新編新課標高三數(shù)學一輪復習 第10篇 二項式定理學案 理

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1、 第五十八課時 二項式定理 課前預習案 考綱要求 1.能用計數(shù)原理證明二項式定理. 2.對于二項式定理,主要考查利用通項公式求展開式的特定項、求特定項的系數(shù)、利用賦值法求二項式展開式系數(shù)問題等. 基礎知識梳理 1.二項式定理:(a+b)n=_________________________________________這個公式所表示的定理叫二項式定理,右邊的多項式叫(a+b)n的二項展開式. 式中的____________叫二項展開式的通項,用Tr+1表示,即通項Tr+1=___________. 注意:(1)它表示的是二項式的展開式的第項,而不是第項. (2)其中叫二

2、項式展開式第項的二項式系數(shù),而二項式展開式第項的系數(shù)是字母冪前的常數(shù). 2.二項展開式形式上的特點 (1)項數(shù)為_______. (2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n,即a與b的指數(shù)的和為 . (3)字母a按 排列,從第一項開始,次數(shù)由n逐項減1直到 ;字母b按 排列,從第一項起,次數(shù)由零逐項增1直到 . (4)二項式的系數(shù)從,C,一直到 , . 3.二項式系數(shù)的性質(zhì) (1)對稱性:與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等.即. (2)增減性與最大值: 二項式系數(shù)C,當k<時,二項式系數(shù)逐增大.由對稱性知

3、它的后半部分是逐漸減小的;當n是偶數(shù)時,中間一項______________取得最大值; 當n是奇數(shù)時,中間兩項__________,__________取得最大值. (3)各二項式系數(shù)和:C+C+C+…+C+…+C= ; C+C+C+…=C+C+C+…= . 4.二項展開式的系數(shù)的性質(zhì): 對于,; 預習自測 1.(20xx·福建)(1+2x)5的展開式中,x2的系數(shù)等于( ). A.80 B.40 C.20 D.10 2.若(1+)5=a+b(a,b為有理數(shù)),則a+b=( ).

4、 A.45 B.55 C.70 D.80 3.若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,則a0+a2+a4的值為( ). A.9 B.8 C.7 D.6 4.(20xx·重慶)(1+3x)n(其中n∈N且n≥6)的展開式中x5與x6的系數(shù)相等,則n=( ). A.6 B.7 C.8 D.9 5.(20xx·安徽)設(x-1)21=a0+a1x+a2x2+…+a21x21,則a10+a11=________. 課堂探究案 典型例題 考點1 二項展

5、開式中的特定項或特定項的系數(shù) 【典例1】已知的展開式中,第6項為常數(shù)項. (1)求n; (2)求含x2的項的系數(shù); (3)求展開式中所有的有理項. 【變式1】(1) (20xx·山東)若6展開式的常數(shù)項為60,則常數(shù)a的值為__ _. (2)已知(1+x+x2)的展開式中沒有常數(shù)項,n∈N*,且2≤n≤8,n= . 考點2 二項式中的系數(shù)與二項式系數(shù) 【典例2】(1) 在的二項展開式中,x11的系數(shù)是_____. (2)若展開式的二項式系數(shù)之和為64,則展開式的常數(shù)項為( ) A.10 B.20 C.30

6、 D.120 【變式2】設(x-1)4(x+2)8=a0x12+a1x11+…+a11x+a12,則a0+a2+…+a10+a12=____. 考點3 二項式定理中的賦值法的應用 【典例3】二項式(2x-3y)9的展開式中,求: (1)二項式系數(shù)之和; (2)各項系數(shù)之和; (3)所有奇數(shù)項系數(shù)之和. 【變式3】 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.求: (1)a1+a2+…+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6;

7、 (4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|. 考點4 二項式的和與積 【典例4】在(1+2x)3(1-x)4的展開式中含x項的系數(shù)為________. 【變式4】在x7的展開式中,x4的系數(shù)是________(用數(shù)字作答). 考點5 二項式展開式中的最值問題 【典例5】已知n的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列. (1)求 n 的值; (2)展開式中二項式系數(shù)最大的項; (3)展開式中系數(shù)最大的項. 【變式5】(1)在的展開式中,只有第5項的二項式系數(shù)最大,則展開式中常數(shù)項是( ) A.-7 B.7 C.-28

