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1、
1
2、 1
第2節(jié) 圓與方程
課時訓練 練題感 提知能
【選題明細表】
知識點、方法
題號
圓的方程
1、10、12
與圓有關(guān)的最值
8
與圓有關(guān)的軌跡
4
與圓有關(guān)的對稱
5、9
直線與圓的位置關(guān)系
3、11、12、15、16
圓的切線問題
6、13
弦長問題
2、7
圓與圓的位置關(guān)系
14
A組
3、一、選擇題
1.圓心在y軸上,半徑為1,且過點(1,2)的圓的方程為( A )
(A)x2+(y-2)2=1 (B)x2+(y+2)2=1
(C)(x-1)2+(y-3)2=1 (D)x2+(y-3)2=1
解析:由題意,設(shè)圓心(0,t),
則12+(t-2)2=1,得t=2,
所以圓的方程為x2+(y-2)2=1,故選A.
2.(高考福建卷)直線x+3y-2=0與圓x2+y2=4相交于A、B兩點,則弦AB的長度等于( B )
(A)25 (B)23 (C)3 (D)1
解析:因為圓心到直線x+3y-2=0的距離d=|0+3×0-2|12+(3)2=1,半徑r=2,
4、所以弦長|AB|=222-12=23.
故選B.
3.(高考陜西卷)已知圓C:x2+y2-4x=0,l是過點P(3,0)的直線,則( A )
(A)l與C相交 (B)l與C相切
(C)l與C相離 (D)以上三個選項均有可能
解析:x2+y2-4x=0是以(2,0)為圓心,以2為半徑的圓,而點P(3,0)到圓心的距離為d=(3-2)2+(0-0)2=1<2,
點P(3,0)恒在圓內(nèi),過點P(3,0)不管怎么樣畫直線,都與圓相交.故選A.
4.動點P到點A(8,0)的距離是到點B(2,0)的距離的2倍,則動點P的軌跡方程為( B )
(A)x2+y2=32 (B)x2+y2=
5、16
(C)(x-1)2+y2=16 (D)x2+(y-1)2=16
解析:設(shè)P(x,y),
則由題意可得2(x-2)2+y2=(x-8)2+y2,
化簡整理得x2+y2=16,故選B.
5.(20xx肇慶中小學質(zhì)量評估)經(jīng)過圓x2+y2+2y=0的圓心C,且與直線2x+3y-4=0平行的直線方程為( A )
(A)2x+3y+3=0 (B)2x+3y-3=0
(C)2x+3y+2=0 (D)3x-2y-2=0
解析:由題意知圓心C(0,-1),
設(shè)所求直線方程為2x+3y+k=0,代入點(0,-1)得k=3,
故所求直線為2x+3y+3=0,故選A.
6.(高考廣東卷)
6、垂直于直線y=x+1且與圓x2+y2=1相切于第一象限的直線方程是( A )
(A)x+y-2=0 (B)x+y+1=0
(C)x+y-1=0 (D)x+y+2=0
解析:與直線y=x+1垂直的直線方程可設(shè)為x+y+b=0,由x+y+b=0與圓x2+y2=1相切,可得|b|12+12=1,故b=±2.因為直線與圓相切于第一象限,故b=-2,則直線方程為x+y-2=0.故選A.
二、填空題
7.(高考浙江卷)直線y=2x+3被圓x2+y2-6x-8y=0所截得的弦長等于 .?
解析:圓的方程可化為(x-3)2+(y-4)2=25,
故圓心為(3,4),半徑r=5.
又直線方
7、程為2x-y+3=0,
∴圓心到直線的距離為d=|2×3-4+3|4+1=5,
∴弦長為2×25-5=220=45.
答案:45
8.已知直線l:x-y+4=0與圓C:(x-1)2+(y-1)2=2,則圓C上各點到l的距離的最小值為 .?
解析:因為圓C的圓心(1,1)到直線l的距離為
d=|1-1+4|12+(-1)2=22,
又圓半徑r=2.
所以圓C上各點到直線l的距離的最小值為d-r=2.
答案:2
9.圓(x-2)2+(y-3)2=1關(guān)于直線l:x+y-3=0對稱的圓的方程為 .?
解析:已知圓的圓心為(2,3),半徑為1.
則對稱圓的圓心與(2,
8、3)關(guān)于直線l對稱,由數(shù)形結(jié)合得,對稱圓的圓心為(0,1),半徑為1,故方程為x2+(y-1)2=1.
答案:x2+(y-1)2=1
10.已知圓C的圓心在直線3x-y=0上,半徑為1且與直線4x-3y=0相切,則圓C的標準方程是 .?
解析:∵圓C的圓心在直線3x-y=0上,
∴設(shè)圓心C(m,3m).
又圓C的半徑為1,且與4x-3y=0相切,
∴|4m-9m|5=1,
∴m=±1,
∴圓C的標準方程為(x-1)2+(y-3)2=1或(x+1)2+(y+3)2=1.
答案:(x-1)2+(y-3)2=1或(x+1)2+(y+3)2=1
三、解答題
11.(20xx
9、珠海摸底)已知圓C:x2+y2-8y+12=0,直線l:ax+y+2a=0.
(1)當a為何值時,直線l與圓C相切;
(2)當直線l與圓C相交于A、B兩點,且|AB|=22時,求直線l的方程.
