《新版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第四章 第三節(jié)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第四章 第三節(jié)(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
1
2、 1
課時(shí)提升作業(yè)(二十七)
一、選擇題
1.有下列四個(gè)命題:
①(a·b)2=a2·b2;②|a+b|>|a-b|;③|a+b|2=(a+b)2;④若a∥b,則a·b=|a|·|b|.其中真命題的個(gè)數(shù)是 ( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2.(20xx·遼寧高考)已知兩個(gè)非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則下面結(jié)論正確的是 (
3、 )
(A)a∥b (B)a⊥b
(C)|a|=|b| (D)a+b=a-b
3.(20xx·渭南模擬)設(shè)向量a=(cos 25°,sin25°),b=(sin 20°,cos 20°),若t是實(shí)數(shù),且u=a+tb,則|u|的最小值是 ( )
(A)2 (B)1 (C)22 (D)12
4.(20xx·南昌模擬)已知平面向量a=(3,1),b=(x,-6),設(shè)a與b的夾角的正切值等于-43,則x的值為 ( )
(A)263 (B)2
(C)-2
4、 (D)-2,263
5.在△ABC中,AC→·AB→|AB→|=1,BC→·BA→|BA→|=2,則AB邊的長(zhǎng)度為 ( )
(A)1 (B)3 (C)5 (D)9
6.(20xx·重慶模擬)已知向量a,b滿足|a|=|b|=2, a·b=0,若向量c與a-b共線,則|a+c|的最小值為( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)2
7.(20xx·營(yíng)口模擬)設(shè)a,b是不共線的兩個(gè)向量,其夾角是θ,若函數(shù)f(x)=(xa+b)·(a-xb)(x∈R)在(0,+∞)上有最大值,則( )
(A
5、)| a|<|b|,且θ是鈍角
(B)| a|<|b|,且θ是銳角
(C)| a|>|b|,且θ是鈍角
(D)| a|>|b|,且θ是銳角
8.已知O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn),OA→+OB→+OC→=0,AB→·AC→=23,且∠BAC=30°,則△AOB的面積為 ( )
(A)2 (B)1 (C)12 (D)13
9.已知a,b,c為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,向量m=(3,-1),n=
(cosA,sinA).若m⊥n,且acosB+bcosA=csinC,則角A,B的大小分別為( )
(A)π6,π3 (B)2π3,
6、π6
(C)π3,π6 (D)π3,π3
10.(能力挑戰(zhàn)題)如圖,已知點(diǎn)A(1,1)和單位圓上半部分上的動(dòng)點(diǎn)B.且OA→⊥OB→,則向量OB→的坐標(biāo)為( )
(A)(-12,12) (B)(-22,22) (C)(-13,13) (D)(-32,32)
二、填空題
11.(20xx·黃山模擬)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=52,則|b|= .
12.如圖,半圓的直徑|AB|=6,O為圓心,C為半圓上不同于A,B的任意一點(diǎn),若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn),則(PA→+PB→)·PC→的最小值是 .
13.(20xx·杭州模擬)
7、以下命題:①若|a·b|=|a|·|b|,則a∥b;②a=(-1,1)在b=(3,4)方向上的投影為15;③若△ABC中,a=5,b=8,c=7,則BC→·CA→=20;④若非零向量a,b滿足|a+b|=|b|,則|2b|>|a+2b|.其中所有真命題的序號(hào)是 .
14.(能力挑戰(zhàn)題)給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量OA→和OB→,它們的夾角為90°.如圖所示,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn)動(dòng),若OC→=xOA→+yOB→,其中x,y∈R,則xy的范圍是 .
三、解答題
15.(20xx·晉中模擬)已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),AB→·AD→=5,=10.
8、
(1)求D點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)若D點(diǎn)在第二象限,用AB→,AD→表示AC→.
(3)設(shè)AE→=(t,2),若3AB→+AC→與AE→垂直,求AE→的坐標(biāo).
