新版高考數(shù)學復習 專題5.1 統(tǒng)計與概率全國高考數(shù)學考前復習大串講

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1、 1

2、 1 【知識網(wǎng)絡】 【考點聚焦】 對知識的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個層次（在下表中分別用A、B、C表示） 內(nèi) 容 要 求 A B C 計數(shù)原理 加法原理與乘法原理 √ 排列與組合　　 √ 二項式定理　　 √ 概率 隨機事件與概率　　 √ 古典概型　　 √ 幾何概型　　 √

3、 互斥事件及其發(fā)生的概率　　 √ 統(tǒng)計 抽樣方法　　 √ 總體分布的估計　　 √ 總體特征數(shù)的估計　　 √ 1. 原題（選修2-3第二十七頁習題1.2A組第四題）變式1 某節(jié)假日，附中校辦公室要安排從一號至六 號由指定的六位領導參加的值班表. 要求每一位領導值班一天，但校長甲與校長乙不能相鄰且主任丙與主任丁也不能相鄰，則共有多少種不同的安排方法 （ ） A．336 B．408 C．240 D．264 【答案】選 【解析】方法數(shù)為：選 變式2 某地

4、高考規(guī)定每一考場安排24名考生，編成六行四列就坐.若來自同一學校的甲、乙兩名學生同時排在“考點考場”，那么他們兩人前后左右均不相鄰的概率是 ( ) A． B． C． D． 【答案】選 2.原題（選修2-3第二十七頁習題1.2A組第九題）變式1在正方體的各個頂點與各棱的中點共20個點中，任取2點連成直線，在這些直線中任取一條，它與對角線垂直的概率為_________． 圖4 【答案】 變式2 考察正方體6個面的中心，甲從這6個點中任意選兩個點連成直線，乙也從這6個點中任意選兩個點連成直線，則所得的兩條直線相互平行但

5、不重合的概率等于( ) A. B. C. D. 【答案】選． 【解析】如圖，甲從這6個點中任意選兩個點連成直線，乙也從這6個點中任意選兩個點連成直線，共有種不同取法，其中所得的兩條直線相互平行但不重合有共12對，所以所求概率為，選． 3.原題（選修2-3第四十頁復習參考題A組第三題）變式1 設集合，定義集合對中含有個元素，中至少含有個元素，且中最小的元素不小于中最大的元素.記滿足的集合對的總個數(shù)為，滿足的集合對的總個數(shù)為，則的值為( ) A. B. C. D. 【答案】選 【解析

6、】根據(jù)題意，的個數(shù)可以這樣?。?，故同樣得的個數(shù)為故選 變式2 把已知正整數(shù)表示為若干個正整數(shù)（至少3個，且可以相等）之和的形式，若這幾個正整數(shù)可以按一定順序構(gòu)成等差數(shù)列，則稱這些數(shù)為的一個等差分拆．將這些正整數(shù)的不同排列視為相同的分拆．如：與為12的相同等差分拆．問正整數(shù)30的不同等差分拆有 個． 【答案】19. 4.原題（選修2-3第四十一頁復習參考題B組第1題（3））變式 已知集合，定義映射，且點．若的外接圓圓心為D，且，則滿足條件的映射有（ ） A.12個； B.10個； C.6個； D.16個； 【答案】A. 5.原題（選修2-3

7、第八十六頁例2）一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù) 和溫度 有關(guān)，現(xiàn)收集了 7 組觀測數(shù)據(jù)列于表中，試建立 與 之間的回歸方程。 溫度 21 23 25 27 29 32 35 產(chǎn)卵數(shù)個 7 11 21 24 66 115 325 變式 為了對佛山市中考成績進行分析，在60分以上的全體同學中隨機抽出8位，他們的數(shù)學(已折算為百分制)、物理、化學分數(shù)對應如下表， 學生編號 1 2 3 4 5 6 7 8 數(shù)學分數(shù)x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分數(shù)y 72 77 80 84 88 90 93

