《高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第十章 第5講直線與圓錐曲線》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第十章 第5講直線與圓錐曲線（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、△+△2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料△+△
第5講 直線與圓錐曲線
一、填空題
1．已知雙曲線x2－＝1的一條漸近線與直線x－2y＋3＝0垂直，則a＝________.
解析 由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程特征知a>0，其漸近線方程為x±y＝0，可得漸近線x＋y＝0與直線x－2y＋3＝0垂直，所以a＝4.
答案 4
2．以雙曲線x2－4y2＝4的中心頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線方程是________．
解析 設(shè)拋物線的方程為y2＝2px，則由焦點(diǎn)相同的條件可知＝?p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x.
答案 y2＝4x
3．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)A(x1，y1)，B
2、(x2，y2)，若AB＝7，則AB的中點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為________．
解析 由題知拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.由拋物線定義知：AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，因此M到拋物線準(zhǔn)線的距離為＋1＝.
答案
4．設(shè)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線與拋物線y＝x2＋1只有一個公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為________．
解析 雙曲線－＝1的一條漸近線為y＝x，由方程組消去y得，x2－x＋1＝0有唯一解，所以Δ＝2－4＝0，＝2，e＝＝＝ ＝.
答案
5．若斜率為
3、1的直線l與橢圓＋y2＝1交于不同兩點(diǎn)A、B，則AB的最大值為________．
解析 設(shè)直線l的方程為y＝x＋t，代入＋y2＝1消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0，由題意得Δ＝(2t)2－5(t2－1)＞0，即t2＜5，弦長AB＝·≤.
答案
6．已知雙曲線方程是x2－＝1，過定點(diǎn)P(2,1)作直線交雙曲線于P1，P2兩點(diǎn)，并使P(2,1)為P1P2的中點(diǎn)，則此直線方程是________________．
解析 設(shè)點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則由x－＝1，x－＝1，得k＝＝＝＝4，從而所求方程為4x－y－7＝0.將此直線方程與雙曲線方程聯(lián)立得14x2－56x＋51＝0
4、，Δ＞0，故此直線滿足條件．
答案 4x－y－7＝0
7．已知橢圓＋＝1(a>b>0)，A為左頂點(diǎn)，B為短軸一頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，
且⊥，則此橢圓的離心率為________．
解析 ∵AB＝，BF＝a，AF＝a＋c.
又∵⊥，∴AB2＋BF2＝AF2，
即2a2＋b2＝a2＋c2＋2ac，
∴c2＋ac－a2＝0，
∴＝.
所求的離心率為.
答案
8．已知點(diǎn)A(0,2)，拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，線段FA交拋物線于點(diǎn)B，過B作l的垂線，垂足為M，若AM⊥MF，則p＝________.
解析 依題意，設(shè)點(diǎn)B，點(diǎn)F，M，
則＝，＝，
＝，＝.
5、
由∥得×(－2)－(y1－2)＝0，
即y＋y1－p2＝0. ①
由AM⊥MF得·＝＋y1(y1－2)＝0，
即y－2y1＋＝0， ②
由①－②得y1＝③，把③代入②，解得p＝.
答案
9．已知橢圓x2＋2y2－2＝0的兩個焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，B為短軸的一個端點(diǎn)，
則△BF1F2的外接圓方程是________．
解析 F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，設(shè)B(0,1)，則△BF1F2為等腰直角三角形，故它的外接圓方程為x2＋y2＝1.[來源
答案 x2＋y2＝1
10．已知拋物線y2＝4x，過點(diǎn)P(4,0)的直線與拋
6、物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則x＋x的最小值是________．
解析 設(shè)過點(diǎn)P的直線為y＝k(x－4)，
當(dāng)k不存在時，A(4,4)，B(4，－4)，則x＋x＝32，
當(dāng)k存在時，有k2x2－(8k2＋4)x＋16k2＝0，
則x1＋x2＝8＋，x1·x2＝16，
故x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝32＋＋＞32，
故(x＋x)min＝32.
答案 32
二、解答題
11．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，
點(diǎn)P(1，)到拋物線C：y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線的
距離為.點(diǎn)M(t,1)是C上的定點(diǎn)，A，B是C上的
兩動點(diǎn)，且線段AB被直線OM平分
7、．
(1)求p，t的值；
(2)求△ABP面積的最大值．
解 (1)由題意知得
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)為
Q(m，m)．由題意知，設(shè)直線AB的斜率為k
(k≠0)．由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，
故k·2m＝1，
所以直線AB的方程為y－m
＝(x－m)，
即x－2my＋2m2－m＝0.
由
消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0，
所以Δ＝4m－4m2＞0，y1＋y2＝2m，y1·y2＝2m2－m.
從而|AB|＝ ·|y1－y2|
＝·.