答案解析
1.【解析】選A.設(shè)a,b夾角為θ,①(a·b)2=|a|2·|b|2·cos2θ≤|a|2·|b|2=a2·b2;
②|a+b|與|a-b|大小不確定;
③正確;
④a∥b,當(dāng)a,b同向時(shí)有a·b=|a|·|b|;當(dāng)a,b反向時(shí)有a·b=-|a|·|b|.故不正確.
2.【思路點(diǎn)撥】將所給等式兩邊平方,找到兩個(gè)向量的關(guān)系.
【解析】選B.|a+b|=|a-b|?|a+b|2=|a-b|2?a2+2a·b+
9、b2=a2-2a·b+b2?a·b=0?a⊥b.
【變式備選】已知非零向量a,b滿足向量a+b與向量a-b的夾角為π2,那么下列結(jié)論中一定成立的是 ( )
(A)a=b (B)|a|=|b|
(C)a⊥b (D)a∥b
【解析】選B.由條件得(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,故可得|a|=|b|.
3.【解析】選C.∵|u|2=(a+tb)2=a2+2ta·b+t2b2
=1+2t(cos 25°sin 20°+sin 25°cos 20°)+t2
=t2+2t+1=(t+22)2+12≥12,
∴|u|≥22,故選C.
4.【
10、解析】選C.∵a=(3,1),b=(x,-6),設(shè)a與b的夾角等于θ,
∴a·b=3x-6=10x2+36cosθ,
∴cosθ=3x-610x2+36.
∵tanθ=-43,∴cosθ=-35.
∴3x-610x2+36=-35,
整理得3x2-20x-52=0.
解得x1=-2,x2=263.
經(jīng)檢驗(yàn)x2=263是增根,x1=-2滿足要求.
∴x=-2.
5.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)數(shù)量積的定義計(jì)算,并結(jié)合解三角形的知識(shí)得到結(jié)果.
【解析】選B.過點(diǎn)C作AB的垂線,垂足為D.
由條件得AC→·AB→|AB→|=|AC→||AB→|cosA|AB→|=|AC→|cosA=|A
11、D|=1,同理|BD|=2.
故|AB|=|AD|+|DB|=3.
6.【解析】選B.由a·b=0知a⊥b,又|a|=|b|=2,所以a與a - b所成角為π4.若| a +c|最小,則c與a - b共線反向,從而a與c的夾角為3π4.
∵(a + c)2= a 2+ c 2+2|a||c|·cos3π4= c 2-22| c |+4=(| c |-2)2+2≥2,∴|a+c|≥2,
即| a +c|的最小值為2.
7.【解析】選D.f(x)=- a·b x2+(a2- b 2)x+a·b,若函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有最大值,則可知函數(shù)為二次函數(shù),且圖像的開口向下,且對(duì)稱軸在y軸
12、右側(cè),即-a·b<0,a2-b22a·b>0,
所以a, b的夾角為銳角,且|a|>| b |.
8.【解析】選D.由OA→+OB→+OC→=0得O為△ABC的重心,∴S△AOB=13S△ABC.
又AB→·AC→=|AB→||AC→|cos30°=23,
得|AB→||AC→|=4,∴S△ABC=12|AB→||AC→|sin30°=1.
∴S△AOB=13.
9.【解析】選C.由m⊥n可得m·n=0,
即3cosA-sinA=0,所以A=π3.
又acosB+bcosA=csinC知c=csinC,則sinC=1,
所以C=π2,由B=2π3-C可得B=π6.
10.
13、【解析】選B.依題意設(shè)B(cosθ,sinθ),0≤θ≤π.
則OA→=(1,1),OB→=(cosθ,sinθ).
因?yàn)镺A→⊥OB→,所以O(shè)A→·OB→=0,
即cosθ+sinθ=0,
解得θ=3π4,
所以O(shè)B→=(-22,22).
