新編一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：第3章 第5節(jié)　兩角和與差及二倍角的三角函數(shù) Word版含解析

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1、 第五節(jié)　兩角和與差及二倍角的三角函數(shù) [考綱傳真]　1.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.2.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.3.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.4.能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對(duì)這三組公式不要求記憶)． 1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β?sin_αsin_β； (3)tan(α±β)＝.

2、2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝. 3．有關(guān)公式的變形和逆用 (1)公式T(α±β)的變形： ①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． (2)公式C2α的變形： ①sin2α＝(1－cos 2α)； ②cos2α＝(1＋cos 2α)． (3)公式的逆用： ①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2； ②sin

3、 α±cos α＝sin. 4．輔助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ). 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)存在實(shí)數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　) (2)在銳角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不確定．(　　) (3)公式tan(α＋β)＝可以變形為tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且對(duì)任意角α，β都成立．(　　) (4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值與a，b的值無關(guān)．(　　) [答案]　

4、(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改編)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　) A．－　　　B.　　　C．－　　　D. D　[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故選D.] 3．(20xx·全國(guó)卷Ⅲ)若tan θ＝－，則cos 2θ＝(　　) A．－ B．－ C. D． D　[∵cos 2θ＝＝. 又∵tan θ＝－，∴cos 2θ＝＝.] 4．(20xx·云南二次統(tǒng)一檢測(cè))函數(shù) f(x)＝sin

5、x＋cos x的最小值為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962165】 －2　[函數(shù)f(x)＝2sin的最小值是－2.] 5．若銳角α，β滿足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，則α＋β＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962166】 　[由(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，可得＝，即tan(α＋β)＝. 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.] 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn) 　(1)化簡(jiǎn)：＝________. (2)化簡(jiǎn)：. (1)2cos α　[原式＝＝2cos α.] (2)原式＝ ＝＝＝cos 2x. [規(guī)律方法]　1.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”

6、原則 (1)一看“角”，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式． (2)二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，最常見的是“切化弦”． (3)三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向． 2．三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的方法 弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪． [變式訓(xùn)練1]　化簡(jiǎn)：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－cos 2α·cos 2β＝________. 　[法一：原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－·(2cos2α－1)·(2cos2β－1) ＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2

7、β－(4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β＋1) ＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－ ＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－ ＝sin2β＋cos2β－＝1－＝. 法二：原式＝·＋·－cos 2α·cos 2β ＝(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－cos 2α·cos 2β＝.] 　三角函數(shù)式的求值 角度1　給角求值 　(1)＝(　　) A. B． C. D． (2)sin 50°(1＋t

8、an 10°)＝________. (1)C　(2)1　[(1)原式＝ ＝ ＝＝. (2)sin 50°(1＋tan 10°) ＝sin 50° ＝sin 50°× ＝sin 50°× ＝＝＝＝1.] 角度2　給值求值 　(1)(20xx·全國(guó)卷Ⅱ)若cos＝，則sin 2α＝(　　) A. B． C．－ D．－ (2)(20xx·安徽十校聯(lián)考)已知α為銳角，且7sin α＝2cos 2α，則sin＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962167】 A. B． C. D． (1)D　(2)A　[(1)∵cos＝， ∴sin 2α＝cos＝cos 2＝

9、2cos2－1＝2×－1＝－. (2)由7sin α＝2cos 2α得7sin α＝2(1－2sin2α)，即4sin2α＋7sin α－2＝0，∴sin α＝－2(舍去)或sin α＝.∵α為銳角，∴cos α＝，∴sin＝×＋×＝，故選A.] 角度3　給值求角 　(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)α∈，β∈，且tan α＝，則(　　) A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ B　[法一：由tan α＝得＝， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin. ∵α∈，β∈，∴α－β∈，－α∈， 由sin(α

10、－β)＝sin，得α－β＝－α， ∴2α－β＝. 法二：tan α＝＝ ＝ ＝cot ＝tan ＝tan， ∴α＝kπ＋，k∈Z， ∴2α－β＝2kπ＋，k∈Z. 當(dāng)k＝0時(shí)，滿足2α－β＝，故選B.] [規(guī)律方法]　1.“給角求值”中一般所給出的角都是非特殊角，應(yīng)仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角之間的關(guān)系，結(jié)合公式將非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)求解． 2．“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系． 3．“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.

11、 三角變換的簡(jiǎn)單應(yīng)用 　已知函數(shù)f(x)＝sin2x－sin2，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． [解]　(1)由已知，有 f(x)＝－ ＝－cos 2x ＝sin 2x－cos 2x＝sin. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. 5分 (2)因?yàn)閒(x)在區(qū)間上是減函數(shù)， 在區(qū)間上是增函數(shù)， 且f＝－，f＝－，f＝， 所以f(x)在區(qū)間上的最大值為，最小值為－. 12分 [規(guī)律方法]　1.進(jìn)行三角恒等變換要抓?。鹤兘恰⒆兒瘮?shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用． 2．把形如y＝asin x

12、＋bcos x化為y＝sin(x＋φ)，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值與對(duì)稱性． [變式訓(xùn)練2]　(1)(20xx·山東高考)函數(shù)f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)的最小正周期是(　　) A. B．π C. D．2π (2)(20xx·全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值為________． (1)B　(2)1　[(1)法一：∵f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x) ＝4 ＝4sincos ＝2sin， ∴T＝＝π. 法二：∵f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－si

13、n x) ＝3sin xcos x＋cos2x－sin2x－sin xcos x ＝sin 2x＋cos 2x ＝2sin， ∴T＝＝π.故選B. (2)f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x ＝sin xcos φ＋cos xsin φ－2sin φcos x ＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)． ∴f(x)max＝1.] [思想與方法] 三角恒等變換的三種變換角度 (1)變角：設(shè)法溝通所求角與已知角之間的關(guān)系．常用的拆角、拼角方法是：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，＝－. (2)變名：盡可能減少函數(shù)名稱，其方法是“弦切互化”，“升冪與降冪”“1”的代換等． (3)變式：對(duì)式子變形要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等． [易錯(cuò)與防范] 1．三角函數(shù)是定義域到值域的多對(duì)一的映射，時(shí)刻關(guān)注角的范圍是防止增解的有效措施．求角的某一三角函數(shù)值時(shí)，應(yīng)選擇在該范圍內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，若已知正切函數(shù)值，則選正切函數(shù)；否則，若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好． 2．計(jì)算形如y＝sin(ωx＋φ)，x∈[a，b]形式的函數(shù)最值時(shí)，不要將ωx＋φ的范圍和x的范圍混淆．