新編人教版高中數學選修11：3.3 導數在研究函數中的應用 課時提升作業(yè)二十三 3.3.2 含解析

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1、新編人教版精品教學資料 課時提升作業(yè)(二十三) 函數的極值與導數 (25分鐘　60分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.(2015·天津高二檢測)函數y=f(x)是定義在R上的可導函數,則下列說法不正確的是　(　　) A.若函數在x=x0時取得極值,則f′(x0)=0 B.若f′(x0)=0,則函數在x=x0處取得極值 C.若在定義域內恒有f′(x)=0,則y=f(x)是常數函數 D.函數f(x)在x=x0處的導數是一個常數 【解析】選B.f′(x0)=0是函數在x=x0處取得極值的必要不充分條件,故B錯誤,A,C,D均正確. 2.設函數f(x)=xex,則　(　

2、　) A.x=1為f(x)的極大值點 B.x=-1為f(x)的極大值點 C.x=1為f(x)的極小值點 D.x=-1為f(x)的極小值點 【解析】選D.f′(x)=ex+xex,令f′(x)=0得x=-1,當x<-1時,f′(x)<0;當x>-1時,f′(x)>0,故x=-1時取極小值. 【補償訓練】設函數f(x)=2x+lnx,則　(　　) A.x=12為f(x)的極大值點 B.x=12為f(x)的極小值點 C.x=2為f(x)的極大值點 D.x=2為f(x)的極小值點 【解析】選D.f′(x)=-2x2+1x=-2+xx2,令f′(x)=0得,x=2,當x<2時,f′

3、(x)<0;當x>2時,f′(x)>0,故x=2時取極小值. 3.已知函數f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,則實數a的取值范圍 是　(　　) A.-12 D.a<-3或a>6 【解析】選D.f′(x)=3x2+2ax+a+6,函數f(x)有極大值和極小值,則 f′(x)=3x2+2ax+a+6=0有兩不相等的實數根,即有Δ=(2a)2-12(a+6)>0, 解得a<-3或a>6. 4.(2015·濟寧高二檢測)已知f(x)=x3-px2-qx的圖象與x軸切于(1,0),則f(x)的極值情況是　(　

4、　) A.極大值為f13,極小值為f(1) B.極大值為f(1),極小值為f13 C.極大值為f13,沒有極小值 D.極小值為f(1),沒有極大值 【解析】選A.由函數f(x)=x3-px2-qx的圖象與x軸切于點(1,0)得:p+q=1,p2+4q=0.解出p=2,q=-1, 則函數f(x)=x3-2x2+x, 則f′(x)=3x2-4x+1,令f′(x)=0得到:x=1或x=13. 當x≥1或x≤13時,函數單調遞增;當13

5、x∈R的單調區(qū)間與極值. 【解析】因為f′(x)=ex-2,令f′(x)=0, 解得x=ln2, 當xln2時,f′(x)>0,函數單調遞增; 故函數的減區(qū)間為(-∞,ln2), 增區(qū)間為(ln2,+∞), 當x=ln2時函數取極小值, 極小值f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2-2ln2+2a. 5.若a>0,b>0,且函數f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值,則ab的最大值等 于　(　　) A.2 B.3 C.6 D.9 【解題指南】利用函數在x=1處有極值得到a,b的關系式,再利用

6、基本不等式求最大值. 【解析】選D.f′(x)=12x2-2ax-2b, 因為函數f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值, 所以f′(1)=12-2a-2b=0, 即a+b=6,則ab≤a+b22=9(當且僅當a=b=3時,等號成立). 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.函數f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1時有極值0,則m+n=　　　　. 【解析】f′(x)=3x2+6mx+n,則f'(-1)=0,f(-1)=0, 代入解得m=2,n=9,或m=1,n=3, 當m=1,n=3時, f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0, 函數f

