新編高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第八章】立體幾何 第3講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第3講 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 一、選擇題 1．下列命題正確的個(gè)數(shù)為(　　)． ①經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面； ②梯形可以確定一個(gè)平面； ③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面； ④如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合． A．0 B．1 C．2 D．3 解析　①④錯(cuò)誤，②③正確． 答案　C 2．若兩條直線和一個(gè)平面相交成等角，則這兩條直線的位置關(guān)系是 (　　)． A．平行 B．異面 C．相交 D．平行、異面或相交 解析　經(jīng)

2、驗(yàn)證，當(dāng)平行、異面或相交時(shí)，均有兩條直線和一個(gè)平面相交成等角的情況出現(xiàn)，故選D. 答案　D 3．若三個(gè)平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個(gè)平面把空間分為(　　) A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分 解析 垂直于交線的截面如圖，把空間分為7部分． 答案 C 4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是BD1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 (　　)． A．A1、M、O三點(diǎn)共線

3、B．M、O、A1、A四點(diǎn)共面 C．A、O、C、M四點(diǎn)共面 D．B、B1、O、M四點(diǎn)共面 解析　因?yàn)镺是BD1的中點(diǎn)．由正方體的性質(zhì)知，點(diǎn)O在直線A1C上，O也是A1C的中點(diǎn)，又直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則A1、M、O三點(diǎn)共線，A正確；又直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，所以B、C正確． 答案　D 5．一個(gè)正方體的展開(kāi)圖如圖所示，A、B、C、D為原正方體的頂點(diǎn)，則在原來(lái)的正方體中 (　　)． A．AB∥CD B．AB與CD相交 C．AB⊥CD D．AB與CD所成的角為60° 解析　如圖，把展開(kāi)圖中的各正方形按圖(a)所示的方式分別作為正方體的前、后

4、、左、右、上、下面還原，得到圖(b)所示的直觀圖，可見(jiàn)選項(xiàng)A、B、C不正確．∴正確選項(xiàng)為D.圖(b)中，DE∥AB，∠CDE為AB與CD所成的角，△CDE為等邊三角形，∴∠CDE＝60°. 答案　D 6．如圖，四棱錐SABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是(　　)． A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD C．SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角 D．AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角 解析　選項(xiàng)A正確，因?yàn)镾D垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD中，所以AC垂直于SD；再由ABCD為正方形，所以AC垂直于BD；而B(niǎo)D與

5、SD相交，所以，AC垂直于平面SBD，進(jìn)而垂直于SB.選項(xiàng)B正確，因?yàn)锳B平行于CD，而CD在平面SCD內(nèi)，AB不在平面SCD內(nèi)，所以AB平行于平面SCD.選項(xiàng)C正確，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，連接SO，則SA與平面SBD所成的角就是∠ASO，SC與平面SBD所成的角就是∠CSO，易知這兩個(gè)角相等．選項(xiàng)D錯(cuò)誤，AB與SC所成的角等于∠SCD，而DC與SA所成的角是∠SAB，這兩個(gè)角不相等． 答案　D 二、填空題 7．已知a，b為不垂直的異面直線，α是一個(gè)平面，則a，b在α上的射影有可能是： ①兩條平行直線；②兩條互相垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及其外一點(diǎn)． 在上面結(jié)論中，正確結(jié)

6、論的編號(hào)是________(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào))． 解析　只有當(dāng)a∥b時(shí)，a，b在α上的射影才可能是同一條直線，故③錯(cuò)，其余都有可能． 答案?、佗冖? 8. 如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為棱C1D1、C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論： ①直線AM與CC1是相交直線； ②直線AM與BN是平行直線； ③直線BN與MB1是異面直線； ④直線AM與DD1是異面直線． 其中正確的結(jié)論為_(kāi)_______(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)． 解析　直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故①②錯(cuò)誤． 答案?、邰? 9．如圖，矩形ABCD中，AB

7、＝2，BC＝4，將△ABD沿對(duì)角線 BD折起到△A′BD的位置，使點(diǎn)A′在平面BCD內(nèi)的射影點(diǎn)O恰 好落在BC邊上，則異面直線A′B與CD所成角的大小為_(kāi)_______． 解析 如題圖所示， 由A′O⊥平面ABCD， 可得平面A′BC⊥平面ABCD， 又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B， 即得異面直線A′B與CD所成角的大小為90°. 答案 90° 10．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有________條． 解析　法一　在EF上任意取一點(diǎn)M，直線A1D1

