新編高三數(shù)學復習 第5節(jié)　直線、平面垂直關系的判定與性質(zhì)

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1、 第5節(jié)　直線、平面垂直關系的判定與性質(zhì) 　　 課時訓練 練題感 提知能 【選題明細表】 知識點、方法 題號 與垂直有關命題的判斷 1、3、5、6、7、10、13 直線與平面垂直 8、9、14 平面與平面垂直 2、12 綜合問題 4、11、15 一、選擇題 1.(20xx山東德州市一模)已知直線l⊥平面α,直線m?平面β,下列命題正確的是(　C　) ①l⊥m?α∥β;②l∥m?α⊥β;③α⊥β?l∥m;④α∥β?l⊥m. (A)①② (B)③④ (C)②④ (D)①③ 解析:①α,β有可能相交,所以錯

2、誤.②正確.③當α⊥β時,l與m可能平行、相交或異面,錯誤.④正確,所以選C. 2. 如圖所示,在立體圖形DABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中點,則下列結論正確的是(　C　) (A)平面ABC⊥平面ABD (B)平面ABD⊥平面BDC (C)平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE (D)平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE 解析:因為AB=CB, 且E是AC的中點, 所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC, 而BE∩DE=E, 所以AC⊥平面BDE. 因為AC在平面ABC內(nèi), 所以平面ABC⊥平面BDE. 又由于AC?平面ADC,

3、所以平面ADC⊥平面BDE.故選C. 3.(20xx汕頭高三測評(一))設O是空間一點,a,b,c是空間三條直線,α,β是空間兩個平面,則下列命題中,逆命題不成立的是(　C　) (A)當a∩b=O且a?α,b?α時,若c⊥a,c⊥b,則c⊥α (B)當a∩b=O且a?α,b?α時,若a∥β,b∥β,則α∥β (C)當b?α時,若b⊥β,則α⊥β (D)當b?α時,且c?α時,若c∥α,則b∥c 解析:寫出逆命題,再逐一判斷真假.由線面垂直的定義可知選項A的逆命題成立;由面面平行的定義可知選項B的逆命題成立;命題“當b?α時,若b⊥β,則α⊥β”的逆命題是“當b?α時,若α⊥β,則b

4、⊥β”不成立;由線面平行的判定定理可知選項D的逆命題成立,故逆命題不成立的是選項C. 4. 如圖所示,已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABCDEF,PA=2AB,則下列結論正確的是(　A　) (A)PA⊥AD (B)平面ABCDEF⊥平面PBC (C)直線BC∥平面PAE (D)直線BE⊥平面PAE 解析:因為PA⊥平面ABCDEF, 所以PA⊥AD,故選項A正確; 選項B中兩個平面不垂直; 選項C中,AD與平面PAE相交,BC∥AD,故選項C錯; 選項D中,DE⊥平面PAE且BE∩DE=E,故選項D錯. 故選A. 5.(20xx山東師大附中模擬

5、)已知兩條直線a,b與兩個平面α、β,b⊥α,則下列命題中正確的是(　A　) ①若a∥α,則a⊥b,②若a⊥b,則a∥α;③若b⊥β,則α∥β; ④若α⊥β,則b∥β. (A)①③ (B)②④ (C)①④ (D)②③ 解析:根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知①正確.②中,當a⊥b時,也有可能為a?α,所以②錯誤.③垂直于同一直線的兩個平面平行,所以正確.④的結論也有可能為b?β,所以錯誤,所以命題正確的有①③,選A. 6.(20xx佛山質(zhì)檢(二))下列命題中假命題是(　B　) (A)若一條直線平行于兩個相交平面,則這條直線與這兩個平面的交線平行 (B)垂直于同一條直線的兩條直線相互垂直 (

6、C)若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線,那么這兩個平面相互垂直 (D)若一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行,那么這兩個平面相互平行 解析:若一條直線平行于兩個相交平面,則這條直線與這兩個平面的交線平行,即選項A為真命題;垂直于同一條直線的兩條直線可以相交也可以平行或異面,即選項B為假命題;若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線,那么這兩個平面相互垂直,即選項C為真命題;若一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行,那么這兩個平面互相平行,即選項D為真命題,故選B. 二、填空題 7.(20xx山東兗州模擬)設l是直線,α,β是兩個不同的平面,則以下命題為真

7、命題的是　　　.(把真命題的序號都填上)? ①若l∥α,l∥β,則α∥β; ②若l∥α,l⊥β,則α⊥β; ③若α⊥β,l⊥α,則l⊥β; ④若α⊥β,l∥α,則l⊥β. 解析:對于①,α、β有可能相交,所以①不正確;對于②,根據(jù)面面垂直的判定定理知,正確;對于③,l可能與β平行或l在β內(nèi);對于④,l不一定與β垂直,綜上可知,②正確. 答案:② 8.如圖所示,PA⊥圓O所在的平面,AB是圓O的直徑,C是圓O上的一點,E、F分別是點A在PB、PC上的正投影,給出下列結論: ①AF⊥PB;③EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC. 其中正確結論的序號是　　　　.? 解

