新編新課標高三數(shù)學一輪復習 第10篇 離散型隨機變量及其分布列學案 理

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1、 第六十五課時 離散型隨機變量及其分布列 課前預習案 考綱要求 1.會求與現(xiàn)實生活有密切關(guān)系的離散型隨機變量的分布列； 2.掌握二點分布與超幾何分布的特點，并會應用． 基礎知識梳理 1． 離散型隨機變量 如果隨機變量X的所有可能的取值都能 出來，則稱X為離散型隨機變量． 2． 離散型隨機變量的分布列及性質(zhì) (1)離散型隨機變量的分布列： 若離散型隨機變量X所有可能取的值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率為p1，p2，…，pn，則表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p

2、2 … pi … pn 稱為離散型隨機變量X的概率分布或稱為離散型隨機變量X的分布列． (2)離散型隨機變量分布列的性質(zhì)： ①pi 0 ， (i＝1,2,3，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝ ； ③P(xi≤x≤xj)＝pi＋pi＋1＋…＋pj. 3． 常見離散型隨機變量的分布列 (1)二點分布： 如果隨機變量X的分布列為 X 1 0 P p q 其中0

3、含這類物品件數(shù)X是一個離散型隨機變量，當X＝m時的概率為P(X＝m)＝ (0≤m≤l，l為n和M中較小的一個)，稱離散型隨機變量X的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布． 預習自測 1． 設隨機變量X的分布列如下：則p＝________. X 1 2 3 4 P p 2． 設某運動員投籃投中的概率為0.3，則一次投籃時投中次數(shù)X的分布列是________． 3． 在一個口袋中裝有黑、白兩個球，從中隨機取一球，記下它的顏色，然后放回，再取一球，又記下它的顏色，寫出這兩次取出白球數(shù)η的分

4、布列為_____________． 4． 已知隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝，k＝1,2，…，則P(2

5、 【變式1】　若離散型隨機變量X的分布列為 X 0 1 P 9c2－c 3－8c 則常數(shù)c＝________，P(X＝1)＝________. 考點2　離散型隨機變量的分布列的求法及應用 【典例2】隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設1件產(chǎn)品的利潤(單位：萬元)為ξ. (1)求ξ的分布列； (2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即ξ的均值)； 【變式2】某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)： 日銷售量(件

6、) 0 1 2 3 頻數(shù) 1 5 9 5 試銷結(jié)束后(假設該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設某天開始營業(yè)時有該商品3件，當天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當天進貨補充至3件，否則不進貨，將頻率視為概率． (1)求當天商店不進貨的概率； (2)記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)，求X的概率分布列和數(shù)學期望． 考點3 超幾何分步 【典例3】一袋中裝有10個大小相同的黑球和白球．已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是. (1)求白球的個數(shù)； (2)從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為X，求隨機變量X的分布列． 【變式3】20

7、xx年10月1日，為慶祝中華人民共和國成立64周年，來自北京大學和清華大學的6名大學生志愿者被隨機平均分配到天安門廣場運送礦泉水、打掃衛(wèi)生、維持秩序這三個崗位服務，且運送礦泉水崗位至少有1名北京大學志愿者的概率是. (1)求打掃衛(wèi)生崗位恰好有北京大學、清華大學志愿者各1名的概率； (2)設隨機變量ξ為在維持秩序崗位服務的北京大學志愿者的人數(shù)，求ξ的分布列． 當堂檢測 1．設X是一個離散型隨機變量，其分布列為 X －1 0 1 P 1－2q q2 則q等于 (　　) A．1 B．1± C．1－ D．1＋ 2． 某射

8、手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列為 X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為 (　　) A．0.28 B．0.88 C．0.79 D．0.51 3． 設某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數(shù)，則P(X＝0)等于 (　　) A．0 B. C. D. 4． 在15個村莊中有7個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用X表示這10個村莊中交通不方便的

9、村莊數(shù)，下列概率中等于的是 (　　) A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 5． 設隨機變量X等可能取值為1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝______. 課后拓展案 A組全員必做題 1． 隨機變量X的概率分布規(guī)律為P(X＝n)＝ (n＝1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則P的值為 (　　) A. B. C. D. 2． 袋中裝有10個紅球、5個黑球．每次隨機抽取1個球后，若取得黑球則另換1個紅球放回袋中，直到取到紅球為止．若抽取的次數(shù)為ξ，則表示

