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1、
課時(shí)規(guī)范練19 正弦定理、余弦定理
一、選擇題
1.已知在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為a,b,c.若a=c=,且A=75°,則b等于( )
A.2 B.4+2 C.4-2 D.
答案:A
解析:如圖所示.
在△ABC中,由正弦定理得=4,
∴b=2.故選A.
2.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,若,則△ABC一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等邊三角形
答案:A
解析:方法一:由正弦定理得,
∴sin Acos B=cos Asin B,即sin(A-B)=0,
∴
2、A=B.
方法二:由余弦定理將角化為邊,可得a=b,故選A.[來源:]
3.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為a,b,c,若(a2+c2-b2)·tan B=ac,則角B的值為( )
A. B. C. D.
答案:D
解析:由(a2+c2-b2)tan B=ac及余弦定理得2accos Btan B=ac,∴sin B=.又0
3、.
不妨令a=1,則b=,c=2.
由余弦定理可知cos B=.故選D.
5.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別是a,b,c.若a2-b2=bc,sin C=2sin B,則角A等于( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
答案:A
解析:利用正弦定理,sin C=2sin B可化為c=2b.
又∵a2-b2=bc,
∴a2-b2=b×2b=6b2,
即a2=7b2,a=b.
在△ABC中,cos A=,
∴A=30°.故選A.
6.已知△ABC的外接圓的圓心為O,AB=2,AC=,BC=,則等于( )
A.- B. C.- D.
答案
4、:C
解析:因?yàn)锳B2+AC2=BC2,所以△ABC為直角三角形,∠A=90°.
如圖所示,外接圓的圓心為BC的中點(diǎn),
則cos∠AOB==-.
所以·=||||·cos∠AOB==-,故選C.
二、填空題
7.在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若b=,B=,tan C=2,則c= .?
答案:2[來源:]
解析:?sin2C=?sin C=.由正弦定理,得,∴c=×b=2.
8.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,2bcos B=acos C+ccos A,且b2=3ac,則角A的大小為 .?
答案:
解析:由題意
5、根據(jù)正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B>0,則cos B=,
故B=,sin B=.
又∵3sin Asin C=sin2B=,[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
∴4sin Asin C=1,
即2[cos(A-C)-cos(A+C)]=1,
2[cos(A-C)+cos B]=1.
∴cos(A-C)=0.又∵-π
6、2sin,解得b=1,
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=1+4-2=3,
所以BC=a=.
10.在△ABC中,cos A==8,則△ABC的面積為 .?
答案:3
解析:∵·=||·||·cos A=8>0,∴||·||==8×=10,由于00,∴sin A=,∴S△ABC=|·||·sin A=×10×=3,即△ABC的面積為3.
11.在△ABC中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,給出下列結(jié)論:
①由已知條件,這個(gè)三角形被唯一確定;②△ABC一定是鈍角三角形;③sin A∶sin B∶sin C=7∶5∶
7、3;④若b+c=8,則△ABC的面積為.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是 .?
答案:②③
解析:由條件可設(shè)故①不正確;由余弦定理可得cos A=-,即A=120°,故②正確;
由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=7∶5∶3,故③正確;
當(dāng)b+c=4k=8時(shí),則k=2,故三角形三邊分別為7,5,3,所以S△ABC=bcsin A=×5×3×sin 120°=,故④不正確.
三、解答題
12.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若sin2B+sin2C-sin2A+sin Bsin C=0,求tan A的值.
解:依題意及正弦定理可得b2+c
8、2-a2=-bc,則由余弦定理得cos A==-.又0
9、的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足=2+2cos(A+B).[來源:]
(1)求證:b=2a;
(2)若c=a,求角C的大小.
(1)證明:由已知得sin(2A+B)=2sin A+2cos(A+B)sin A,
即sin(A+π-C)=2sin A-2sin Acos C,
sin(C-A)=2sin A-2sin Acos C,sin Ccos A+cos Csin A=2sin A,
sin(A+C)=2sin A,sin B=2sin A,由正弦定理知b=2a.
(2)解:由余弦定理知cos C==-,所以C=120°.
15.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的
10、對(duì)邊分別是a,b,c,且a=1,b=2,B=.
(1)求sin A的值;
(2)求cos 2C的值.
解:(1)a=1,b=2,B=,
依據(jù)正弦定理得,
即,解得sin A=.
(2)∵a
11、s C的最小值為( )
A. B. C. D.-
答案:C
解析:由cos 2A+cos 2B=2cos 2C,利用倍角公式得,2cos2A-1+2cos2B-1=2(2cos2C-1),即cos2A+cos2B=2cos2C,化簡(jiǎn)得sin2A+sin2B=2sin2C,由正弦定理,得a2+b2=2c2,由余弦定理,得cos C=,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立,故cos C的最小值為,選C.
2.在銳角三角形ABC中,A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,=6cos C,則= .?
答案:4
解析:=6cos C?6abcos C=a2+b2,6ab·=a2+b2,a2+b2=,
12、
····=4.
3.已知函數(shù)f(x)=sin 2x-cos 2x-,x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的最小值和最小正周期;
(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,滿足c=,f(C)=0且sin B=2sin A,求a,b的值.
解:(1)f(x)=sin 2x-=sin-1,
則f(x)的最小值是-2,最小正周期是T==π.
(2)f(C)=sin-1=0,則sin-1=0,
0
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