【方法技巧】解題時(shí)引入恰當(dāng)?shù)膮?shù)θ是解題的關(guān)鍵,進(jìn)而可利用三角函數(shù)的定義求得點(diǎn)B的坐標(biāo),可將問題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算問題來(lái)解決.
11.【解析】∵50=|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=5+20+|b|2,∴|b|=5.
答案:5
12.【思路點(diǎn)撥】設(shè)|PO|=x(0≤x≤3),運(yùn)用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為函數(shù)知識(shí)求解.
【解析】設(shè)
14、|PO|=x,則|PC|=3-x(0≤x≤3),
則(PA→+PB→)·PC→=2PO→·PC→=2·x·(3-x)·cosπ=2x(x-3)=2(x-32)2-92.
∵0≤x≤3,
∴當(dāng)x=32時(shí),(PA→+PB→)·PC→有最小值-92.
答案:-92
13.【解析】設(shè)a,b的夾角為θ,①中,由|a·b|=|a||b||cosθ|=|a||b|,知
cosθ=±1,故θ=0或θ=π,所以a∥b,故正確;②中a在b方向上的投影為|a|·cosθ=|a|·==15,故正確;③中,由余弦定理得cosC=52+82-722×5×8=12,故BC→·CA→=-CB→·CA→=-5×8
15、×12=-20,故錯(cuò)誤.④中,由|a+b|=|b|知|b|+|a+b|=|b|+|b|,∴|2b|=|b|+|a+b|≥|b+a+b|=|a+2b|,故錯(cuò)誤.
答案:①②
14.【解析】由OC→=xOA→+yOB→,得
=x2+y2+2xyOA→·OB→.
又|OC→|=|OA→|=|OB→|=1,OA→·OB→=0,
∴1=x2+y2≥2xy,得xy≤12,
而點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn)動(dòng),
得x,y∈[0,1],于是0≤xy≤12.
答案:[0,12]
15.【解析】(1)設(shè)D(x,y),AB→=(1,2),AD→=(x+1,y).
由題得
x+2y=4,(x+1
16、)2+y2=10,
∴x=-2,y=3或x=2,y=1.
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,3)或(2,1).
(2)∵D點(diǎn)在第二象限,∴D(-2,3).
∴AD→=(-1,3).∵AC→=(-2,1),
設(shè)AC→=mAB→+nAD→,
則(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3),
∴-2=m-n,1=2m+3n,∴m=-1,n=1,
∴AC→=-AB→+AD→.
(3)∵3AB→+AC→=3(1,2)+(-2,1)=(1,7),AE→=(t,2),
∵3AB→+AC→與AE→垂直,∴(3AB→+AC→)·AE→=0,
∴t+14=0,∴t=-14,∴AE→=(-14,2).
17、【變式備選】在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量a=(-1,2),又點(diǎn)A(8,0),B(n,t),
C(ksinθ,t)(0≤θ≤π2).
(1)若AB→⊥a,且|AB→|=5|OA→|(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求向量OB→.
(2)若向量AC→與向量a共線,當(dāng)k>4,且tsinθ取最大值4時(shí),求OA→·OC→.
【解析】(1)可得AB→=(n-8,t),
∵AB→⊥a,
∴AB→·a=(n-8,t)·(-1,2)=0,
得n=2t+8,
則AB→=(2t,t).
又|AB→|=5|OA→|,|OA→|=8.
∴(2t)2+t2=5×64,解得t=±8,
當(dāng)t=8時(shí),n=24;當(dāng)t=-8時(shí),n=-8.
∴OB→=(24,8)或OB→=(-8,-8).
(2)∵向量AC→與向量a共線,
∴t=-2ksinθ+16,
tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ
=-2k(sinθ-4k)2+32k.
∵k>4,∴0<4k<1,故當(dāng)sinθ=4k時(shí),tsinθ取最大值32k,有32k=4,得k=8.
這時(shí),sinθ=12,k=8,tsinθ=4,得t=8,
則OC→=(4,8),
∴OA→·OC→=(8,0)·(4,8)=32.