7、(x)無極值,舍去. 故m=2,n=9,故m+n=11. 答案:11 7.(2015·陜西高考)函數y=xex在其極值點處的切線方程為　　　　. 【解析】依題意得y′=ex+xex, 令y′=0,可得x=-1, 所以y=-1e. 因此函數y=xex在其極值點處的切線方程為y=-1e. 答案:y=-1e 8.(2015·邢臺高二檢測)已知函數f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處取得極值10,則f(-1)=　　　　. 【解析】f′(x)=3x2+2ax+b,由題意得 f'(1)=0,f(1)=10,得3+2a+b=0,1+a+b+a2=10, 解得:a=-3,b=3

8、,或a=4,b=-11.所以f(x)=x3-3x2+3x+9或f(x)=x3+4x2-11x+16,故f(-1)=2或f(-1)=30. 答案:2,30 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.(2015·安徽高考)已知函數f(x)=ax(x+r)2(a>0,r>0), (1)求f(x)的定義域,并討論f(x)的單調性. (2)若ar=400,求f(x)在(0,+∞)內的極值. 【解析】(1)由題意知x≠-r, 所以定義域為-∞,-r∪(-r,+∞), f(x)=ax(x+r)2=axx2+2rx+r2, f′(x)=a(x2+2rx+r2)-ax(2x+2r)(x2+2r

9、x+r2)2=a(r-x)(x+r)(x+r)4, 所以當x<-r或x>r時,f′(x)<0, 當-r0. 因此,f(x)的單調遞減區(qū)間是-∞,-r,(r,+∞);f(x)的單調遞增區(qū)間是(-r,r). (2)由(1)可知f(x)在(0,r)上單調遞增,在(r,+∞)上單調遞減,因此,x=r是f(x)的極大值點,所以f(x)在(0,+∞)內的極大值為f(r)=ar(2r)2=a4r=100. 10.設f(x)=(x2-2x+2-a2)ex, (1)討論該函數的單調性. (2)設g(a)為函數f(x)的極大值,證明:g(a)<2. 【解析】(1)因為f(x

10、)=(x2-2x+2-a2)ex, 所以f′(x)=(x-a)(x+a)ex, ①a>0,由f′(x)>0,可得x<-a或x>a,由f′(x)<0,可得-a0,可得x-a,由f′(x)<0,可得a0,函數的單調遞增區(qū)間為(-∞,-a),(a,+∞),單調遞減區(qū)間為(-a,a);a<0,函數的單調遞增區(qū)間為(-∞,a),(-a,+∞),單調遞減區(qū)間為(a,-a);a=0,函數的單調遞增區(qū)間為(-∞,+∞). (2)由(1)知g(a)=2(a+1)e-a,a>0,2(-a+1)ea,a<0

11、, 因為g(-a)=2(-a+1)ea,a<0,2(a+1)e-a,a>0=g(a), 所以g(a)是偶函數, a<0時,g(a)=2(-a+1)ea,g′(a)=-2aea>0, 所以g(a)在(-∞,0)上為增函數,所以g(a)<2, a>0時,g(a)=g(-a)<2, 綜上,g(a)<2. (20分鐘　40分) 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.(2015·西安高二檢測)已知函數f(x)=13x3+12ax2+2bx+c(a,b,c∈R),且函數f(x)在區(qū)間(0,1)內取得極大值,在區(qū)間(1,2)內取得極小值,則z=(a+3)2+b2的取值范圍為　(　　)

12、A.22,2 B.12,4 C.(1,2) D.(1,4) 【解析】選B.f′(x)=x2+ax+2b,因為函數f(x)在區(qū)間(0,1)內取得極大值, 在區(qū)間(1,2)內取得極小值,所以f'(0)>0,f'(1)<0,f'(2)>0. 即b>0,a+2b+1<0,a+b+2>0,畫出可行域如圖所示,z=(a+3)2+b2表示可行域內的點到(-3,0)距離的平方,由圖可知,距離的最小值為|-3+0+2|2=22,距離的最大值為2(均取不到),則z的取值范圍為12,4. 2.(2015·邢臺高二檢測)若f(x)=13x3-12ax2+x+1在12,3上有極值點,則實數