8、 95 化學分數(shù)z 67 72 76 80 84 87 90 92 (1) 若規(guī)定85分(包括85分)以上為優(yōu)秀，求這8位同學中數(shù)學和物理分數(shù)均為優(yōu)秀的概率； (2) 用變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù)說明物理與數(shù)學、化學與數(shù)學的相關(guān)程度； (3) 求y與x、z與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并用相關(guān)指數(shù)比較所求回歸模型的效果. 參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，，. 6.原題（選修2-3第九十五頁例1）變式 甲乙兩個學校高三年級分別有1100人，1000人，為了了解兩個學校全體高三年級學生在該地區(qū)二模考試的數(shù)學成績情況，采用分層抽樣方法從兩個學校一共抽取

9、了 105名學生的數(shù)學成績，并作出了如下的頻數(shù)分布統(tǒng)計表，規(guī)定考試成績在120，150]內(nèi)為優(yōu)秀，甲校： 乙校： (I )計算的值; (II)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫右面列聯(lián)表，若按是否優(yōu)秀來判斷，是否有97.5% 的把握認為兩個學校的數(shù)學成績有差異. (III)根據(jù)抽樣結(jié)果分別估計甲校和乙校的優(yōu)秀率；若把頻率作為概率，現(xiàn)從乙校學生中任取3人，求優(yōu)秀學生人數(shù)的分布列和數(shù)學期望; 附： 【解析】 (I ) 甲校 乙校 總計 優(yōu)秀 10 20 30 非優(yōu)秀 45 30 75 總計 55 50 105 7. 原題（必修3第62頁的“如何得到敏感

10、性問題的誠實反應”）變式 為了解某中學生遵守《中華人民共和國交通安全法》的情況，調(diào)查部門在該校進行了如下的隨機調(diào)查，向被調(diào)查者提出兩個問題：（１）你的學號是奇數(shù)嗎？（２）在過路口時你是否闖過紅燈？要求被調(diào)查者背對著調(diào)查人員拋擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第一個問題，否則就回答第二個問題．被調(diào)查者不必告訴調(diào)查人員自己回答的是哪一個問題，只需回答“是”或“不是”，因為只有調(diào)查者本人知道回答了哪一個問題，所以都如實地作了回答.結(jié)果被調(diào)查的800人（學號從1至800）中有240人回答了“是”.由此可以估計這800人中闖過紅燈的人數(shù)是 . 8. 原題（必修3第72頁）變式

11、 為了了解某市居民的用水量，通過抽樣獲得了100位居民的月均用水量.第八題圖是調(diào)查結(jié)果的頻率直方圖.（1）估計該樣本的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）若以該樣本數(shù)據(jù)的頻率作為總體的概率，從該市（人數(shù)很多）任選3人，求用水量超過3噸的人數(shù)的期望值. 【解析】（1）平均數(shù)為 .因為（0.08+0.16+0.30+0.44）×0.5=0.49，所以中位數(shù)為 （2）樣本數(shù)據(jù)中用水量超過3噸的頻率為0.1，則從總體中任選一人，用水量超過3噸的概率為0.1.設所選3人中用水量超過3噸的人數(shù)為，則～,所以即（1）平均數(shù)為1.98，中位數(shù)為；（2）期望值為0.3. 9. 原題（必修3第73頁的探究“數(shù)據(jù)有

12、時會被利用”）變式 春節(jié)剛過，為留住本地人才，有一家公司在火車站等處張貼招聘啟示，“我們公司的收入水平很高”，“去年，在50名員工中，最高年收入達到了100萬，他們年收入的平均數(shù)是3．5萬.”如果你希望獲得年薪2．5萬元.(1)你判斷自己是否能夠成為此公司的一名高收入者？(2)如果招聘員繼續(xù)告訴你，“員工收入的變化范圍是從0．5萬到100萬”，這個信息是否足以使你作出自己受聘的決定？為什么？(3)如果招聘員繼續(xù)給你提供了如下信息，員工收入的中間50%(即去掉最少的25%和最多的25%后所剩下的)的變化范圍是1萬到3萬，你又能否用這條信息來作出是否受聘的決定？(4)你能估計出收入的中位數(shù)是多少

