新編新課標高三數(shù)學一輪復習 第6篇 第4節(jié) 二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題課時訓練 理

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1、 【導與練】（新課標）20xx屆高三數(shù)學一輪復習 第6篇 第4節(jié) 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題課時訓練 理 【選題明細表】 知識點、方法 題號 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 3、6、11 線性目標函數(shù)的最值 1、12 非線性目標函數(shù)的最值 5、8 含參數(shù)的線性規(guī)劃問題 2、9、10、13 線性規(guī)劃的實際應用 4、15 線性規(guī)劃綜合運用 7、14、16 基礎過關 一、選擇題 1.(20xx高考天津卷)設變量x,y滿足約束條件x+y-2≥0,x-y-2≤0,y≥1,則目標函數(shù)z=x+2y的最小值為(　B　) (A)2 (B)3 (C)4

2、 (D)5 解析: 不等式組表示的可行域如圖所示. 由x+y-2=0,y=1, 得A(1,1). 由圖知,當z=x+2y經(jīng)過A(1,1)時,z有最小值為3.故選B. 2.(20xx吉林長春調(diào)研)實數(shù)x,y滿足x≥1,y≤a(a>1),x-y≤0,若實數(shù)z=x+y的最大值為4,則實數(shù)a的值為(　A　) (A)2 (B)3 (C)4 (D)32 解析:由約束條件x≥1,y≤a(a>1),x-y≤0,作出可行域為如圖所示的陰影部分,當z=x+y過y=x和y=a的交點A(a,a)時,z取得最大值,即zmax=a+a=4,所以a=2.故選A. 3.若不等式組x-y≥0,2x+y≤

3、2,y≥0,x+y≤a表示的平面區(qū)域是一個三角形,則a的取值范圍是(　D　) (A)[43,+∞) (B)(0,1] (C)[1,43] (D)(0,1]∪[43,+∞) 解析:如圖所示,直線x+y=0從原點向右移動,移動到(1,0)時,再往右移,不等式組所表示的平面區(qū)域就不能構成三角形了;又從點A23,23向右移動時,不等式組所表示的平面區(qū)域為整個陰影部分的三角形. ∴0

4、是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中,要求每天消耗A、B原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計劃,從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中,公司共可獲得的最大利潤是(　C　) (A)1800元 (B)2400元 (C)2800元 (D)3100元 解析:設每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x桶,乙種產(chǎn)品y桶, 則根據(jù)題意得x、y的約束條件為x≥0,x∈N,y≥0,y∈N,x+2y≤12,2x+y≤12. 設獲利z元,則z=300x+400y. 畫出可行域如圖. 畫直線l:300x+400y=0, 即3x+4y=0. 平移直線l,從圖中可知,當直線過點M時,目標函數(shù)取得最大值. 由x+2y=1

5、2,2x+y=12, 解得x=4,y=4, 即M的坐標為(4,4), ∴zmax=300×4+400×4=2800(元).故選C. 5.若實數(shù)x、y滿足x+2y-4≤0,x≥0,y≥0,則z=y+2x-1的取值范圍為(　B　) (A)(-∞,-4]∪[23,+∞) (B)(-∞,-2]∪[23,+∞) (C)[-2,23] (D)[-4,23] 解析: 作出不等式組對應的平面區(qū)域,如圖. 因為z=y+2x-1,所以z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)過任意一點(x,y)與點P(1,-2)的直線的斜率. 由題意知C(4,0), 所以kPO=-2,kPC=-2-01-4=23,

6、所以z=y+2x-1的取值范圍為z≥23或z≤-2, 即(-∞,-2]∪[23,+∞).故選B. 二、填空題 6.(20xx高考安徽卷)不等式組x+y-2≥0,x+2y-4≤0,x+3y-2≥0表示的平面區(qū)域的面積為　　　　　.? 解析:畫出可行域,如圖所示, 由x+3y-2=0,x+2y-4=0,得A(8,-2), 所以S=12×2×2+12×2×2=4. 答案:4 7.若實數(shù)x,y滿足x-y+1≥0,x+y≥0,x≤0,則z=3x+2y的值域是　　　　.? 解析: 令t=x+2y, 則y=-12x+t2, 作出可行域, 平移直線y=-12x, 由圖象知當

7、直線經(jīng)過O點時,t最小,當經(jīng)過點D(0,1)時,t最大, 所以0≤t≤2,所以1≤z≤9,即z=3x+2y的值域是[1,9]. 答案:[1,9] 8.(20xx山西大同重點中學聯(lián)考)已知正實數(shù)m,n滿足20,n>0,m+2n>2,m+2n<4所表示的平面區(qū)域,如圖陰影部分所示,令z=m2+n2,則z表示區(qū)域內(nèi)的動點(m,n)到原點的距離的平方,由圖可知z=m2+n2經(jīng)過點D(4,0)時,z取最大值,此時z=16,而原點到直線m+2n=2的距離最短,故zmin=(|-2|12+22)2=45,又因為原不等式組所表

8、示的平面區(qū)域不含邊界,故m2+n2的取值范圍為(45,16). 答案:(45,16) 9.若x,y滿足條件3x-5y+6≥0,2x+3y-15≤0,y≥0,當且僅當x=y=3時,z=ax+y取得最大值,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　.? 解析:直線3x-5y+6=0和直線2x+3y-15=0的斜率分別為k1=35,k2=-23.作出可行域如圖所示,當且僅當直線z=ax+y經(jīng)過點(3,3)時,z取得最大值,則直線z=ax+y的斜率-a滿足-23<-a<35,解得-35