10、“放回5個紅球”事件的是(　　) A．ξ＝4 B．ξ＝5 C．ξ＝6 D．ξ≤5 3． 設隨機變量X的概率分布列如下表所示： X 0 1 2 P a F(x)＝P(X≤x)，則當x的取值范圍是[1,2)時，F(xiàn)(x)等于 (　　) A. B. C. D. 4． 已知隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，…，n，則P(2<ξ≤5)＝________. 5． 設隨機變量X的概率分布列為 X 1 2 3 4 P m 則P(|X－3|＝1)＝________. 6.已知隨機變量ξ

11、只能取三個值：x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是________． 7.從裝有3個紅球、2個白球的袋中隨機取出2個球，設其中有X個紅球，則隨機變量X的概率分布列為 X 0 1 2 P 8.從一批含有13件正品與2件次品的產(chǎn)品中，不放回地任取3件，求取得次品數(shù)的分布列． B組提高選做題 1． 如圖所示，A、B兩點5條連線并聯(lián)，它們在單位時間內(nèi)能通過的最 大信息量依次為2,3,4,3,2.現(xiàn)記從中任取三條線且在單位時間內(nèi)都通 過的最大信息總量為ξ，則P(ξ≥8)＝_______. 2.某地區(qū)對12歲兒童瞬時記憶能力進行調(diào)查．

12、瞬時記憶能力包括聽覺記憶能力與視覺記憶能力．某班學生共有40人，下表為該班學生瞬時記憶能力的調(diào)查結(jié)果．例如表中聽覺記憶能力為中等，且視覺記憶能力偏高的學生為3人. 視覺 聽覺 視覺記憶能力 偏低 中等 偏高 超常 聽覺記憶能力 偏低 0 7 5 1 中等 1 8 3 b 偏高 2 a 0 1 超常 0 2 1 1 由于部分數(shù)據(jù)丟失，只知道從這40位學生中隨機抽取一人，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的概率為. (1)試確定a，b的值； (2)從40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有聽覺記憶能力

13、或視覺記憶能力超常的學生的概率； (3)從40人中任意抽取3人，設具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學生人數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列． 參考答案 預習自測 1．【答案】　 【解析】　由分布列的性質(zhì)知：所有概率之和為1，所以p＝. 2． 【答案】　 X 0 1 P 0.7 0.3 3． 【答案】　 η 0 1 2 P 【解析】　η的所有可能值為0,1,2. P(η＝0)＝＝，P(η＝1)＝＝，P(η＝2)＝＝. ∴η的分布列為 η 0 1 2 P 4．【答案】　A 【解析】　P(2

14、4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝. 5． 【答案】　D 【解析】　∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c. 又a＋b＋c＝1，∴b＝，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝. 典型例題 【典例1】【答案】　　 【解析】隨機變量ξ的分布列為 ξ 1 P a 2a 3a 4a 5a 由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝. P＝P＋P＋P(ξ＝1) ＝3a＋4a＋5a＝12a＝ . 【變式1】【答案】　　 【解析】　由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)可知： ，解得c＝. P(X＝1)＝3－8×＝. 【典例2】【解析】　(1)由于1件產(chǎn)品的利潤

15、為ξ，則ξ的所有可能取值為6,2,1，－2，由題意知P(ξ＝6)＝＝0.63，P(ξ＝2)＝＝0.25，P(ξ＝1)＝＝0.1，P(ξ＝－2)＝＝0.02. 故ξ的分布列為 ξ 6 2 1 －2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)1件產(chǎn)品的平均利潤為E(ξ)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(萬元)． 【變式2】【解析】　(1)P(當天商店不進貨)＝P(當天商品銷售量為0件)＋P(當天商品銷售量為1件)＝＋＝. (2)由題意知，X的可能取值為2,3. P(X＝2)＝P(當天商品銷售量為1件)＝＝； P(X＝3)＝

