焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝，y1y2＝－p2，弦長|AB|＝x1＋x2＋p.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)若拋物線y＝4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是(　　) A. B. C. D．0 B　[M到準線

5、的距離等于M到焦點的距離，又準線方程為y＝－， 設M(x，y)，則y＋＝1，∴y＝.] 3．拋物線y＝x2的準線方程是(　　) A．y＝－1　　　　 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2 A　[∵y＝x2，∴x2＝4y，∴準線方程為y＝－1.] 4．(20xx·西安質(zhì)檢)若拋物線y2＝2px(p>0)的準線經(jīng)過雙曲線x2－y2＝1的一個焦點，則p＝__________. 2　[拋物線的準線方程為x＝－，p>0，雙曲線的焦點為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，所以－＝－，p＝2.] 5．(20xx·浙江高考)若拋物線y2＝4x上的點M到焦點的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是____

6、____． 9　[設點M的橫坐標為x0，則點M到準線x＝－1的距離為x0＋1，由拋物線的定義知x0＋1＝10，∴x0＝9， ∴點M到y(tǒng)軸的距離為9.] 拋物線的定義及應用 　(1)(20xx·全國卷Ⅰ)已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，點A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝x0，則x0＝(　　) A．1　　　　 B．2 C．4 D．8 (2)(20xx·廣東汕頭調(diào)研)已知P是拋物線y2＝4x上的一個動點，Q是圓(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一個動點，N(1,0)是一個定點，則|PQ|＋|PN|的最小值為(　　) A．3 B．4 C．5 D．＋1 (1)A　(2

7、)A　[(1)由y2＝x，知2p＝1，即p＝， 因此焦點F，準線l的方程為x＝－. 設點A(x0，y0)到準線l的距離為d，則由拋物線的定義可知d＝|AF|. 從而x0＋＝x0，解得x0＝1. (2)由拋物線方程y2＝4x，可得拋物線的焦點F(1,0)，又N(1,0)，所以N與F重合． 過圓(x－3)2＋(y－1)2＝1的圓心M作拋物線準線的垂線MH，交圓于Q，交拋物線于P，則|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3.] [規(guī)律方法]　1.凡涉及拋物線上的點到焦點距離時，一般運用定義轉(zhuǎn)化為到準線距離處理．如本例充分運用拋物線定義實施轉(zhuǎn)化，使解答簡捷、明快． 2．若P(

8、x0，y0)為拋物線y2＝2px(p>0)上一點，由定義易得|PF|＝x0＋；若過焦點的弦AB的端點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根與系數(shù)的關系整體求出． [變式訓練1]　(20xx·鄭州調(diào)研)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若＝4 ，則|QF|＝(　　) A. B． C．3 D．2 C　[∵＝4 ， ∴||＝4||， ∴＝. 如圖，過Q作QQ′⊥l，垂足為Q′，設l與x軸的交點為A，則|AF|＝4， ∴＝＝， ∴|QQ′|＝3. 根據(jù)拋物線定義可知|QF|

9、＝|QQ′|＝3.] 拋物線的標準方程與幾何性質(zhì) 　(1)點M(5,3)到拋物線y＝ax2的準線的距離為6，那么拋物線的標準方程是(　　) 【導學號：57962399】 A．x2＝y(tǒng)　　 B．x2＝y(tǒng)或x2＝－y C．x2＝－y D．x2＝12y或x2＝－36y (2)(20xx·全國卷Ⅰ)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點到準線的距離為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 (1)D　(2)B　[(1)將y＝ax2化為x2＝y(tǒng). 當a>0時，準線y＝－，則3＋＝6，∴a＝. 當a<0時，準

10、線y＝－，則＝6，∴a＝－. ∴拋物線方程為x2＝12y或x2＝－36y. (2)設拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，圓的方程為x2＋y2＝r2. ∵|AB|＝4，|DE|＝2， 拋物線的準線方程為x＝－， ∴不妨設A，D. ∵點A，D在圓x2＋y2＝r2上， ∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(負值舍去)． ∴C的焦點到準線的距離為4. [規(guī)律方法]　1.求拋物線的標準方程的方法： (1)求拋物線的標準方程常用待定系數(shù)法，因為未知數(shù)只有p，所以只需一個條件確定p值即可． (2)因為拋物線方程有四種標準形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再定量． 2．由拋物線的方程可以確定拋