設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d，則
d＝.
設(shè)△ABP的面積
8、為S，則
S＝|AB|·d＝|1－2(m－m2)|·.
由Δ＝4m－4m2＞0，得0＜m＜1.
令u＝，0＜u≤，則S＝u(1－2u2)．
設(shè)S(u)＝u(1－2u2)，0＜u≤，則S′(u)＝1－6u2.
由S′(u)＝0，得u＝∈，所以
S(u)max＝S＝.
故△ABP面積的最大值為.
12．設(shè)A、B分別為橢圓＋＝1(a，b＞0)的左、右頂點(diǎn)，橢圓長半軸的長等于焦距，且x＝4為它的右準(zhǔn)線．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)P為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)(4,0)的任意一點(diǎn)，若直線AP、BP分別與橢圓相交于異于A、B的點(diǎn)M、N，證明：點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)．
(1)解 依題
9、意得a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，從而b＝.故橢圓的方程為＋＝1.
(2)證明 由(1)得A(－2,0)，B(2,0)．設(shè)M(x0，y0)．
∵M(jìn)點(diǎn)在橢圓上，∴y0＝(4－x)． ①
又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B，∴－2＜x0＜2，
由P、A、M三點(diǎn)共線可以得P.
從而＝(x0－2，y0)，＝.
∴·＝2x0－4＋＝(x－4＋3y)． ②
將①代入②，化簡得·＝(2－x0)．
∵2－x0＞0，∴·＞0，則∠MBP為銳角，
從而∠MBN為鈍角．
故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)．
13．已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，△ABC的三個頂點(diǎn)都在
10、拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點(diǎn)，若BC所在直線l的方程為4x＋y－20＝0.
(1)求拋物線C的方程；
(2)若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P，Q是拋物線C上的兩動點(diǎn)，且滿足PO⊥OQ，證明：直線PQ過定點(diǎn)．
(1)解 設(shè)拋物線C的方程為y2＝2mx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得2y2＋my－20m＝0，
∵Δ＞0，∴m＞0或m＜－160.
解得y1,2＝，則y1＋y2＝－，
∴x1＋x2＝＋＝10＋.
再設(shè)C(x3，y3)，由于△ABC的重心為F，
則解得
∵點(diǎn)C在拋物線上，∴2＝2m.
∴m＝8，拋物線C的方程為y2＝16x.
(2)證明 當(dāng)PQ的斜率存在時，
11、設(shè)PQ的方程為y＝kx＋b，顯然k≠0，b≠0，∵PO⊥OQ，∴kPOkOQ＝－1，
設(shè)P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，∴xPxQ＋yPyQ＝0，
將直線y＝kx＋b代入拋物線方程，得ky2－16y＋16b＝0，
∴yPyQ＝.從而xPxQ＝＝，∴＋＝0，
∵k≠0，b≠0，
∴直線PQ的方程為y＝kx－16k，PQ過點(diǎn)(16,0)；
當(dāng)PQ的斜率不存在時，顯然PQ⊥x軸，又PO⊥OQ，
∴△POQ為等腰三角形，由
得P(16,16)，Q(16，－16)，此時直線PQ過點(diǎn)(16,0)，
∴直線PQ恒過定點(diǎn)(16,0).
14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)A(－2，－1
12、)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，短軸端點(diǎn)為B1、B2，·＝2b2.
(1)求a、b的值；
(2)過點(diǎn)A的直線l與橢圓C的另一交點(diǎn)為Q，與y軸的交點(diǎn)為R.過原點(diǎn)O且平行于l的直線與橢圓的一個交點(diǎn)為P.若AQ·AR＝3 OP2，求直線l的方程．
解 (1)因?yàn)镕(－c,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)，
所以＝(c，－b)，＝(c，b)．
因?yàn)椤ぃ?b2，所以c2－b2＝2b2.①
因?yàn)闄E圓C過A(－2，－1)，代入得，＋＝1.②
由①②解得a2＝8，b2＝2.
所以a＝2，b＝.
(2)由題意，設(shè)直線l的方程為y＋1＝k(x＋2)．
由得(x＋2)[(4k2＋1)(x＋2)－(8k＋4)]＝0.
因?yàn)閤＋2≠0，所以x＋2＝，即xQ＋2＝.
由題意，直線OP的方程為y＝kx.
由得(1＋4k2)x2＝8.
則x＝.
因?yàn)锳Q·AR＝3OP2.
所以|xQ－(－2)|×|0－(－2)|＝3x.
即||×2＝3×.
解得k＝1，或k＝－2.
當(dāng)k＝1時，直線l的方程為x－y＋1＝0，
當(dāng)k＝－2時，直線l的方程為2x＋y＋5＝0.
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品
高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第十章 第5講直線與圓錐曲線
