《鴿巢原理》教學設計李琳

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1、 《鴿巢原理》教學設計 曉 泉 小 學 李 琳 鴿 巢 原 理 【教學內容】 　　《義務教育課程標準實驗教科書·數(shù)學》六年級下冊第70頁。 【教學目標】 　　1.經(jīng)歷“鴿巢原理”的探究過程，初步了解“鴿巢原理”，會用“鴿巢原理”解決簡單的實際問題。 　　2.通過操作發(fā)展學生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學思維。 　　3.通過“鴿巢原理”的靈活應用感受數(shù)學的魅力。 【教學重點】 　　經(jīng)歷“鴿巢原理”的探究過程，初步了解“鴿巢原理”。 【教學難點】 　　理解“鴿巢原理”，并對

2、一些簡單實際問題加以“模型化”。 【教具、學具準備】 　　每組都有相應數(shù)量的小棒、紙杯、板凳。 【教學過程】 一、激趣導入 1 、 在開課之前老師特別想和同學們做個游戲，誰愿意參加？ 師：1、2、3、4、5，請你們五位到這兒來，這兒有四把椅子，聽好要求，當老師說：“開始”你們五個同學都要坐在椅子上，好嗎？（生說：好） 師背對學生，說：“準備，開始?！鄙谝巫由?。 師：呦！大家得幫幫忙，他們都坐上了嗎？ 生：坐上了。 師：那老師不用看，就知道一定有一把椅子上至少坐了兩位同學，是這樣嗎？ 生：是。 師轉頭，說：我們來看看，果真如此，這一個座位上坐了兩位同學，好，起立。

3、 師：那假如說，我們請這五位同學反復再坐，不管怎么坐，我還肯定總有一把椅子上至少坐了兩位同學，你們相信嗎？ 生：相信。 師：好了，謝謝你們，請回。其實呀，這里面蘊藏著一個有趣的數(shù)學原理，想不想研究呢？ 生：想。 二、探究新知 師：那我們今天呢，就用小棒和杯子來研究這個原理，板書：小棒、杯子?，F(xiàn)在呢，要把3根小棒放進2個杯子中，邊說邊板書3，2，可以怎么放？有幾種不同的放法？那么請大家就先擺擺看，看看有什么發(fā)現(xiàn)，好嗎？ 生：好 師：現(xiàn)在開始。 生小組操作擺一擺，并上臺匯報。 師：大部分同學都擺完了，誰能說說，你們是怎么擺的？來，請你們，能不能到前面邊擺邊給大家說，這樣，我們一起

4、幫他記錄好嗎？ 生：好。 生講解：我們認為有兩種擺法，（此時，師在黑板上畫三個小棒即：111），第一種擺法是：把3根小棒放進一個杯子里，另一個杯子是空的。【此時，師板書111（111，0）】,第二種擺法是將兩根小棒放進一個杯子里，另外一個杯子里放1根小棒怎么記呀？【師板書111 （111，0；11，1）】 師：大家是這樣擺的嗎？ 生：是 師：那么還有不同的擺法嗎？噢，沒有了。那么同學們來觀察這所有的擺法【邊說邊指黑板111（111，0；11，1）】，想一想，5個人坐4把椅子，不管怎么坐，總有一把椅子上至少坐了2個同學。那么，3根小棒放到2個杯子里，不管怎么做，你有什么發(fā)現(xiàn)？ 師：請

5、這位同學說。 生1：不管怎么放，總會有一個杯子里面有2根小棒。 師：有不同意見嗎？有2根小棒，那同學們來看，這樣擺，師指黑板上111（111，0），你來說。 生2：不管怎么放，每個杯子里至少有2根或2 根以上的小棒。 師：2根或2根以上，我們可以說什么呀？ 生：至少。 師：哎，我聽到有同學用的詞非常的好，再說一遍。 生：至少。 師：至少2根，行不行？是每個杯子里都至少2根嗎？ 生：不是。 師：什么啊？ 生：一個。 師：噢，總有一個杯子里至少有2根小棒。哪個同學再來說一說，來，你說。 生1：不管怎么放，在一個杯子里總是至少有2根小棒。 師：不管怎么放，總有一個杯子里到

