新編高三數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)作業(yè)：第九章 平面解析幾何 第五節(jié)　橢圓 Word版含解析

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1、 第五節(jié)　橢圓 A組　基礎(chǔ)題組 1.已知方程x22-k+y22k-1=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.12,2 B.(1,+∞) C.(1,2) D.12,1 2.(20xx黑龍江齊齊哈爾一中期末)已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,離心率為35,直線x+y-4=0與y軸的交點(diǎn)為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn),則橢圓的方程為(　　) A.x225+y29=1 B.x29+y225=1 C.x225+y216=1 D.x216+y225=1 3.矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=3,則以A,B為焦點(diǎn),且過C,D兩

2、點(diǎn)的橢圓的短軸的長(zhǎng)為(　　) A.23 B.26 C.42 D.43 4.設(shè)橢圓x24+y23=1的焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓上,若△PF1F2是直角三角形,則△PF1F2的面積為(　　) A.3 B.3或32 C.32 D.6或3 5.已知橢圓x24+y2b2=1(0

3、中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為F(-2,0),且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是2∶3,則橢圓C的方程是　　　　　　　　.? 8.橢圓x29+y22=1的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓上,若|PF1|=4,則∠F1PF2的大小為　　　　.? 9.已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(-3,0),F2(3,0),離心率e=32. (1)求此橢圓的方程; (2)設(shè)直線l:y=x+m,若l與此橢圓相交于P,Q兩點(diǎn),且|PQ|等于橢圓的短軸長(zhǎng),求m的值. 10.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分別為橢圓的左,右焦點(diǎn),A為橢圓的上頂點(diǎn),直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B.

4、 (1)若∠F1AB=90°,求橢圓的離心率; (2)若=2,·=32,求橢圓的方程. B組　提升題組 11.已知橢圓C:x24+y23=1的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F2,橢圓C上的點(diǎn)A滿足AF2⊥F1F2.若點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),則·的最大值為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.32 B.332 C.94 D.154 12.如圖,已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O,F(-25,0)為C的左焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),滿足|OP|=|OF|,且|PF|=4,則橢圓C的方程為(　　) A.x225+y25=1 B.x236+y216=1

5、 C.x230+y210=1 D.x245+y225=1 13.(20xx江蘇,10,5分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn),直線y=b2與橢圓交于B,C兩點(diǎn),且∠BFC=90°,則該橢圓的離心率是　　　　.? 14.設(shè)F1,F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,線段PF1的中點(diǎn)在y軸上,若∠PF1F2=30°,則橢圓C的離心率為　　　　.? 15.(20xx云南檢測(cè))已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓E的中心是原點(diǎn)O,離心率等于32,以橢圓E的長(zhǎng)軸和短軸為對(duì)角線的四邊形的周長(zhǎng)為45.直線l:

6、y=kx+m與y軸交于點(diǎn)P,與橢圓E相交于A、B兩個(gè)點(diǎn). (1)求橢圓E的方程; (2)若=3,求m2的取值范圍.  答案全解全析 A組　基礎(chǔ)題組 1.C　∵方程x22-k+y22k-1=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,所以2-k>0,2k-1>0,2k-1>2-k,解得k<2,k>12,k>1,故k的取值范圍為(1,2). 2.C　設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),由題意知ca=35,b=4,a2=b2+c2,解得a=5,b=4,c=3,所以橢圓的方程為x225+y216=1. 3.D　依題意得|AC|=5,橢圓的焦距2c=|AB|=4,長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=|A

7、C|+|BC|=8,所以短軸長(zhǎng)2b=2a2-c2=216-4=43. 4.C　由橢圓的方程知a=2,b=3,c=1,當(dāng)點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)(0,3)時(shí),∠F1PF2=,△PF1F2是正三角形,若△PF1F2是直角三角形,則直角頂點(diǎn)不可能是點(diǎn)P,只能是焦點(diǎn)F1(或F2),此時(shí)|PF1|=b2a=,=12×32×2=32.故選C. 5.D　由橢圓的方程可知a=2,由橢圓的定義可知,|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)≥3,由橢圓的性質(zhì)可知,過橢圓焦點(diǎn)的弦中,垂直于焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的弦最短,則2b2a=3.所以b2=3,即b=3. 6.答案　x245

8、+y236=1 解析　由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).由離心率e=55可得a2=5c2,所以b2=4c2,故橢圓的方程為x25c2+y24c2=1,將P(-5,4)代入可得c2=9,故橢圓的方程為x245+y236=1. 7.答案　x216+y212=1 解析　設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0). 由題意知解得a2=16,b2=12. 所以橢圓C的方程為x216+y212=1. 8.答案　120° 解析　由橢圓定義知,|PF2|=2,|F1F2|=2×9-2=27.在△PF1F2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2=|PF1|2+|

