新編浙江高考數(shù)學(xué)理二輪專題訓(xùn)練:第1部分 專題七 第2講 不等式選講選修45

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1、 考 點 考 情 絕對值不等式的求解   高考對本講內(nèi)容的考查主要有: (1)不等式性質(zhì)的應(yīng)用,絕對值不等式的解法,如陜西T15A. (2)不等式的證明,如江蘇T21D. (3)與絕對值不等式有關(guān)的參數(shù)問題的求解. 與絕對值不等式有關(guān)的參數(shù)范圍問題 不等式的證明與綜合應(yīng)用 1.(20xx·福建高考)設(shè)不等式|x-2|

2、1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 當(dāng)且僅當(dāng)(x+1)(x-2)≤0,即-1≤x≤2時取到等號. 所以f(x)的最小值為3. 2.(20xx·江蘇高考)已知a≥b>0,求證:2a3-b3≥2ab2-a2b. 證明:2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b). 因為a≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>0, 從而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0, 即2a3-b3≥2ab2-a2b. 3.(20xx·福建高考)已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x

3、+2)≥0的解集為[-1,1]. (1)求m的值; (2)若a,b,c∈R+,且++=m,求證:a+2b+3c≥9. 解:(1)因為f(x+2)=m-|x|,所以f(x+2)≥0等價于|x|≤m, 由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集為{x|-m≤x≤m}. 又因為f(x+2)≥0的解集為[-1,1],故m=1. (2)證明:由(1)知++=1,又a,b,c∈R+, 由柯西不等式得 a+2b+3c=(a+2b+3c)≥+2=9. 1.絕對值不等式 定理1:如果a,b是實數(shù),則|a+b|≤|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時,等號成立. 定理2:如果a,b,c是實數(shù),那么

4、|a-c|≤|a-b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)≥0時,等號成立. 2.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|ax+b|≤c(c>0)?-c≤ax+b≤c. (2)|ax+b|≥c(c>0)?ax+b≥c或ax+b≤-c. 3.|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 (1)利用絕對值不等式幾何意義求解,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想. (2)利用“零點分段法”求解,體現(xiàn)分類討論思想. (3)通過構(gòu)建函數(shù),利用函數(shù)圖像求解,體現(xiàn)函數(shù)與方程思想. 4.證明不等式的基本方法 (1)比較法;(

5、2)綜合法;(3)分析法;(4)反證法;(5)放縮法. 5.二維形式的柯西不等式 若a,b,c,d∈R,則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時等號成立. 熱點一 絕對值不等式的求解 [例1] (20xx·遼寧高考)已知函數(shù)f(x)=|x-a|,其中a>1. (1)當(dāng)a=2時,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集; (2)已知關(guān)于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集為{x|1≤x≤2},求a的值. [自主解答] (1)當(dāng)a=2時,f(x)+|x-4|= 當(dāng)x≤2時,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4, 解得x≤1

6、; 當(dāng)20,則|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c,|ax+b

7、|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根據(jù)a,b的取值求解即可; (2)若c<0,則|ax+b|≤c的解集為?,|ax+b|≥c的解集為R. 2.|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法 (1)令每個絕對值符號里的一次式為0,求出相應(yīng)的根; (2)把這些根由小到大排序,它們把數(shù)軸分為若干個區(qū)間; (3)在所分區(qū)間上,根據(jù)絕對值的定義去掉絕對值符號,討論所得的不等式在這個區(qū)間上的解集; (4)這些解集的并集就是原不等式的解集. 1.已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|x-5|. (1)證明:-3≤f(x)≤3; (2)求不等式f(x)≥x2-8x

8、+15的解集. 解:(1)證明:當(dāng)x≤2時,f(x)=2-x-(5-x)=-3; 當(dāng)2

9、15?x2-8x+12≤0?2≤x≤6, 所以f(x)≥x2-8x+15的解集為{x|5≤x≤6}. 綜上,不等式f(x)≥x2-8x+15的解集為{x|5-≤x≤6}. 熱點二 與絕對值不等式有關(guān)的參數(shù)范圍問題  [例2] (20xx·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)當(dāng)a=-2時,求不等式f(x)<g(x)的解集; (2)設(shè)a>-1,且當(dāng)x∈時,f(x)≤g(x),求a的取值范圍. [自主解答] (1) 當(dāng)a=-2時,不等式f(x)<g(x)化為|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 設(shè)函數(shù)y=|2x-1|