6、少有2根小棒，誰能再說說，來，你來說。 生2：不管怎么放，總有一個杯子里，至少有2根小棒。 師：好，說得真好。說得既清楚，又簡潔，誰還想再說說。你來說。 生3：不管怎么放，總有一個杯子里有2根小棒。 師：大家看，是這樣嗎？（指黑板） 生：是 師：老師把同學們的發(fā)現(xiàn)記錄下來，板書：總有一個杯子里至少有2（邊板書邊說總有一個杯子里至少有2 個小棒），那依次推想下去，把4根小棒放到3個杯子里（邊說邊板書：4，3），又可以怎么放呢？大家再來擺擺看，看看有什么發(fā)現(xiàn)？ 生動手操作，師說：好，注意，邊擺邊把各種情況記錄下來。 師：好，哪個小組愿意來展示下下，你們是怎么擺的？請你們。 生1：

7、我們是分四種方法來擺的，首先，就是在其中一個杯子里放上4根小棒，然后其余2個杯子是空的。（師板書：1111） 師：怎么記？【師板書：111（1111，0，0）】生1：（4，0，0）其它同學一起說。 生1：我們第二種方法就是在其中的兩個杯子里各放1根，然后在另一個杯子里放2根，（師板書：1111（11，1，1））生：（1，1，2）我們的第三種方法是在其中的一個杯子里放3根，第2 個杯子里放1根，最后一個杯子空著，（師板書1111（11，11，0）） 師：噢，我們配合得非常好，還有不同的擺法嗎？好，請你回，那么同學們再來觀察，把4根小棒放到3個杯子中（邊說邊指板書），不管怎么放，你有什么發(fā)現(xiàn)

8、？好，你來說。 生1：不管怎么放，總有一個杯子里至少有2根小棒。 師：請坐下，誰還有這樣的發(fā)現(xiàn)，再來說說，你來說。 生2：不管怎么說放，總有一個杯子里至少有2根小棒。 師：說得真清楚，你來說。 生3：不管怎么放，只有一個杯子里至少有2根小棒。 師：只有一個杯子里至少有2根小棒？ 生3糾正：總有一個杯子里至少有2根小棒。 師：請坐下，那“總有”是什么意思呢？不管怎么放，總有一個杯子里，來，那位女同學。 生1：我覺得就是一定的意思。 師：一定有，同意嗎？ 生：同意。 師：不管怎么放，一定會有這種情況（師邊說邊指板書1111）至少呢？來。這位女同學。 生1：“至少”的意思是

9、“最少”，不管怎么放，總有一個杯子里最少有2根小棒。 師：同意不同意？ 生：同意。 師：剛才，同學們呀把所有的擺放方法一一列舉出來了，得到了這樣的結論，邊說邊板書：（2），那我再往下想，6根小棒放到5個杯子里，邊說邊板書：（6，5），你感覺會有什么結果？好，你來說。 生1：就是，不管怎么放，總有一個杯子里也是至少有2根小棒。 師：呦！他是這樣想的，還有誰想說？你來說。 生2：不管怎么放，總有一個杯子里至少有2根小棒。 師：說得這么完整，還有誰想說？你來說。 生3：不管怎么放，總有一個杯子里至少有2根小棒。 師：我的感覺也和大家是一樣的，可是我們想得對不對呢？得需要干什么呀？

10、 生：實驗。 師：對，實驗去驗證，去證明我們的想法，可是我們還用像剛才一一把所有的擺法列舉出來嗎？ 生：不用。 師：你們能不能想出一種更簡便的方法，直接就能證明這個結論對還是不對呢？能行嗎？（生：能），那咱就試試看，同位小組里面咱先交流，開始。 生互相交流，師指導（所以說，總有一個杯子里至少有2根小棒，那還有其它的方法嗎？為什么只擺這一種就行了呢？） 師：好，大家擺完了，那誰能給大家說一說你們想出什么辦法來了？好，這個小組，能不能給大家邊擺邊說。（師幫忙擺杯子） 生1：這里一共放了5個杯子，我手里有6根小棒。我們現(xiàn)在假設一下，如果5個杯子里面，每個杯子里面都放1根的話，但是我手里還