11、物線的開口方向、焦點位置、焦點到準線的距離；從而進一步確定拋物線的焦點坐標及準線方程． [變式訓練2]　(1)(20xx·河南中原名校聯(lián)考)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，O為坐標原點，M為拋物線上一點，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面積為4，則拋物線的方程為 (　　) 【導學號：57962400】 A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝ (2)若拋物線y2＝2px的焦點與橢圓＋＝1的右焦點重合，則該拋物線的準線方程為__________． (1)B　(2)x＝－2　[(1)設M(x，y)，因為|OF|＝，|MF|＝4|OF|， 所以|MF|＝

12、2p， 由拋物線定義知x＋＝2p， 所以x＝p，所以y＝±p. 又△MFO的面積為4， 所以××p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)． 所以拋物線的方程為y2＝8x. (2)由橢圓＋＝1，知a＝3，b＝， 所以c2＝a2－b2＝4，所以c＝2. 因此橢圓的右焦點為(2,0)， 又拋物線y2＝2px的焦點為. 依題意，得＝2， 于是拋物線的準線x＝－2.] 直線與拋物線的位置關系 角度1　直線與拋物線的交點問題 　(20xx·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，直線l：y＝t(t≠0)交y軸于點M，交拋物線C：y2＝2px(p>0)于點P，M關于點P的對稱點為N，連接O

13、N并延長交C于點H. (1)求； (2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點？說明理由． [解]　(1)如圖，由已知得M(0，t)，P. 又N為M關于點P的對稱點， 故N， 2分 故直線ON的方程為y＝x， 將其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0, 解得x1＝0，x2＝.因此H. 所以N為OH的中點，即＝2. 5分 (2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點．理由如下： 直線MH的方程為y－t＝x，即x＝(y－t). 8分 代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y(tǒng)2＝2t， 即直線MH與C只有一個公共點， 所以除H以外，直線MH與C

14、沒有其他公共點. 12分 [規(guī)律方法]　1.(1)本題求解的關鍵是求出點N，H的坐標．(2)第(2)問將直線MH的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，根據(jù)方程組的解的個數(shù)進行判斷． 2．(1)判斷直線與圓錐曲線的交點個數(shù)時，可直接求解相應方程組得到交點坐標，也可利用消元后的一元二次方程的判別式來確定，需注意利用判別式的前提是二次項系數(shù)不為0.(2)解題時注意應用根與系數(shù)的關系及設而不求、整體代換的技巧． 角度2　與拋物線弦長或中點有關的問題 　(20xx·泰安模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個交點的橫坐標為8. (1)求拋物線C的方程；

15、(2)不過原點的直線l2與l1的垂直，且與拋物線交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積. 【導學號：57962401】 [解]　(1)易知直線與拋物線的交點坐標為(8，－8)， 2分 ∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴拋物線方程為y2＝8x. 5分 (2)直線l2與l1垂直，故可設直線l2：x＝y(tǒng)＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點為M. 6分 由得y2－8y－8m＝0， Δ＝64＋32m>0，∴m>－2. y1＋y2＝8，y1y2＝－8m， ∴x1x2＝＝m2. 8分 由題意可知OA⊥OB，即x

16、1x2＋y1y2＝m2－8m＝0， ∴m＝8或m＝0(舍)， ∴直線l2：x＝y(tǒng)＋8，M(8,0). 10分 故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2| ＝3＝24. 12分 [規(guī)律方法]　1.有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式． 2．涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數(shù)的關系采用“設而不求”“整體代入”等方法． 3．涉及弦的中點、斜率時，一般用“點差法”求解． [思想與方法] 1．拋物線定義的實質(zhì)可歸結為“一動三定

17、”：一個動點M，一個定點F(拋物線的焦點)，一條定直線l(拋物線的準線)，一個定值1(拋物線的離心率)． 2．拋物線的定義中指明了拋物線上點到焦點的距離與到準線距離的等價性，故二者可相互轉(zhuǎn)化，這一轉(zhuǎn)化思想在解題中有著重要作用． 3．拋物線的焦點弦：設過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)若直線AB的傾斜角為θ，則|AB|＝＝x1＋x2＋p. [易錯與防范] 1．認真區(qū)分四種形式的標準方程． (1)區(qū)分y＝ax2(a≠0)與y2＝2px(p>0)，前者不是拋物線的標準方程． (2)求標準方程要先確定形式，必要時要進行分類討論，標準方程有時可設為y2＝mx或x2＝my(m≠0)． 2．直線與拋物線結合的問題，不要忘記驗證判別式． 3．拋物線的定義中易忽視“定點不在定直線上”這一條件，當定點在定直線上時，動點的軌跡是過定點且與直線垂直的直線．當直線與拋物線有一個公共點，并不表明直線與拋物線相切．