13、a的取值范圍是　(　　) A.2,52 B.2,103 C.2,103 D.2,52 【解題指南】利用函數在12,3上有極值點,分離出a后求a的范圍. 【解析】選B.因為函數f(x)=x33-a2x2+x+1, 所以f′(x)=x2-ax+1, 若函數f(x)=x33-a2x2+x+1在區(qū)間12,3上有極值點, 則f′(x)=x2-ax+1在區(qū)間12,3內有零點. 由x2-ax+1=0可得a=x+1x, 因為x∈12,3,故a=x+1x在12,1上是減函數,在(1,3)上是增函數. 所以2≤a<103. 【補償訓練】已知函數y=x3-ax在(0,1)上

14、有極小值,則實數a的取值范圍 是　(　　) A.(3,+∞) B.(-∞,0) C.(0,1) D.(0,3) 【解析】選D.y′=3x2-a,解y′=0得x=±a3, 則0

15、1,x2是方程f′(x)=0的根,結合根與系數的關系求值. 【解析】由圖象可知f(0)=d=0,又f(-1)=0,f(2)=0, 解得b=-1,c=-2,故f(x)=x3-x2-2x, f′(x)=3x2-2x-2, 由圖象可知x1,x2是方程3x2-2x-2=0的兩個根, 故x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=169. 答案:169 三、解答題(每小題10分,共20分) 5.已知函數f(x)=(x2+ax+a)ex(a≤2,x∈R) (1)當a=1時,求f(x)的單調區(qū)間. (2)是否存在實數a,使f(x)的極大值為3?若存在,求出a的值,若不存在,請說明理由.

16、 【解析】(1)f(x)=(x2+x+1)ex,f′(x)=(2x+1)ex+(x2+x+1)ex=(x2+3x+2)ex, 當f′(x)>0時,解得x<-2或x>-1, 當f′(x)<0時,解得-2

17、 0 - 0 + f(x) ↗ 極大 ↘ 極小 ↗ 由表可知 f(x)極大=f(-2)=(4-2a+a)e-2=3, 解得a=4-3e2≤2,所以存在實數a≤2,使f(x)的極大值為3. 6.(2015·重慶高考)設函數f(x)=3x2+axex(a∈R). (1)若f(x)在x=0處取得極值,確定a的值,并求此時曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程. (2)若f(x)在3,+∞上為減函數,求a的取值范圍. 【解析】(1)對f(x)求導得f′(x) =(6x+a)ex-(3x2+ax)exex2=-3x2+(6-a)x+aex. 因為f(x)在

18、x=0處取得極值,所以f′(0)=0, 即a=0. 當a=0時,f(x)=3x2ex,f′(x)=-3x2+6xex,故f(1)=3e,f′(1)=3e,從而 y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-3e=3e(x-1),化簡得3x-ey=0. (2)由(1)知f′(x)=-3x2+(6-a)x+aex, 令g(x)=-3x2+(6-a)x+a, 由g(x)=0解得x1=6-a-a2+366,x2=6-a+a2+366. 當x0,即f′(x)>0,故f(x)為增函數; 當x

19、>x2時,g(x)<0,即f′(x)<0,故f(x)為減函數; 由f(x)在3,+∞上為減函數, 知x2=6-a+a2+366≤3,解得a≥-92, 故a的取值范圍為-92,+∞. 【補償訓練】已知f(x)=x3+bx2+cx+2. ①若f(x)在x=1時有極值-1,求b,c的值. ②在①的條件下,若函數y=f(x)的圖象與函數y=k的圖象恰有三個不同的交點,求實數k的取值范圍. 【解析】①因為f(x)=x3+bx2+cx+2, 所以f′(x)=3x2+2bx+c. 由已知得f′(1)=0,f(1)=-1, 所以3+2b+c=0,1+b+c+2=-1, 解得b=1,c=-

20、5. 經驗證,b=1,c=-5符合題意. ②由①知f(x)=x3+x2-5x+2, f′(x)=3x2+2x-5. 由f′(x)=0得x1=-53,x2=1. 當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如表: x -∞,-53 -53 -53,1 1 (1,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 根據表格,當x=-53時函數取得極大值且極大值為f-53=22927,當x=1時函數取得極小值且極小值為f(1)=-1. 根據題意結合上圖可知k的取值范圍為-1,22927. 關閉Word文檔返回原板塊