10、+|2x-2|-x-3,則 y=其圖像如圖所示. 從圖像可知,當(dāng)且僅當(dāng)x∈(0,2)時,y<0,所以原不等式的解集是{x|0<x<2}. (2)當(dāng)x∈時,f(x)=1+a. 不等式f(x)≤g(x)化為1+a≤x+3. 所以x≥a-2對x∈都成立. 故-≥a-2,即a≤. 從而a的取值范圍是. ——————————規(guī)律·總結(jié)—————————————————————— 1.解決含參數(shù)的絕對值不等式問題,常用以下兩種方法: (1)將參數(shù)分類討論,將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)解決; (2)借助于絕對值的幾何意義,先求出f(x)的最值或值域,然后再根據(jù)題目要求,求解參數(shù)的取值范圍.

11、 2.解答此類問題應(yīng)熟記以下轉(zhuǎn)化:f(x)>a恒成立?f(x)min>a;f(x)a有解?f(x)max>a;f(x)a無解?f(x)max≤a;f(x)5的解集為{x|x>2或x<-3}. (1)求a的值; (2)若不等式f(x)-f≤k在R上有解,求k的取值范圍. 解:(1)由|ax+1|>5得ax>4或ax<-6. 又f(x)>5的解集為{x|x>2或x<-3}, 當(dāng)a>0時,解得x>或x<-,則a=2

12、; 當(dāng)a≤0時,經(jīng)驗證不合題意. 綜上,a=2. (2)設(shè)g(x)=f(x)-f, 則g(x)= 則函數(shù)g(x)的圖像如圖所示, 由圖像可知,g(x)≥-, 故原不等式在R上有解時,k≥-. 即k的取值范圍是. 熱點三 不等式的證明  [例3] (20xx·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1.證明: (1) ab+bc+ac≤; (2) ++≥1. [自主解答] (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,得a2+b2+c2≥ab+bc+ac. 由題設(shè)得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2

13、ac=1. 所以3(ab+bc+ac)≤1,即ab+bc+ac≤. (2)因為+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c. 所以++≥1. ——————————規(guī)律·總結(jié)—————————————————————— 不等式證明的常用方法是:比較法、綜合法與分析法.其中運用綜合法證明不等式時,主要是運用基本不等式與柯西不等式證明,與絕對值有關(guān)的不等式證明常用絕對值三角不等式.證明過程中一方面要注意不等式成立的條件,另一方面要善于對式子進行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化、變形. 3.(1)設(shè)a≥b>0,證明:3a3+2b3≥3a2b+2ab2;

14、 (2)證明:a6+8b6+c6≥2a2b2c2; (3)若a,b,c為正實數(shù),證明:a2+4b2+9c2≥2ab+3ac+6bc. 證明:(1)3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)-2b2(a-b)=(a-b)(3a2-2b2). ∵a≥b>0,∴a-b≥0,3a2-2b2>0. ∴(a-b)(3a2-2b2)≥0. ∴3a3+2b3≥3a2b+2ab2. (2)a6+8b6+c6≥3 =3×a2b2c2=2a2b2c2, ∴a6+8b6+c6≥2a2b2c2. (3)∵a2+4b2≥2=4ab, a2+9c2≥2=6ac, 4b2+9c2≥2=12

15、bc, ∴2a2+8b2+18c2≥4ab+6ac+12bc, ∴a2+4b2+9c2≥2ab+3ac+6bc. 熱點四 不等式的綜合應(yīng)用  [例4] 已知a,b為正實數(shù). (1)求證:+≥a+b; (2)利用(1)的結(jié)論,求函數(shù)y=+(00,b>0, ∴(a+b)=a2+b2++≥a2+b2+2ab=(a+b)2. ∴+≥a+b,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立. 法二:+-(a+b)= == =, 又∵a>0,b>0,∴≥0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立. ∴+≥a+b. (2)∵0

16、0, 由(1)的結(jié)論,得函數(shù)y=+≥(1-x)+x=1, 當(dāng)且僅當(dāng)1-x=x,即x=時等號成立. ∴函數(shù)y=+(0

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