8、析:由題設知,PA⊥BC,BC⊥AC,所以BC⊥平面PAC,從而BC⊥AF,又AF⊥PC,所以AF⊥平面PBC,而PB?平面PBC,所以AF⊥PB,①正確;由于PB⊥AE,PB⊥AF,所以PB⊥平面AEF,因此EF⊥PB,故②正確;③正確,由于AF⊥平面PBC,所以④不正確. 答案:①②③ 9.已知平面α,β和直線m,給出條件:①m∥α;②m⊥α;③m?α;④α∥β.當滿足條件　　　時,有m⊥β.(填所選條件的序號).? 解析:當m⊥α,α∥β時,m⊥β. 依據(jù)是:若一條直線垂直于兩平行平面中的一個,則它也垂直于另一個. 答案:②④ 10.(20xx天津一中月考)在三棱錐PABC中

9、,底面ABC是正三角形,且PA=PB=PC,D,E分別是AB,AC的中點,有下列三個論斷: ①AC⊥PB;②AC∥平面PDE;③AB⊥平面PDE,其中正確論斷的個數(shù)為　　　　.? 解析:過P作PO⊥平面ABC于O,則PO⊥AC,又正三角形ABC中BE⊥AC,所以AC⊥平面PBE,所以AC⊥PB,所以①正確,②錯誤.因為DE∥BC,所以∠ADE=60°,所以③不正確,所以正確的論斷有1個. 答案:1 三、解答題 11. 如圖所示,在四棱錐PABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等邊三角形,已知BD=2AD=4,AB=2DC=25. (1)求證:BD⊥平面

10、PAD; (2)求三棱錐APCD的體積. (1)證明:在△ABD中, 由于AD=2,BD=4,AB=25, ∴AD2+BD2=AB2, ∴AD⊥BD. 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD. BD?平面ABCD, ∴BD⊥平面PAD. (2)解:過P作PO⊥AD交AD于O. 又平面PAD⊥平面ABCD, ∴PO⊥平面ABCD. ∵△PAD是邊長為2的等邊三角形, ∴PO=3. 由(1)知,AD⊥BD,在Rt△ABD中, 斜邊AB邊上的高為 h=AD×BDAB=455. ∵AB∥DC, ∴S△ACD=12CD×h=12×5×455=2

11、. ∴VAPCD=VPACD=13S△ACD×PO=13×2×3=233. 12.在四棱錐PABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD, PA=AD=4,AB=2.以AC的中點O為球心,AC為直徑的球面交PD于點M. 求證:平面ABM⊥平面PCD. 證明:依題設知,AC是所作球面的直徑,則AM⊥MC. 又因為PA⊥平面ABCD, 則PA⊥CD, 又CD⊥AD,PA∩AD=A, 所以CD⊥平面PAD,則CD⊥AM, 又MC∩CD=C,所以AM⊥平面PCD. 因為AM?平面ABM, 所以平面ABM⊥平面PCD. B組 13.對于四面體ABCD,給出下列四個命

12、題: ①若AB=AC,BD=CD,則BC⊥AD;②若AB=CD,AC=BD,則BC⊥AD;③若AB⊥AC,BD⊥CD,則BC⊥AD;④若AB⊥CD,AC⊥BD,則BC⊥AD. 其中正確的是(　B　) (A)①③ (B)①④ (C)僅④ (D)②③ 解析:如圖(1)所示,取線段BC的中點E,連接AE,DE, ∵AB=AC,BD=CD, ∴BC⊥AE,BC⊥DE, ∴BC⊥平面ADE, ∵AD?平面ADE, ∴BC⊥AD,故①正確. 如圖(2)所示,上、下底面不為正方形的長方體中,四面體ABCD滿足AB=CD,AC=BD, 則BC⊥AD不成立,故②錯誤; 如圖(3)

13、所示,上、下底面不為正方形的長方體中,四面體ABCD中,AB⊥AC,BD⊥CD, 則BC⊥AD不成立,若成立,則BC⊥AD,與底面不是正方形矛盾,故③錯誤; 設點O為點A在平面BCD上的射影,如圖(4)所示, 連接OB,OC,OD, ∵AB⊥CD,AC⊥BD, ∴OB⊥CD,OC⊥BD, ∴點O為△BCD的垂心, ∴OD⊥BC, ∴BC⊥AD, 故④正確, 故選B. 14. 如圖所示,矩形ABCD的邊AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,現(xiàn)有數(shù)據(jù): ①a=12;②a=1;③a=3;④a=2;⑤a=4.當在BC邊上存在點Q(Q不在端點B、C處),使PQ⊥Q

14、D時,a可以取　　　　(填上一個你認為正確的數(shù)據(jù)序號即可).? 解析:當PQ⊥QD時,有QD⊥平面PAQ,所以QD⊥AQ. 在矩形ABCD中,設BQ=x(0

15、1)求證:AB⊥平面PCD; (2)若PC=PD=1,CD=2,試判斷平面α與平面β是否垂直,并證明你的結論. (1)證明:因為PC⊥α,AB?α,所以PC⊥AB, 同理PD⊥AB, 又PC∩PD=P,故AB⊥平面PCD. (2)解:平面α與平面β垂直. 證明:設AB與平面PCD的交點為H,連接CH、DH, 因為PC⊥α,所以PC⊥CH. 在△PCD中,PC=PD=1,CD=2, 所以CD2=PC2+PD2, 即∠CPD=90°, 在平面四邊形PCHD中,PC⊥PD,PC⊥CH, 所以PD∥CH, 又PD⊥β,所以CH⊥β, 所以平面α⊥平面β.