9、PF2|2-|F1F2|22|PF1|路|PF2|==-12,∴∠F1PF2=120°. 9.解析　(1)設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),由題意知c=3,ca=32,所以a=2,則b=1,所求橢圓方程為x24+y2=1. (2)由x24+y2=1,y=x+m消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,則Δ=64m2-4×5×4(m2-1)>0,整理,得m2<5(*). 設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=-8m5,x1x2=4(m2-1)5,y1-y2=x1-x2, |PQ|=2-8m52-16(m2-1)5=2. 解得m=±304,滿足(*),所

10、以m=±304. 10.解析　(1)∠F1AB=90°,則△AOF2為等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c.所以a=2c,所以e=ca=22. (2)由題知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=a2-b2,設(shè)B(x,y).由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),解得x=3c2,y=-b2,即B3c2,-b2. 將B點(diǎn)坐標(biāo)代入x2a2+y2b2=1,得94c2a2+b24b2=1,即9c24a2+14=1,解得a2=3c2①. 又由·=(-c,-b)·3c2,-3b2=32,得b2-c2=1,即a2-2c2=1②. 由①②解得c2=1,a2=3,從而有b2=

11、2. 所以橢圓的方程為x23+y22=1. B組　提升題組 11.B　由橢圓方程知c=4-3=1,所以F1(-1,0),F2(1,0),因?yàn)闄E圓C上的點(diǎn)A滿足AF2⊥F1F2,所以可設(shè)A(1,y0),代入橢圓方程可得y02=94,所以y0=±32.設(shè)P(x1,y1),則=(x1+1,y1),又=(0,y0),所以·=y1y0,因?yàn)辄c(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),所以-3≤y1≤3,故·的最大值為332,選B. 12.B　設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦距為2c,右焦點(diǎn)為F',連接PF',如圖所示.因?yàn)镕(-25,0)為C的左焦點(diǎn),所以c=25.由|OP|=|OF|=|O

12、F'|知,∠FPF'=90°,即FP⊥PF'.在Rt△PFF'中,由勾股定理,得|PF'|=|FF'|2-|PF|2=(45)2-42=8.由橢圓定義,得|PF|+|PF'|=2a=4+8=12,所以a=6,a2=36,于是b2=a2-c2=36-(25)2=16,所以橢圓的方程為x236+y216=1. 13.答案　63 解析　由已知條件易得B-32a,b2,C32a,b2,F(c,0), ∴=c+32a,-b2,=c-32a,-b2, 由∠BFC=90°,可得·=0, 所以c-32ac+32a+-b22=0, c2-34a2+14b2=0, 即4c2-3a2+(a2-c2

13、)=0, 亦即3c2=2a2, 所以c2a2=23,則e=ca=63. 14.答案　33 解析　如圖,設(shè)PF1的中點(diǎn)為M,連接PF2. 因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn),所以O(shè)M為△PF1F2的中位線. 所以O(shè)M∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°. 因?yàn)椤螾F1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|. 由勾股定理得|F1F2|=|PF1|2-|PF2|2=3|PF2|, 由橢圓定義得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|?a=3|PF2|2,2c=|F1F2|=3|PF2|?c=3|PF2|2, 則e=ca=3|PF2|2·23|PF2|=33. 15.解析

14、　(1)根據(jù)已知設(shè)橢圓E的方程為y2a2+x2b2=1(a>b>0), 由已知得ca=32, ∴c=32a,b2=a2-c2=a24. ∵以橢圓E的長(zhǎng)軸和短軸為對(duì)角線的四邊形的周長(zhǎng)為45, ∴4a2+b2=25a=45,∴a=2,∴b=1. ∴橢圓E的方程為x2+y24=1. (2)根據(jù)已知得P(0,m),設(shè)A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m), 由y=kx+m,4x2+y2-4=0得,(k2+4)x2+2mkx+m2-4=0. 由已知得Δ=4m2k2-4(k2+4)(m2-4)>0, 即k2-m2+4>0, 由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系知,x1+x2=-2kmk2+4,x1x2=m2-4k2+4. 由=3得x1=-3x2, ∴3(x1+x2)2+4x1x2=12x22-12x22=0. ∴12k2m2(k2+4)2+4(m2-4)k2+4=0,即m2k2+m2-k2-4=0. 當(dāng)m2=1時(shí),m2k2+m2-k2-4=0不成立,∴k2=4-m2m2-1. 由題意知k≠0,m≠0,結(jié)合m2k2+m2-k2-4=0,知k2-m2+4=m2k2>0, ∴4-m2m2-1-m2+4>0,即(4-m2)m2m2-1>0. ∴1