11、有1 根，所以說，這個小棒無論放到哪一個杯子里面，那個杯子里面都有2根，或者說至少有2根，所以說，我們就證明了，如果這樣放的話，無論怎么放，總有一個杯子里面超過（自改至少有）2根小棒。 師：有2根小棒是這樣的嗎？（是）誰和他分的方法是一樣的？（生舉手）那么多小組都選擇了這種方法，剛才他這樣分，是怎么分的呀？你來說。 生1：他剛才這樣分的方法用的是平均分。 師：平均分的，對于這種平均分的方法，同學們有沒有問題呀？（生：沒有），那我有問題能不能請教大家呀？（生：可以）為什么只有“平均分”這一種方法，就能證明這個結論呢？看來，你們得需要商量商量，是這樣嗎？（生：是）好，商量商量。 生小組商量

12、，師指導。 師：好了，誰能說一說，為什么呢？能不能幫我解開這個疑問？來，你來說。 生1：因為平均分是一個數(shù)最小平均值，所以平均數(shù)最能代表這個數(shù)的至少能放幾個。 師：誰聽明白了？那還要給大家講清楚，不但自己理解，還要給大家講清楚，你請坐。我們再來試試，你說。 生2：就是，我覺得在平均分之后，就是可以使剩余的全放到一個杯子里，這樣就可以證明這個結論。 師：噢，請坐。你來說。 生3：我覺得這5個杯子里，我們打最壞的結果，第三個杯子里都放1個，假如有一個杯子里空的，該放到這個杯子里的小棒就會放到別的杯子里，所說，另一個杯子的小棒數(shù)就會增加，我們打最壞的結果，每個杯子里都要放1個小棒，而余下

13、的那1根小棒會放到另一個杯子里面，所以說，無論這1根小棒怎么擺，都會在一個杯子里是2根以上。（生說師擺） 師：大家聽明白了嗎？（生：聽明白了）聽清楚了是不是，噢，我也明白了，要想保證這個杯子里小棒的數(shù)量最少（拿起有2根小棒的杯子第2個），就要干什么呀？（生：平均分）要讓每個杯子里都有小棒，那如果這些杯子空著（把后三個杯子中的小棒拿出放到第2個杯子中），它還能保證這個杯子里面的小棒最少？（生：不能）師將小棒拿出放回原位。所以，同學們想到了這樣一種平均分的方法證明了這個結論，那如果用算式，怎么表示？你來說。 生1：6÷5=1……1（生說師板書：6÷5=1……1） 師：剩余的這一根要怎么辦呢？

14、 生1：放入任意一個杯子里。 師：這樣就保證了這個杯子里一定有2根小棒。（板書：2）很好，同學們真不簡單，這么快，就想到了這樣一種方法來證明這個結論，那么我們再來一起看一看，剛才同學們分的過程。 師邊演示邊講解： 剩余的這一根，放這里行不行，放這里行不行，放這里行不行？（行）不管放在哪里，一定有一個杯子里面有2根小棒。師：那么應用這種方法，7根小棒放到6個杯子里，會怎么 樣？那位女同學說。 生1：不管怎么分，總有一個杯子里至少有2根小棒。 師：理由是什么？ 生1：也是利用平均分的原理，可以用7÷6=1……1這樣就使每一個杯子里至少有1根小棒，另一根余下的小棒放入任意一個杯子里

15、，所以說，一個杯子里至少有2根小棒。 師：總有一個杯子里至少有2根小棒。誰還想再說一說。 生2：不管怎么分，總有一個杯子里有2根小棒。 師：總有一個杯子里，至少有2根小棒，誰還想再說說。 生2：不管怎么分，總有一個杯子里有2根小棒。（生自改：至少有2根小棒。） 師：能不能說說為什么呀？ 生2：因為我也是利用平均分的方法，我列的算式是7÷6=1……1，然后 這樣的話，那一根小棒就可以隨意放入1個杯子里，因此，總有一個杯子里至少有2根小棒。 師：同意嗎？（同意）那10根小棒放入9個杯子里，會怎么樣呢？ 生1：我認為結果還是相同的。 師：能不能把結果說清楚一點。 生1：也就是用1