8、與M確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與CD有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N，當(dāng)M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點(diǎn)N，而直線MN與這3條異面直線都有交點(diǎn)．如圖所示． 法二　在A1D1上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P與直線EF作一個(gè)平面α，因CD與平面α不平行，所以它們相交，設(shè)它們交于點(diǎn)Q，連接PQ，則PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線．由點(diǎn)P的任意性，知有無(wú)數(shù)條直線與三條直線A1D1，EF，CD都相交． 答案　無(wú)數(shù) 三、解答題 11． 如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綉AD，BE綉FA，G、H分別為FA、FD的中點(diǎn)． (1)證明：四邊形BCHG是平行四

9、邊形； (2)C、D、F、E四點(diǎn)是否共面？為什么？ (1)證明　由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，可得GH綉AD. 又BC綉AD，∴GH綉B(tài)C，∴四邊形BCHG為平行四邊形． (2)解　由BE綉AF，G為FA中點(diǎn)知，BE綉FG， ∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG. 由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面． 又D∈FH，∴C、D、F、E四點(diǎn)共面． 12．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的A1C1面上有一點(diǎn)P(如圖所示，其中P點(diǎn)不在對(duì)角線B1D1)上． (1)過(guò)P點(diǎn)在空間作一直線l，使l∥直線BD，應(yīng)該如何作圖？并說(shuō)明理由； (2)過(guò)P點(diǎn)在平面A1C1內(nèi)作

10、一直線m，使m與直線BD成α角，其中α∈，這樣的直線有幾條，應(yīng)該如何作圖？ 解　(1)連接B1D1，BD，在平面A1C1內(nèi)過(guò)P作直線l，使l∥B1D1，則l即為所求作的直線，如圖(a)． ∵B1D1∥BD，l∥B1D1，∴l(xiāng)∥直線BD. 圖(a) (2)∵BD∥B1D1，∴直線m與直線BD也成α角，即直線m為所求作的直線，如圖(b)．由圖知m與BD是異面直線，且m與BD所成的角α∈. 當(dāng)α＝時(shí)，這樣的直線m有且只有一條，當(dāng)α≠時(shí)，這樣的直線m有兩條． 圖(b) 13.如圖，空間四邊形ABCD中，E、F分別是AD、AB的中點(diǎn)，G、H分別在BC、CD上，且BG∶GC＝DH∶H

11、C＝1∶2. (1)求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面； (2)設(shè)FG與HE交于點(diǎn)P，求證：P、A、C三點(diǎn)共線． 證明　(1)△ABD中，E、F為AD、AB中點(diǎn)， ∴EF∥BD. △CBD中，BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2， ∴GH∥BD，∴EF∥GH(平行線公理)， ∴E、F、G、H四點(diǎn)共面． (2)∵FG∩HE＝P，P∈FG，P∈HE， ?P∈直線AC. ∴P、A、C三點(diǎn)共線． 14．在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB＝60°，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60°. (1)求四棱錐的體積； (2)若E是P

12、B的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的余弦值． 解　(1)在四棱錐P－ABCD中， ∵PO⊥面ABCD， ∴∠PBO是PB與面ABCD所成的角， 即∠PBO＝60°，在Rt△POB中， ∵BO＝AB·sin 30°＝1， 又PO⊥OB，∴PO＝BO·tan 60°＝， ∵底面菱形的面積S菱形ABCD＝2. ∴四棱錐P－ABCD的體積VP－ABCD＝×2×＝2. (2)取AB的中點(diǎn)F，連接EF，DF， ∵E為PB中點(diǎn)，∴EF∥PA， ∴∠DEF為異面直線DE與PA所成角(或其補(bǔ)角)．在Rt△AOB中， AO＝AB·cos 30°＝＝OP， ∴在Rt△POA中，PA＝，∴EF＝. 在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF＝DE＝， ∴cos∠DEF＝＝＝＝. 即異面直線DE與PA所成角的余弦值為.