13、嗎？為什么平均值比估計出的中位數(shù)高很多？ 10. 原題（必修3第79頁練習第2題）變式 在某次測驗中，有6位同學的平均成績?yōu)?5分.用表示編號為n的同學所得成績，且前5位同學的成績?nèi)缦拢? 編號n 1 2 3 4 5 成績 70 76 72 70 72 (1)求第6位同學的成績，及這6位同學成績的標準差s;(2)從前5位同學中，隨機地選2位同學，求恰有1位同學成績在區(qū)間（68,75）中的概率. 11. 原題（必修3第79頁練習第3題）變式 在春運高峰時有顧客反映某家航空公司售票處售票的速度太慢.為此，航空公司收集了100位顧客購票時所花費時間的樣本數(shù)據(jù)(

14、單位：分鐘)，結(jié)果如下表： 2.3 1.0 3.5 0.7 1.0 1.3 0.8 1.0 2.4 0.9 1.1 1.5 0.2 8.2 1.7 5.2 1.6 3.9 5.4 2.3 6.1 2.6 2.8 2.4 3.9 3.8 1.6 0.3 1.1 1.1 3.1 1.1 4.3 1.4 0.2 0.3 2.7 2.7 4.1 4.0 3.1 5.5 0.9 3.3 4.2 21.7 2.2 1.0 3

15、.3 3.4 4.6 3.6 4.5 0.5 1.2 0.7 3.5 4.8 2.6 0.9 7.4 6.9 1.6 4.1 2.1 5.8 5.0 1.7 3.8 6.3 3.2 0.6 2.1 3.7 7.8 1.9 0.8 1.3 1.4 3.5 11 8.6 7.5 2.0 2.0 2.0 1.2 2.9 6.5 1.0 4.6 2.0 1.2 5.8 2.9 2.0 2.9 6.6 0.7

16、1.5 航空公司認為，為一位顧客辦理一次售票業(yè)務所需的時間在5分鐘之內(nèi)就是合理的.上面的數(shù)據(jù)是否支持航空公司的說法？顧客提出的意見是否合理？請你對上面的數(shù)據(jù)進行適當?shù)姆治?，回答下面問題：(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)計算中位數(shù)、平均數(shù)和標準差.(2)對數(shù)據(jù)進行適當?shù)姆纸M，分析數(shù)據(jù)分布的特點，并進行分析.(3)你認為應該用哪一個統(tǒng)計量來分析上述問題比較合適？ （2）對數(shù)據(jù)進行分組的結(jié)果，100名顧客購票花費時間的分組表 接收 頻數(shù)（人） 頻數(shù)（%） 1分鐘以下 14 14 1~2

17、 24 24 2~3 20 20 3~4 15 15 4~5 9 9 5~6 6 6 6~7 5 5來 7~8 3 3 8~9

18、 2 2 9以上 2 2 合計 100 100 繪制直方圖觀察數(shù)據(jù)分布的特點，直方圖如下： 從直方圖可以看出，顧客購票所花費時間的分布為右偏.有顧客反映這家航空公司售票處售票的速度太慢，這可能是由少數(shù)人提出來的.因此這些少數(shù)顧客提出的意見并不能代表大多數(shù)人，可以認為顧客提出的意見是不完全合理的. (3) 從中位數(shù)來看，其結(jié)果為2.5分鐘，因此，從總體上看，該航空公司辦理一項售票業(yè)務所需的時間大約為2.5分鐘，在航空公司認為的合理時

19、間5分鐘之內(nèi)，因此，可以說顧客提出的意見是不合理的.用中位數(shù)感覺較合理一些. 12. 原題（必修3第82頁習題2.2A組第5題）變式 在一次人才招聘會上，有兩家公司提供如下信息：公司甲：我們公司的收入水平很高，去年在80名員工中，最高年收入達到了150萬元，員工的年收入平均數(shù)是4萬；公司乙：我們公司規(guī)模比較大，共有150人，員工年收入的中間50%（即去掉最少的25%和最多的25%后所剩下的）的變化范圍是2.5萬到3.5萬.某位大學畢業(yè)生希望獲得年薪3萬元，根據(jù)以上信息，他應該選擇哪家公司更好？ 13. 原題（必修3第八十六頁思考）變式 假設兒子身高與父親身高呈線性相關(guān)關(guān)系，若小明身高