16、0÷9，每個杯子里擺1根，剩余的1根擺在任何一個杯子里都可以的，然后就得出一個結論，就是把10根小棒擺在9個杯子里，總有一個杯子里至少有2根小棒。 師：無論怎么擺，總有一個杯子里至少有2根小棒。那100根小棒放到99個杯子里（邊說邊板書：100，99）會有什么結果呢？ 生1：100根小棒放到99個杯子里面也和其它的狀況一樣，總有一個杯子里至少有2根小 。（生說，師板書：2） 師：其他同學同意嗎？ 生：同意。 師：這么大的數(shù)字，同學們這么快就得到了結論，你們是不是發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律呀？（邊說邊指黑板）這樣，先跟你的同位說一說，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 生互說，師巡視。 師：好了，誰想說說，你發(fā)

17、現(xiàn)了什么？ 生1：我們討論的結果是只要小棒的個數(shù)比杯子的個數(shù)多1，就總有一個杯子里至少有2根小棒。 師：是這樣嗎？同學們看看。（指黑板）（生：是）誰還想再說說?；蛘呤悄氵€有別的發(fā)現(xiàn)。 生2：我們可以用字母來表示，假設杯子是n個的話，小棒就是（n+1）個，在這種情況下，無論余下那根小棒放到哪個杯子里，那個杯子總是有2根以上的小棒。 師：至少有2根小棒。這位同學還善于用字母來表示，更加簡潔，更加清楚了。 生3：我的理解是，小棒的根數(shù)總比杯子的個數(shù)多1，這樣，用小棒的根數(shù)除以杯子的個數(shù)，至少大于1，而余下的那1根可以任意放在哪個杯子里，所以總有1個杯子里至少有2根小棒。 師：好了，請坐下

18、，看來大家的發(fā)現(xiàn)是一樣的，那我們剛才研究的都是小棒的數(shù)量（指黑板）比杯子的數(shù)量（指黑板）多1（出手），那你有沒有想過，如果小棒的數(shù)量比杯子的數(shù)量多2，多3（出手）多4，是不是也會出現(xiàn)這樣的結果呢？（指黑板“2”的一列）（生：是）那咱試試行嗎？（行）5根小棒放到3個杯子里（板書：5.3），會怎么樣？ 生1：無論怎么擺放，總有一個杯子里至少有2 根小棒。將5根小棒平均分到3個杯子中，5÷3=1……2，剩下的2根小棒，無論放在哪個杯子里，總有一個杯子里至少有2根小棒。 師：哪位同學有意見。 生2：我不同意他的觀點，因為正如他所說的，假如余下的那2根小棒都放入同一個杯子里的話，那其中一個杯了里就

19、會有3根小棒，而不是2 根小棒，我覺得應該是余下的3根小棒分別放不同的杯子里，才會總有一個杯了里至少有2根小棒。 師：你也同意總有一個杯子里至少有2根小棒，是嗎？還有誰有意見？ 生3：話中明明說了至少有2根小棒，至少并不是指非要是2。 （師：你同意誰的觀點？）我同意“至少有2根小棒”這個觀點是對的。 師：其他同學有什么意見？ 生4：只要小棒的數(shù)量比杯子多，那么總有一個杯子里，至少有2根小棒。 師：不管多幾，總有一個杯子里，至少有2根小棒。其他同學同意不同意？（生：同意） 生5：我不同意他的觀點，如果杯子的數(shù)量設為幾個的話，若小棒的數(shù)量是2n +1話，那么這個結論就應該改變，總有一

20、個杯子里至少有3根小棒。還要考慮他們倆之間的關系，小棒比杯子多的個數(shù)不能超過杯子本身的個數(shù)。 師：聽清楚了嗎？（生：聽清楚了） 師：好了，那么5根小棒放到3個杯子里，究竟總有一個杯子里，至少有幾根呢？|（生：2根）咱確定一下，大家再來擺擺看。 生操作，師巡視并指導。 師：好了，誰能上來給大家擺擺看，我們看看究竟是怎么樣的？ 生1：我們把5根小棒平均放到3個杯子里，還余下2根小棒，這2根小棒必須平均放到3個杯子里，還余下2根小棒，這2根小棒必須平均放到2個杯子里，這樣就是兩個杯子里至少有2個小棒。 師：是兩個杯子里至少有嗎？ 生2：應該是總有一個杯子里至少有2個小棒。 師：你能再