8、 D.28 (2)已知二項式,(n∈N)的展開式中第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)的比是10:1, (1)求展開式中各項的系數(shù)和; (2)求展開式中含的項; (3)求展開式中二項式系數(shù)最大的項. 當堂檢測 1.二項式6的展開式中的常數(shù)項是(  ) A.20          B.-20 C.160 D.-160 2.若二項式n的展開式中第5項是常數(shù)項,則正整數(shù)n的值可能為(  ). A.6 B.10 C.12

9、 D.15 3.(1-t)3dt的展開式中x的系數(shù)是(  ) A.-1 B.1 C.-4 D.4 4.已知8的展開式中常數(shù)項為1120,其中實數(shù)a是常數(shù),則展開式中各項系數(shù)的和是(  ). A.28 B.38 C.1或38 D.1或28 5.設n的展開式的各項系數(shù)之和為M,二項式系數(shù)之和為N,若M-N=240,則展開式中x的系數(shù)為(  ). A.-150 B.

10、150 C.300 D.-300 6.2n展開式的第6項系數(shù)最大,則其常數(shù)項為(  ) A.120 B.252 C.210 D.45 課后拓展案 A組全員必做題 .(20xx新課標Ⅱ)已知的展開式中的系數(shù)為,則( ?。? A. B. C. D. .(20xx新課標Ⅰ)設為正整數(shù),展開式的二項式系數(shù)的最大值為,展開式的二項式系數(shù)的最大值為,若,則(  ) A.5 B.6 C.7 D.8 .

11、(20xx大綱)的展開式中的系數(shù)是(  ) A. B. C. D. .(20xx上海春)的二項展開式中的一項是( ?。? A. B. C. D. .(20xx遼寧)使( ) A. B. C. D. .(20xx陜西)設函數(shù) 則當x>0時, 表達式的展開式中常數(shù)項為( ?。? A.-20 B.20 C.-15 D.15 .(20xx年高考江西卷(理))(x2-)5展開式中的常數(shù)項為( ?。? A.80 B.-80 C.40 D.-40 B組提高選做題 1.(20xx上海春季)36的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到:因為, 所以36的所有正約數(shù)之和為 .參照上

12、述方法,可求得2000的所有正約數(shù)之和為_______. 2.(20xx四川)二項式的展開式中,含的項的系數(shù)是_________.(用數(shù)字作答) 3.(20xx天津)在 的二項展開式中的常數(shù)項為______. 參考答案 預習自測 1.B 2.C 3.B 4.B 5.0 典型例題 【典例1】(1)10;(2);(3),; 【變式1】(1)4;(2)5 【典例2】(①)15;(②)B 【變式2】.8 【典例3】(1)512;(2);(3) 【變式3】(1);(2);(3);(4) 【典例4】2 【變式4】84 【典例5】

13、(1)8;(2);(3), 【變式5】(1).B (2).()1;();() 當堂檢測 1.【答案】D 【解析】二項式(2x-)6的展開式的通項是Tr+1=C·(2x)6-r·r=C·26-r·(-1)r·x6-2r.令6-2r=0,得r=3,因此二項式(2x-)6的展開式中的常數(shù)項是C·26-3·(-1)3=-160. 2.【答案】C 【解析】Tr+1=C()n-rr=(-2)rC,當r=4時,=0,又n∈N*,∴n=12. 3. 【答案】B 【解析】 (1-t)3dt==+,故這個展開式中x的系數(shù)是 -=1. 4.【答案】C 【解析】由題意知C·(-a)4=1120,

14、解得a=±2,令x=1,得展開式各項系數(shù)和為(1-a)8=1或38. 5.【答案】B 【解析】由已知條件4n-2n=240,解得n=4, Tr+1=C(5x)4-rr=(-1)r54-rC, 令4-=1,得r=2,T3=150x. 6【答案】C 【解析】 根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì),得2n=10,故二項式2n的展開式的通項公式是 Tr+1=C()10-r·r=C,根據(jù)題意5-=0,解得r=6,故所求的常數(shù)項等于C=C=210. A組全員必做題 課后拓展案 1.D 2.B 3.D 4.C 5.B 6. A 7.C B組提高選做題 1.4836 2.10 3.15

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