16、P(當天商品銷售量為0件)＋P(當天商品銷售量為2件)＋P(當天商品銷售量為3件)＝＋＋＝. 所以X的概率分布列為 X 2 3 P 故X的數(shù)學期望為E(X)＝2×＋3×＝. 【典例3】【解析】　(1)記“從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球”為事件A，設袋中白球的個數(shù)為x，則P(A)＝1－＝， 得到x＝5.故白球有5個． (2)X服從超幾何分布，其中N＝10，M＝5，n＝3， 其中P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3. 于是可得其分布列為 X 0 1 2 3 P 【變式3】【解析】(1)記“至少有1名北京大學志愿者被分

17、到運送礦泉水崗位”為事件A，則事件A的對立事件為“沒有北京大學志愿者被分到運送礦泉水崗位”，設有北京大學志愿者x名，1≤x<6，那么P(A)＝1－＝，解得x＝2，即來自北京大學的志愿者有2名，來自清華大學的志愿者有4名． 記“打掃衛(wèi)生崗位恰好有北京大學、清華大學志愿者各1名”為事件B，則P(B)＝＝， 所以打掃衛(wèi)生崗位恰好有北京大學、清華大學志愿者各1名的概率是. (2)在維持秩序崗位服務的北京大學志愿者的人數(shù)ξ服從超幾何分布， 其中N＝6，M＝2，n＝2，于是 P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2， ∴P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝. 所以ξ的分布列為

18、 ξ 0 1 2 P 當堂檢測 1．【答案】　C 【解析】　由分布列的性質(zhì)得： ，∴q＝1－.故選C. 2．【答案】C 【解析】P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10) ＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 3．【答案】　C 4．【答案】　C 【解析】X服從超幾何分布P(X＝k)＝，故k＝4. 5．【答案】　10 【解析】　由于隨機變量X等可能取值為1,2,3，…，n.所以取到每個數(shù)的概率均為. ∴P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3， ∴n＝10. A組全員必做題 1．【答案】　D 【

19、解析】　∵P(X＝n)＝ (n＝1,2,3,4)， ∴＋＋＋＝1，∴a＝， ∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝. 2．【答案】C 【解析】“放回5個紅球”表示前5次摸到黑球，第6次摸到紅球，故ξ＝6. 3． 【答案】D 【解析】∵a＋＋＝1，∴a＝，∵x∈[1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝＋＝. 4．【答案】 【解析】P(2<ξ≤5)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＋P(ξ＝5) ＝＋＋＝. 5．【答案】 【解析】由＋m＋＋＝1，解得m＝， P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝. 6.【答案】　 【解析】設ξ取x1，x2，x3時的概率分別為

20、a－d，a，a＋d， 則(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，∴a＝， 由得－≤d≤. 7.【答案】0.1　0.6　0.3 【解析】　P(X＝0)＝＝0.1，P(X＝1)＝＝＝0.6，P(X＝2)＝＝0.3. 8.【解析】設隨機變量ξ表示取出次品的個數(shù)，則ξ服從超幾何分布，它的可能取值為0,1,2，其相應的概率為 P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P B組提高選做題 1． 【答案】　 【解析】　方法一　由已知，ξ的取值為7,8,9,10， ∵P(ξ＝7)＝＝，P(ξ＝8)＝＝， P(ξ＝

21、9)＝＝， P(ξ＝10)＝＝， ∴ξ的分布列為 ξ 7 8 9 10 P ∴P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10) ＝＋＋＝. 方法二　P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝1－＝. 2.【解析】(1)由表格數(shù)據(jù)可知，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的學生共有(10＋a)人．記“視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上”為事件A， 則P(A)＝＝，解得a＝6. 所以b＝40－(32＋a)＝40－38＝2. 答　a的值為6，b的值為2. (2)由表格數(shù)據(jù)可知，具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生共有

22、8人． 方法一　記“至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生”為事件B，則“沒有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生”為事件， 所以P(B)＝1－P()＝1－＝1－＝. 答　從這40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生的概率為. 方法二　記“至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生”為事件B， 所以P(B)＝＝. 答　從這40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生的概率為. (3)由于從40位學生中任意抽取3人的結(jié)果數(shù)為C，其中具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學生共24人，從40位學生中任意抽取3人，其中恰有k位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的結(jié)果數(shù)為CC， 所以從40位學生中任意抽取3人，其中恰有k人具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的概率為 P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)， ξ的可能取值為0,1,2,3， 因為P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P