21、說一遍嗎？ 生1：總有一個杯子里，至少有2根小棒。 師：是這樣擺的嗎？（生：是）好的，請回，謝謝。那算式怎么列？ 生1：5÷3=1……2（師板書）師：總有一個杯子里至少有（生：2根小棒）板書：2） 師：那7根小棒放到4個杯子里呢？同學們已經(jīng)有想法了。 生1：跟前面的結論是一樣的，就是不管怎么放，總有一個杯子里至少有2根小棒。 師：為什么？ 生1：因為7÷4=1……3（師板書），而3沒有超過杯子的數(shù)量，所以總有一個杯子里至少有2根小棒。（師板書：2） 師：好了，同學們同意嗎？（生：同意），真聰明，那么是9根小棒子放到4個杯子里，（師板書：9、4）,15根小棒也放到4個杯子里（師板

22、書：15、4），分別又會有什么樣的結果呢？想知道嗎？（生：想），那就趕快商量商量。 生交流，師指導。（還用再擺嗎？） 師：大家這么快就已經(jīng)商量完了，誰能說一說？9根小棒子放到4個杯子里，怎么樣呢？ 生1：9根小棒放在4個杯子里，總有1個杯子里放有3根小棒。 師： 不管怎么放嗎？（生：是）那什么理由呢？ 生1：我也是用平均分的方法。如果每個杯子里放2根小棒的話，才用了8根，還剩下1根，那1根可以隨便的放，（生說：師板書9÷4=2……1）我列的算式是9÷4=2……1。 師： 結果是什么？把它說完整。 生1：結果是不管怎樣放，總有1個杯子里至少放著3根小棒。 師：同意嗎？

23、 生：同意。師板書：3 師： 這個呢?(指15根小棒放到4個杯子里) 生1：我們的觀點是不管怎么放，總有1個杯子里至少有4根小棒。 師： 也是不管怎么放嗎？ 生1：對，因為先把15根小棒平均分，放到4個杯子里面，（師板書：15÷4= ），那么每個杯子里就會有3根小棒（師板書：3），還剩下3根小棒（師板書：……3），再把這3根平均分，所以不管怎么分，總有1個杯子里至少有3根小棒。 師： 和你們的想法一樣嗎？ 生：一樣，師：總有一個杯子里至少有4根小棒（師板書：4） 師： 同學們，我們研究到這兒了，看一看，有什么規(guī)律呀？（師指黑板）把你的想法先說給同位聽。開始，生交流。 師： 好了，

24、誰想說給大家聽一聽，分享一下經(jīng)驗。 生1：用小棒的根數(shù)除以杯子的個數(shù)的商，假如還有余數(shù)的話，就加1，沒有余數(shù)的話，就是商，就是每個杯子至少（師：每一個杯子？）總有一個杯子里至少有小棒的數(shù)。 師： 誰聽懂他是怎么說的了？誰能再說說。 生2：商十余數(shù)，就是平均分以后的最少有的小棒。 師： 總有一個杯子里至少有幾根小棒，結論我聽明白了，好像提前我沒聽清楚，你能不能再完整地說一說。 生2：用小棒的個數(shù)除以杯子的個數(shù)，所得的商加上余數(shù)，就得這個平均分了以后，總有一個杯子最少有多少根小棒， 師：他說“商+余數(shù)”。（邊說邊板書），就能得到總有一個杯子里最少有幾根，呦！這么多有意見的，誰能說說。

25、 生1：如果7÷4=1……3，1+3≠總有一個杯子里至少有2根小棒了。 師： 是這樣嗎？生:是。 師：那到底怎么回事呢？不是“商+余數(shù)”，那是什么？ 生1：我覺得應該是商+1，而不應該是“商+余數(shù)”。 師： 他認為是商+1（板書：“商+1”），還有疑問？ 生2：我覺得不對，如果它要是沒有余數(shù)的話，商就不用加了，如果是有余數(shù)的話，就用商+1。 師： 你看人家考慮得周到不周到？對，你能不能再把你剛才的話完整地說一說，讓同學們都聽清楚。 生1：我覺得是當有余數(shù)的情況下。 師： 什么時候有余數(shù)？ 生1：當小棒的個數(shù)除以杯子的個數(shù)（生說師指所在的列的數(shù)字），有余數(shù)的話，就用“商+1”

