新編高考數(shù)學復習：第六章 ：第四節(jié)基本不等式回扣主干知識提升學科素養(yǎng)

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1、新編高考數(shù)學復習資料 第四節(jié)　基本不等式 【考綱下載】 1．了解基本不等式的證明過程． 2．會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題． [來源:] [來源:] 1．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0. (2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號． 2．幾個重要的不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同號)． ab≤2(a，b∈R)；2≤(a，b∈R)． 3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個正實數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它的幾何平均數(shù)． 4．利

2、用基本不等式求最值問題 已知x>0，y>0，則： (1)如果積xy是定值P，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2(簡記：積定和最小)． (2)如果和x＋y是定值P，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值是(簡記：和定積最大)． [來源:] 1．有人說：(1)函數(shù)y＝x＋的最小值是2； (2)f(x)＝cos x＋，x∈的最小值是4； (3)當a>0時，a3＋的最小值是2. 你認為這三種說法正確嗎？為什么？ 提示：不正確．(1)中忽視了條件x>0；(2)中cos x∈(0,1)，利用基本不等式求最值時，“＝”不能成立；(3)2不是定值． 2．x>0且y>0是＋≥2的充要條件嗎

3、？ 提示：不是．當x>0且y>0時，＋≥2；但＋≥2時，x，y同號即可． 1．下列不等式中正確的是(　　) 　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　 A．若a∈R，則a2＋9>6a B．若a，b∈R，則≥2 C．若a，b>0，則2lg≥lg a＋lg b D．若x∈R，則x2＋>1 解析：選C　∵a>0，b>0，∴≥. ∴2lg≥2lg＝lg ab＝lg a＋lg b. 2．若x>0，y>0，且x＋y＝，則xy的最大值為(　　) A. B．2 C. D. 解析：選D　∵x>0，y>0，∴＝x＋y≥2， 即≤，∴x

4、y≤. 3．已知x>0，y>0，z>0，x－y＋2z＝0，則的(　　) A．最小值為8 B．最大值為8 C．最小值為 D．最大值為 解析：選D?。剑剑健?當且僅當＝，即x＝2z時取等號． 4．若a>0，b>0，a＋b＝2，則下列不等式對一切滿足條件的a，b恒成立的是________(填寫所有正確命題的序號)． ①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2. 解析：令a＝b＝1，可排除命題②④；由2＝a＋b≥2，得ab≤1，故命題①正確；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，故命題③正確；＋＝＝≥2，

5、故命題⑤正確． 答案：①③⑤ 5．某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為800元．若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品________件． 解析：記平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和為f(x)，則f(x)＝＝＋≥ 2 ＝20，當且僅當＝，即x＝80(x>0)時，等號成立．故每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品80件，可使f(x)最?。? 答案：80 易誤警示(七) 忽視基本不等式成立的條件致誤 [來源:][來源:數(shù)理化網(wǎng)] [典例]　(2014·徐州模擬)已知正數(shù)a，b滿足2a2＋b

6、2＝3，則a的最大值為________． [解題指導]　a＝＝×. [解析]　a＝×a≤×(2a2＋b2＋1)＝×(3＋1)＝.當且僅當a＝，且2a2＋b2＝3，即a2＝1，b2＝1時，等號成立．所以a的最大值為. [答案]　 [名師點評]　1.本題易錯解為：因為a≤(a2＋b2＋1)2，等號成立的條件是a＝，即a2＝，b2＝， 所以a的最大值為.錯誤的原因是：(a2＋b2＋1)不是定值，不符合利用基本不等式的前提． 2．利用基本不等式求積的最大值時，要保證和為定值；求和的最小值時，要保證積為定值．定值是利用基本不等式的前提． 已知正實數(shù)x，y滿足xy＝1，則的最小值為________． 解析：依題意知，＝1＋＋＋1≥2＋2 ＝4，當且僅當x＝y(tǒng)＝1時，等號成立，故的最小值為4. 答案：4