新編高考數學理一輪資源庫第四章 第8講 正弦定理和余弦定理的應用舉例

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1、新編高考數學復習資料 第8講　正弦定理和余弦定理的應用舉例 一、填空題 1．已知A、B兩地的距離為10 km，B、C兩地的距離為20 km，現(xiàn)測得∠ABC＝120°，則A，C兩地的距離為________． 解析 如圖所示，由余弦定理可得： AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700， ∴AC＝10(km)． 答案 10 km 2．如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿著DC走到C用了3分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半

2、徑為________米． 解析 由題圖知，連接OC，在三角形OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×＝17 500，∴OC＝50. 答案 50 3．某人向正東方向走x km后，他向右轉150°，然后朝新方向走3 km，結果他離出發(fā)點恰好 km，那么x的值為________． 解析　如圖，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由余弦定理得()2＝32＋x2－2×3x×cos 30°，即x2－3x＋6＝0，解得x1＝，x2＝2，經檢測均合題意． 答案　或2 4. 如圖所示，為了測量河

3、對岸A，B兩點間的距離，在這一岸定一基線CD，現(xiàn)已測出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，則AB的長為________． 解析　在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°， 所以AC＝a.① 在△BCD中，由正弦定理可得BC＝＝a.② 在△ABC中，已經求得AC和BC，又因為∠ACB＝30°， 所以利用余弦定理可以求得A，B兩點之間的距離為 AB＝＝a. 答案　a 5．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿東偏南50°方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是東偏南2

4、0°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B、C兩點間的距離是________． 解析 如圖所示，由已知條件可得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°， 即AB＝40×＝20(海里)． ∴∠BCA＝45°. ∴由正弦定理可得：＝. ∴BC＝＝10(海里)． 答案 10(海里) 6．已知A、B兩地的距離為10 km，B、C兩地的距離為20 km，現(xiàn)測得∠ABC＝120°，則A、C兩地的距離為________km. 答案 10 7．如圖，設A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可

5、以計算A、B兩點的距離為________m. 答案 50 8．如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛垂面內，若飛機的高度為海拔18 km，速度為1 000 km/h，飛行員先看到山頂的俯角為30°，經過1 min后又看到山頂的俯角為75°，則山頂的海拔高度為(精確到0.1 km)________． 解析　AB＝1 000×1 000×＝ (m)， ∴BC＝·sin 30°＝ (m)． ∴航線離山頂h＝×sin 75°≈11.4 (km)． ∴山高為18－11.4＝6.6 (km)． 答案　6.6 km 9．已知等腰三角形腰上的中線長為，則該三角形的面積的最大值是________．

6、 解析　如圖，設AB＝AC＝2x， 則在△ABD中，由余弦定理，得3＝x2＋4x2－4x2cos A， 所以cos A＝.所以sin A＝＝，所以S△ABC＝(2x)2sin A＝.故當x2＝時， (S△ABC)max＝ ＝＝2. 答案　2 10．已知△ABC中，B＝45°，AC＝4，則△ABC面積的最大值為________． 解析　法一　如圖，設△ABC的外接圓為圓O，其直徑2R＝＝＝4.取AC的中點M，則OM＝Rcos 45°＝2，則AC＝4.過點B作BH⊥AC于H，要使△ABC的面積最大，當且僅當BH最大．而BH≤BO＋OM，所以BH≤R＋R＝2＋2，所以(S△ABC)max

7、＝AC·BHmax＝×4×(2＋2)＝4＋4，當且僅當BA＝BC時取等號． 法二　如圖，同上易知，△ABC的外接圓的直徑2R＝4.S△ABC＝AB·BC·sin B＝2R2sin Asin Bsin C＝8sin Asin C＝4.當A＝C＝67.5°時，(S△ABC)max＝4＋4. 答案　4＋4 二、解答題 11．如圖，在半徑為、圓心角為60°的扇形的弧上任取一點P，作扇形的內接矩形PNMQ，使點Q在OA上，點N、M在OB上，設矩形PNMQ的面積為y， (1)按下列要求寫出函數的關系式： ①設PN＝x，將y表示成x的函數關系式； ②設∠POB＝θ，將y表示成θ的函數關系式；

8、 (2)請你選用(1)中的一個函數關系式，求出y的最大值． 解　(1)①∵ON＝＝，OM＝x， ∴MN＝－x， ∴y＝x，x∈. ②∵PN＝sin θ，ON＝cos θ，OM＝×sin θ＝sin θ， ∴MN＝ON－OM＝cos θ－sin θ， ∴y＝sin θ(cos θ－sin θ)， 即y＝3sin θcos θ－sin2θ，θ∈. (2)選擇y＝3sin θcos θ－sin2θ＝sin－， ∵θ∈，∴2θ＋∈，∴ymax＝. 12．如圖，甲船以每小時30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B

9、1處，此時兩船相距20海里，當甲船航行20分鐘到達A2處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時兩船相距10海里．問：乙船每小時航行多少海里？ 解：如圖所示，連接A1B2， 由已知A2B2＝10， A1A2＝30×＝10，[來源: ] ∴A1A2＝A2B2. 又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°， ∴△A1A2B2是等邊三角形， ∴A1B2＝A1A2＝10. 由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°， 在△A1B2B1中，由余弦定理得 B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos 45°＝202＋(10)2－2×20×10

10、×＝200， ∴B1B2＝10. 因此，乙船的速度為×60＝30(海里/小時)． 13. 如圖，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救．甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C處的乙船，接到信號后乙船朝北偏東θ方向沿直線前往B處救援，問θ的正弦值為多少？ 解　如題圖，在△ABC中，AB＝20海里，AC＝10海里，∠BAC＝120°， 由余弦定理知BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝202＋102－2×20×10×＝700.∴BC＝10海里． 由正弦定理＝， ∴sin∠ACB＝·sin∠BAC＝·sin

11、 120°＝. ∴sin θ＝sin(30°＋∠ACB)＝sin 30°cos∠ACB＋cos 30°·sin∠ACB＝. ∴乙船應沿北偏東sin θ＝的方向沿直線前往B處救援． 14．某單位設計一個展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內，布設一個對角線在l上的四邊形電氣線路，如圖所示，為充分利用現(xiàn)有材料，邊BC，CD用一根5米長的材料彎折而成，邊BA、AD用一根9米長的材料彎折而成，要求∠A和∠C互補，且AB＝BC. (1)設AB＝x米，cos A＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范圍； (2)求四邊形ABCD面積的最大值． 解　(1)在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋A

12、D2－2AB·AD·cos A. 同理，在△CBD中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos C. 因為∠A和∠C互補，所以AB2＋AD2－2AB·AD·cos A＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos C＝CB2＋CD2＋2CB·CD·cos A. 即x2＋(9－x)2－2x(9－x)cos A＝x2＋(5－x)2＋2x(5－x)·cos A．解得cos A＝，即f(x)＝，其中x∈(2,5)． (2)四邊形ABCD的面積S＝(AB·AD＋CB·CD)sin A＝[x(9－x)＋x(5－x)]＝x(7－x) ＝＝. 記g(x)＝(x2－4)(x2－14x＋49)，x∈(2,5)． 由g′(x)＝2x(x2－14x＋49)＋(x2－4)(2x－14) ＝2(x－7)(2x2－7x－4)＝0，解得x＝4. 函數g(x)在區(qū)間(2,4)內單調遞增，在區(qū)間(4,5)內單調遞減．因此g(x)的最大值為g(4)＝12×9＝108. 所以S的最大值為＝6. 答：所求四邊形ABCD面積的最大值為6 m2.