20、為172cm，他的爸爸和爺爺?shù)纳砀叻謩e為170cm和175cm，預測小明兒子的身高為 cm. 【解析】依題意可得如下表格 父親身高x(cm) 175 170 172 兒子身高y(cm) 170 172 ? 由點（175，170），（170，172）得直線方程為，所以當時， 14. 原題（必修3第92的“相關(guān)關(guān)系的強與弱”）變式 如圖是根據(jù)，的觀測數(shù)據(jù)（i=1，2，…，10）得到的散點圖，由這些散點圖可以判斷變量，具有相關(guān)關(guān)系的圖是 （ ） A.①② B.①④ C.②③ D

21、.③④ 【答案】D. 15. 原題（必修3第127頁探究）變式1 多選題是標準化考試的一種題型，一般是從A、B、C、D四個選項中選出所有正確的答案，在一次考試中有5道多選題，某同學一道都不會，他隨機的猜測，則他答對題數(shù)的期望值為 . 【解析】答對每道題的概率為，設答對的題數(shù)為，則～,所以 變式2 多選題是標準化考試的一種題型，一般是從A、B、C、D四個選項中選出所有正確的答案，每題至少有一個選項是正確的，在一次考試中有10道多選題，一個小組中的10位學生答題情況如下表： 答對題數(shù) 0～2 3～4 5～6 7～8 9～10 概率 0.10 0.1

22、5 0.25 0.30 0.20 （1）對于每位學生來說，答對題數(shù)不少于7題的概率； （2）小組中若有2人以上（含2人）答對題數(shù)不超過6題的概率大于0.9，則這個小組需要重新考核，請問這個小組是否需要重新考核？ 【解析】（1）； （2）每位學生答對題數(shù)不超過6題的概率為0.5，設10位學生中答對題數(shù)不超過6題的人數(shù)為，則～,所以所以該小組需要重新考核. 16. 原題（必修3第127頁例3）變式 將一骰子拋擲兩次，所得向上點數(shù)分別為和，則函數(shù)在上為增函數(shù)的概率是 . 【解

23、析】本題考察了古典概型概率的求法及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎知識.易得函數(shù)的增區(qū)間為和,由已知可得,，故.拋兩次的骰子的所有可能種數(shù)為36種，則滿足條件的有30種，所以所求概率為. 17. 原題（必修3第130頁練習第3題）變式 甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.(1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率；(2)若從報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自同一學校的概率. 18. 原題（必修3第134頁習題3.2B組第3題）變式 假設每個人在任何一個月出生是等可能的，則

24、三個人中至少有兩個人生日在同一個月的概率為 . 【解析】【方法一】：－；【方法二】：. 19. 原題（必修3第140頁例4）變式 如圖，直線與拋物線交于A、B兩點，分別作AC、BD垂直x軸于C、D兩點，從梯形ABDC中任取一點，則該點落在陰影部分的概率為________；利用隨即模擬方法也可以計算圖中陰影部分面積，若通過1000次試驗產(chǎn)生了落在梯形ABDC內(nèi)的1000個點，則可估計落在陰影部分內(nèi)的點的個數(shù)大約有________個. 20. 原題（必修3第140頁練習第1題）變式 如圖所示，墻上掛有邊長為a的正方形木板，它的四個角的空白部分都是以正方形的頂

25、點為圓心，為半徑的圓弧與正方形的邊所圍成的.某人向此板投標，假設每次都能擊中木板，且擊中木板上每個點的可能性都一樣，則它擊中某人向此板投標，假設每次都能擊中木板，且擊中木板上每個點的可能性都一樣， 則它擊中陰影部分的概率是 . 【解析】本題考查幾何概型的概率的計算，因為正方形的面積為,而陰影部分的面積不易直接計算，所以先計算空白部分的面積為,從而得陰影部分的面積為.根據(jù)幾何概型的概率公式，可得. 21. 原題（必修3第142頁習題3.3A組第3題）變式 一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為30秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為40秒，當你到達路口時，不需要等待就可以過