9、y≤14恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　.? 解析:不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示,顯然a≥8,否則可行域無意義.由圖可知x+2y在點(6,a-6)處取得最大值2a-6,由2a-6≤14得,a≤10. ∴8≤a≤10. 答案:[8,10] 三、解答題 11.已知D是以點A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)為頂點的三角形區(qū)域(包括邊界與內(nèi)部).如圖所示. (1)寫出表示區(qū)域D的不等式組. (2)設點B(-1,-6),C(-3,2)在直線4x-3y-a=0的異側,求a的取值范圍. 解:(1)直線AB,AC,BC的方程分別為7x-5y-23=0,x+7

10、y-11=0,4x+y+10=0.原點(0,0)在區(qū)域D內(nèi),故表示區(qū)域D的不等式組為: 7x-5y-23≤0,x+7y-11≤0,4x+y+10≥0. (2)根據(jù)題意有[4×(-1)-3×(-6)-a][4×(-3)-3×2-a]<0,即(14-a)(-18-a)<0, 解得-18

11、→=(1,2),AC→=(2,1), ∵OP→=mAB→+nAC→, ∴(x,y)=(m+2n,2m+n), ∴x=m+2n,y=2m+n, 兩式相減得m-n=y-x, 令y-x=t,由圖知,當直線y=x+t過點B(2,3)時,t取得最大值1,故m-n的最大值為1. 能力提升 13.(20xx高考安徽卷)x,y滿足約束條件x+y-2≤0,x-2y-2≤0,2x-y+2≥0.若z=y-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則實數(shù)a的值為(　D　) (A)12或-1 (B)2或12 (C)2或1 (D)2或-1 解析:線性約束條件對應的可行域如圖所示: 目標函數(shù)z=y-ax化為y

12、=ax+z,當a>0時,要使其取得最大值的最優(yōu)解不唯一,需動直線y=ax+z與2x-y+2=0平行或重合,此時a=2;同理當a<0時,需動直線y=ax+z與x+y-2=0平行或重合,此時a=-1,故選D. 14.(20xx河北衡水中學期中)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(3)=1,f(-2)=3,f′(x)為f(x)的導函數(shù),已知y=f′(x)的圖象如圖所示,且f′(x)有且只有一個零點,若非負實數(shù)a,b滿足f(2a+b)≤1,f(-a-2b)≤3,則b+2a+1的取值范圍為(　D　) (A)(-∞,45]∪[3,+∞) (B)[45,+∞) (C)(-∞,3]

13、(D)[45,3] 解析:由y=f′(x)的圖象可知,當x∈(-∞,0)時,y=f(x)為減函數(shù), 當x∈(0,+∞)時,y=f(x)為增函數(shù),所以f(2a+b)≤1可轉化為f(2a+b)≤f(3),即2a+b≤3,f(-a-2b)≤3可轉化為f(-a-2b)≤f(-2),即-a-2b≥-2,a+2b≤2,因此實數(shù)a,b滿足a≥0,b≥0,2a+b≤3,a+2b≤2,畫出所表示的平面區(qū)域,如圖陰影部分所示,而b+2a+1表示陰影區(qū)域內(nèi)的任意一點(a,b)與點M(-1,-2)連線的斜率,由圖可知(b+2a+1)max=kMA=1-(-2)0-(-1)=3,(b+2a+1)min=kMB=-2

14、-0-1-32=45,故b+2a+1的取值范圍為[45,3].故選D. 15.咖啡館配制兩種飲料,甲種飲料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克,乙種飲料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克.已知每天原料的使用限額為奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克,甲種飲料每杯能獲利潤0.7元,乙種飲料每杯能獲利潤1.2元,每天應配制兩種飲料各多少杯能獲利最大? 解:設每天配制甲種飲料x杯、乙種飲料y杯可以獲得最大利潤,利潤總額為z元. 由條件知:z=0.7x+1.2y,變量x、y滿足 9x+4y≤3600,4x+5y≤2000,3x+10y≤3000,x≥0,y≥0,且x、y均為整數(shù). 作

15、出不等式組所表示的可行域如圖所示. 作直線l:0.7x+1.2y=0, 把直線l向右上方平移至經(jīng)過A點的位置時, z=0.7x+1.2y取最大值. 由方程組3x+10y-3000=0,4x+5y-2000=0, 得A點坐標(200,240). 即應每天配制甲種飲料200杯,乙種飲料240杯方可獲利最大. 探究創(chuàng)新 16.(20xx遼寧沈陽質(zhì)量監(jiān)測)在滿足不等式組x-y+1≥0,x+y-3≤0,y≥0的平面點集中隨機取一點M(x0,y0),設事件A為“y0<2x0”,那么事件A發(fā)生的概率是(　B　) (A)14 (B)34 (C)13 (D)23 解析:不等式組x-y+1≥0,x+y-3≤0,y≥0表示的平面區(qū)域的面積為12×[3-(-1)]×2=4,不等式組x-y+1≥0,x+y-3≤0,y≥0,y<2x,表示的平面區(qū)域的面積為12×3×2=3,因此所求的概率等于34. 故選B.