解:將圓C的方程x2+y2-8y+12=0配方得標準方程為x2+(y-4)2=4,則此圓的圓心為(0,4),半徑為2.
(1)若直線l與圓C相切,
則有|4+2a|a2+1=2.解得a=-34.
(2)過圓心C作CD⊥AB,則根據(jù)題意和圓的性質(zhì),
得|CD|=|4+2a|a2+1,|CD|2+|DA|2=22,|DA|=12|AB|=2,解得a=-7,或a=-1.
故所求直線方程為7x-
10、y+14=0或x-y+2=0.
12.(20xx廣東佛山第一次質(zhì)檢)已知A(-2,0),B(2,0),C(m,n).
(1)若m=1,n=3,求△ABC的外接圓的方程;
(2)若以線段AB為直徑的圓O過點C(異于點A,B),直線x=2交直線AC于點R,線段BR的中點為D,試判斷直線CD與圓O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
解:(1)法一 設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
由題意可得4-2D+F=0,4+2D+F=0,1+3+D+3E+F=0,
解得D=E=0,F=-4,
∴△ABC的外接圓方程為x2+y2-4=0,即x2+y2=4.
法二 線段AC的中點為(-12
11、,32),
直線AC的斜率為k1=33,
∴線段AC的中垂線的方程為y-32=-3(x+12),
線段AB的中垂線方程為x=0,代入AC中垂線方程得y=0,
∴△ABC的外接圓圓心為(0,0),半徑為r=2,
∴△ABC的外接圓方程為x2+y2=4.
(2)由題意可知以線段AB為直徑的圓的方程為x2+y2=4,設(shè)點R的坐標為(2,t),
∵A,C,R三點共線,
∴AC→∥AR→,
而AC→=(m+2,n),AR→=(4,t),則4n=t(m+2),
∴t=4nm+2,
∴點R的坐標為(2,4nm+2),點D的坐標為(2,2nm+2),
∴直線CD的斜率為k=n-2nm+
12、2m-2=(m+2)n-2nm2-4=mnm2-4,
而m2+n2=4,
∴m2-4=-n2,∴k=mn-n2=-mn,
∴直線CD的方程為y-n=-mn(x-m),
化簡得mx+ny-4=0,
∴圓心O到直線CD的距離
d=4m2+n2=44=2=r,
∴直線CD與圓O相切.
13.(高考江蘇卷)如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A(0,3),
直線l:y=2x-4,設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上.
(1)若圓心C也在直線y=x-1上,過點A作圓C的切線,求切線的方程;
(2)若圓C上存在點M,使MA=2MO,求圓心C的橫坐標a的取值范圍.
解:(1)由題設(shè),圓心C是直
13、線y=2x-4和y=x-1的交點,解得點C(3,2),于是切線的斜率必存在,設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為y=kx+3,
由題意,得|3k+1|k2+1=1,
解得k=0或-34.
故所求切線方程為y=3或3x+4y-12=0.
(2)∵圓心在直線y=2x-4上,
∴圓C的方程為(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.
設(shè)點M(x,y),∴MA=2MO,
∴x2+(y-3)2=2x2+y2,
化簡得x2+y2+2y-3=0,
即x2+(y+1)2=4,
∴點M在以D(0,-1)為圓心,2為半徑的圓上.
由題意,點M(x,y)在圓C上,
∴圓C與圓D有公共點,
則
14、|2-1|≤CD≤2+1.
即1≤a2+(2a-3)2≤3.
整理得-8≤5a2-12a≤0.
由5a2-12a+8≥0,得a∈R;
由5a2-12a≤0,得0≤a≤125.
∴點C的橫坐標a的取值范圍為[0,125].
B組
14.兩圓x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三條公切線,若
a∈R,b∈R,且ab≠0,則1a2+1b2的最小值為( C )
(A)19 (B)49 (C)1 (D)3
解析:將圓的方程化為標準方程,
得(x+a)2+y2=4和x2+(y-2b)2=1.
兩圓有三條公切線,
即兩圓相外切,
所以圓心距等于
15、半徑長之和,
故a2+4b2=9,19(a2+4b2)=1,
所以1a2+1b2=19(a2+4b2)·1a2+1b2
=195+4b2a2+a2b2≥1.
當且僅當a2=2b2時,等號成立,
即1a2+1b2的最小值為1.
故選C.
15.(高考江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中,圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx-2上至少存在一點,使得以該點為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點,則k的最大值是 .?
解析:可轉(zhuǎn)化為圓C的圓心到直線y=kx-2的距離不大于2.
圓C的標準方程為(x-4)2+y2=1,圓心為(4,0).
由題意知(4,0)到kx-y-2=0的距離應(yīng)不大于2,
即|4k-2|k2+1≤2.
整理,得3k2-4k≤0,
解得0≤k≤43.
故k的最大值為43.
答案:43
16.(20xx廣州市高三調(diào)研)圓x2+y2+2x+4y-15=0上到直線x-2y=0的距離為5的點的個數(shù)是 .?
解析:圓方程x2+y2+2x+4y-15=0化為標準式為(x+1)2+(y+2)2=20,其圓心坐標為(-1,-2),半徑r=25,由點到直線的距離公式得圓心到直線x-2y=0的距離d=|-1-2×(-2)|12+(-2)2=355,如圖所示,圓上到直線x-2y=0的距離為5的點有4個.
答案:4
新版高三數(shù)學復(fù)習 第2節(jié) 圓與方程