26、馬路的概率為 . 【感受高考】 1. 【20xx高考新課標2理數(shù)】如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（ ） （A）24 （B）18 （C）12 （D）9 【答案】B 【解析】 2. 【高考四川理數(shù)】用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為( ) （A）24 　（B）48 ?。–）60 　（D）72 【答案】D 【

27、解析】 試題分析：由題意，要組成沒有重復的五位奇數(shù)，則個位數(shù)應該為1、3、5中之一，其他位置共有隨便排共種可能，所以其中奇數(shù)的個數(shù)為，故選D. 3.【20xx高考新課標3理數(shù)】定義“規(guī)范01數(shù)列”如下：共有項，其中項為0，項為1，且對任意，中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有（ ） （A）18個 （B）16個 （C）14個 （D）12個 【答案】C 【解析】 試題分析：由題意，得必有，，則具體的排法列表如下： 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1

28、 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 4. 【20xx高考新課標1卷】某公司的班車在7:00,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班車,且到達發(fā)車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】 試題分析：如圖所示,畫出時間軸： 小明到達的時間會隨機的落在圖中線段中,而當他的到達時間落在線段或時,才能保證他等車的時間不超過10分

29、鐘根據(jù)幾何概型,所求概率．故選B． 5.【20xx高考新課標3理數(shù)】某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖．圖中點表示十月的平均最高氣溫約為，點表示四月的平均最低氣溫約為．下面敘述不正確的是（ ） (A)各月的平均最低氣溫都在以上 (B)七月的平均溫差比一月的平均溫差大 (C)三月和十一月的平均最高氣溫基本相同 (D)平均氣溫高于的月份有5個 【答案】D 【解析】 6. 【20xx高考新課標2理數(shù)】從區(qū)間隨機抽取個數(shù),，…，，，，…，，構(gòu)成n個數(shù)對，，…，，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有個，則用隨機

30、模擬的方法得到的圓周率的近似值為 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】 試題分析：利用幾何概型，圓形的面積和正方形的面積比為，所以.選C. 7. 【高考北京理數(shù)】袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則（） A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多 C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球

31、 D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多 【答案】C 【解析】 8. 【20xx高考新課標1卷】的展開式中,x3的系數(shù)是 .（用數(shù)字填寫答案） 【答案】 【解析】 試題分析：的展開式通項為(,1,2,…,5),令得,所以的系數(shù)是. 9. 【20xx高考山東理數(shù)】在上隨機地取一個數(shù)k，則事件“直線y=kx與圓相交”發(fā)生的概率為 . 【答案】 【解析】 試題分析：直線y=kx與圓相交,需要滿足圓心到直線的距離小于半徑，即，解得，而，所以所求概率P=. 10. 【20xx高考新課標1卷】（本小題滿分12分）某公司計劃購買2臺機器

32、,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖： 以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù). （I）求的分布列； （II）若要求,確定的最小值； （III）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù),在與之中選其一,應選用哪個？ 【答案】

33、（I）見解析（II）19（III） 【解析】 ； . 所以的分布列為 16 17 18 19 20 21 22 （Ⅱ）由（Ⅰ）知,,故的最小值為19. （Ⅲ）記表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元）. 當時, . 當時, . 可知當時所需費用的期望值小于時所需費用的期望值,故應選. 11. 【20xx高考新課標2理數(shù)】某險種的基本保費為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費與其上年度的出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出險次數(shù) 0 1 2 3 4 5 保費 0.85

34、 1.25 1.5 1.75 2 設該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應概率如下： 一年內(nèi)出險次數(shù) 0 1 2 3 4 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 （Ⅰ）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率； （Ⅱ）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率； （Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值． 【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【解析】 試題解析：（Ⅰ）設表示事件： “一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故 （Ⅲ）記續(xù)保人本年度的保費為，則的分布列為 因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為 歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org