26、就得到總有一個杯子里至少有的小棒，如果沒有余數(shù)的話，那它的商就是總有一個杯子里至少有的小棒數(shù)。 師：同意嗎？ 生：同意。 師：那我現(xiàn)在該把誰擦掉了。 生：商+余數(shù)。 師：噢，看來，并不是“商+余數(shù)”（擦掉），而是“商+1”（邊說邊指商）很好，同學們，知道嗎？我們今天研究的這個原理就是數(shù)學當中有名的鴿巢原理。（板書課題：鴿巢原理） 師：我們今天所用的小棒，就被看作是鴿子，誰作鴿巢呀？（生：杯子）對，有關鴿巢原理的知識請同學們來了解一下。（CAI播放：鴿巢原理）師讀。也叫什么呢？（鴿巢原理） 師生同念。 師：那么應用我們今天所學過的“鴿巢原理”，你能不能解決一些實際問題呀？（生

27、：能）有沒有信心？（生：有）我們來試試。 三、鞏固新知 師：（CAI播放問題，做一做【71頁】）誰來讀一讀？對，就是呀，為什么呀？ 生1：因為8÷3＝2……2，這樣它的商是2,2+1=3，這樣就是3只鴿子，用平均分的方法驗證了這個原理。 師：聽清楚了，那個商是表示什么?。可?表示每只鴿子籠里面飛進了2只，而還剩2只呢？（再平均分成2份），噢，我們看看是這樣嗎？（CAI播放動畫）和你們想得一樣嗎？（一樣） 師：那15個蘋果放到4個盤子里，總有一個盤子里至少有幾個蘋果？ 生1：把15個蘋果放到4個盤子里，總有一個盤子里至少有4個蘋果。 師：為什么？ 生1：因為15÷4=3……3

28、,3+1=4，不管怎么放，總有一個盤子里至少有4個蘋果。 師：說的真好。你說得再加上1個數(shù)，是加幾??？ 生1：加1、 師：是不是這樣嗎？ 生：是。 師：好，和大家想的一樣嗎？（生:一樣） 師：那大家玩過撲克牌嗎？ （生：玩過）一共有多少張？（生：54張）那如果抽出2張牌呢？（生：52）CAI：演示。再從這52張中任意抽出5張，猜一猜，會有什么結果？ 生1：至少有2張花色是一樣的。 師： 為什么？ 生1：因為總有4種花色，抽出了35張牌用5÷4=1……1，利用鴿巢原理再用1+1=2，至少有2張牌花色是重復的。 師：請坐下，你同位兩個再說一說是怎么玩的? 師：好了，交流完了

29、嗎？噢，原來撲克牌當中也能運用我們今天所學的鴿巢原理來解決問題，是不是這樣？ 四、總結提升 師：好，這節(jié)課，啊，同學們你們有什么收獲？ 生1：我學會了鴿巢原理的相關知識。 師：鴿巢原理的相關知識是什么，你能不能具體說一說。 生1：我們以小棒和杯子為例，不管怎么放，總有一個杯子里至少有“商+1”根小棒。 師： 這是這位同學的收獲，你還想說一說。 生2：我學會了鴿巢原理，可以用鴿巢原理解決一些實際的問題。 師：比如像我們剛才那樣解決鴿籠問題或者是解決撲克牌問題。是不是，老師對你們今后利用鴿巢原理解決實際問題充滿了信心。 五、板書設計 鴿 巢

30、 原 理 小棒（物體數(shù)） 杯子（鴿巢數(shù)） 總有一個杯子里至少有“商+1”（有余數(shù)） “商”（沒有余數(shù)） 3 2? ?? 2 4???????3?????? 2 6???????? ? ÷???????? ?5=1……1???????????? 2 100????????÷?????????99 ???????????????????? 2 5????? ÷? 3=1……2????????????????????????2 7???????? ÷??????? 4=1……3?????????????????????? 2 9???????? ÷????????4=2……1????????????????????? 3 15??????? ?÷????? ??4=3……2???????????????????????4 16 ÷ 4=4 4