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1、新編人教版精品教學資料
課堂10分鐘達標
1.方底無蓋水箱的容積為256,則最省材料時,它的高為 ( )
A.4 B.6 C.4.5 D.8
【解析】選A.設底面邊長為x,高為h,則V(x)=x2·h=256,
所以h=256x2,
所以S(x)=x2+4xh=x2+4x·256x2=x2+4×256x,
所以S′(x)=2x-4×256x2.
令S′(x)=0,解得x=8,
所以h=25682=4.
2.某箱子的容積與底面邊長x的關系為V(x)=x260-x2(0
2、50 D.20
【解析】選B.V′(x)=60x-32x2=0,x=0或x=40.
x
(0,40)
40
(40,60)
V′(x)
+
0
-
V(x)
單調(diào)遞增↗
極大值
單調(diào)遞減↘
可見當x=40時,V(x)達到最大值.
3.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位:萬元)與年產(chǎn)量x(單位:萬件)的函數(shù)關系式為y=-13x3+81x-234,則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為 ( )
A.13萬件 B.11萬件
C.9萬件 D.7萬件
【解析】選C.y′=-x2+81,令y′=0,解得x=9或x=-9(舍去),當00
3、;當x>9時,y′<0.所以當x=9時,y取得最大值.
4.甲工廠八年來某種產(chǎn)品年產(chǎn)量與時間(單位:年)的函數(shù)關系如圖所
示. ( )
現(xiàn)有下列四種說法:
①前四年該產(chǎn)品產(chǎn)量增長速度越來越快;
②前四年該產(chǎn)品產(chǎn)量增長速度越來越慢;
③第四年后該產(chǎn)品停止生產(chǎn);
④第四年后該產(chǎn)品年產(chǎn)量保持不變.
其中說法正確的有 ( )
A.①④ B.②④ C.①③ D.②③
【解析】選B.增長速度是產(chǎn)量對時間的導數(shù),即圖象中切線的斜率.由圖象可知,②④是正確的.
5.某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元)是產(chǎn)品x(千臺)的函數(shù),y1=17x2;生產(chǎn)總成本y2(萬元)也是x的函數(shù),
4、y2=2x3-x2(x>0),為使利潤最大,應生產(chǎn) ( )
A.9千臺 B.8千臺
C.6千臺 D.3千臺
【解析】選C.利潤y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=18x2-2x3(x>0),求導得y′=36x-6x2,令y′=0,得x=6或x=0(舍去).
6.統(tǒng)計表明:某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(升)關于行駛速度x(千米/時)的函數(shù)解析式可以表示為y=1128 000x3-380x+8(0
5、到乙地行駛了100x小時,設耗油量為h(x)升,
依題意得h(x)=1128 000x3-380x+8×100x
=11 280x2+800x-154(00,h(x)是增函數(shù),
所以當x=80時,h(x)取得極小值h(80)=11.25(升).
因為h(x)在(0,120]上只有一個極小值,所以它是最小值.
答:汽車以80千米/時勻速行駛時,從甲地到乙地耗
6、油最少,最少為11.25升.
7.【能力挑戰(zhàn)題】新晨投資公司擬投資開發(fā)某項新產(chǎn)品,市場評估能獲得10～1000萬元的投資收益.現(xiàn)公司準備制定一個對科研課題組的獎勵方案:獎金y(單位:萬元)隨投資收益x(單位:萬元)的增加而增加,且獎金不低于1萬元,同時不超過投資收益的20%.
(1)設獎勵方案的函數(shù)模型為f(x),試用數(shù)學語言表述公司對獎勵方案的函數(shù)模型f(x)的基本要求.
(2)下面是公司預設的兩個獎勵方案的函數(shù)模型:
①f(x)=x150+2;②f(x)=4lgx-2.
試分別分析這兩個函數(shù)模型是否符合公司要求.
【解析】(1)由題意知,公司對獎勵方案的函數(shù)模型f(x)的基本要
7、求是:
當x∈[10,1000]時,
①f(x)是增函數(shù);②f(x)≥1恒成立;③f(x)≤x5恒成立,
(2)①對于函數(shù)模型f(x)=x150+2:
當x∈[10,1000]時,f(x)是增函數(shù),
則f(x)≥1顯然恒成立,
而若使函數(shù)f(x)=x150+2≤x5在[10,1000]上恒成立,整理即29x≥300恒成立,而(29x)min=290,所以f(x)≤x5不恒成立.
故該函數(shù)模型不符合公司要求.
②對于函數(shù)模型f(x)=4lgx-2:
當x∈[10,1000]時,f(x)是增函數(shù),
則f(x)min=f(10)=4lg10-2=2>1.
所以f(x)≥1恒成立.
設g(x)=4lgx-2-x5,則g′(x)=4lgex-15.
當x≥10時,g′(x)=4lgex-15≤2lge-15=lge2-15<0,
所以g(x)在[10,1000]上是減函數(shù),
從而g(x)≤g(10)=4lg10-2-2=0.
所以4lgx-2-x5≤0,即4lgx-2≤x5,所以f(x)≤x5恒成立.
故該函數(shù)模型符合公司要求.
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