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學案37 合情推理與演繹推理
導學目標： 1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數學發(fā)現中的作用.2.了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理.3.了解合情推理和演繹推理之間的聯系和差異．
自主梳理
自我檢測
1．(2010·山東)觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由歸納推理可得：若定義在R上的函數f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導函數，則g(－x)
等于( )
A．f(x) B．－f(x)
2、 C．g(x) D．－g(x)
2．(2010·珠海質檢)給出下面類比推理命題(其中Q為有理數集，R為實數集，C為復數集)：
①“若a，b∈R，則a－b＝0?a＝b”類比推出“若a，b∈C，則a－b＝0?a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，則復數a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”類比推出“若a，b，c，d∈Q，則a＋b＝c＋d?a＝c，b＝d”；
③“若a，b∈R，則a－b>0?a>b”類比推出“若a，b∈C，則a－b>0?a>b”．其中類比結論正確的個數是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．(2009·江蘇)在平面上，若兩個正三角形的邊
3、長比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長比為1∶2，則它們的體積比為________．
4．(2010·陜西)觀察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根據上述規(guī)律，第五個等式為________________________________．
5．(2011·蘇州月考)一切奇數都不能被2整除，2100＋1是奇數，所以2100＋1不能被2整除，其演繹推理的“三段論”的形式為___________________________________________．
探究點一 歸納推理
例1 在數列
4、{an}中，a1＝1，an＋1＝，n∈N*，猜想這個數列的通項公式，這個猜想正確嗎？請說明理由．
變式遷移1 觀察：①sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝；
②sin26°＋cos236°＋sin 6°cos 36°＝.
由上面兩題的結構規(guī)律，你能否提出一個猜想？并證明你的猜想．
探究點二 類比推理
例2 (2011·銀川月考)在平面內，可以用面積法證明下面的結論：
從三角形內部任意一點，向各邊引垂線，其長度分別為pa，pb，pc，且相應各邊上的高分別為ha，hb，hc，則
5、有＋＋＝1.
請你運用類比的方法將此結論推廣到四面體中并證明你的結論．
變式遷移2 在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，則△ABC的外接圓半徑r＝，將此結論類比到空間有_______________________________________________．
探究點三 演繹推理
例3 在銳角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D、E是垂足．求證：AB的中點M到D、E的距離相等．
變式遷移3 指出對結論“已知和是無理數，證明＋是無理數”的下述證
6、明是否為“三段論”，證明有錯誤嗎？
證明：∵無理數與無理數的和是無理數，而與都是無理數，∴＋也是無理數．
1．合情推理是指“合乎情理”的推理，數學研究中，得到一個新結論之前，合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現結論；證明一個數學結論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向．合情推理的過程概括為：―→―→―→.一般來說，由合情推理所獲得的結論，僅僅是一種猜想，其可靠性還需進一步證明．
2．歸納推理與類比推理都屬合情推理：(1)歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或由個別事實概括出一般結論的
7、推理，稱為歸納推理．它是一種由部分到整體，由個別到一般的推理．(2)類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理，它是一種由特殊到特殊的推理．
3．從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，把這種推理稱為演繹推理，也就是由一般到特殊的推理，三段論是演繹推理的一般模式，包括大前提，小前提，結論．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011·福建廈門華僑中學模擬)定義A*B，B*C，C*D，D*A的運算分別對應下圖中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下圖中的(A)、(B)所對應的
8、運算結果可能是( )
A．B*D，A*D B．B*D，A*C
C．B*C，A*D D．C*D，A*D
2．(2011·廈門模擬)設f(x)＝，又記f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1,2，…，則f2 010(x)等于( )
A．－ B．x C. D.
3．由代數式的乘法法則類比推導向量的數量積的運算法則：
①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t
9、≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑥“＝”類比得到“＝”．
以上的式子中，類比得到的結論正確的個數是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．(2009·湖北)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數，比如：
他們研究過圖(1)中的1,3,6,10，…，由于這些數能夠表示成三角形，將其稱為三角形數；類似的，稱圖(2)中的1,4,9,16，…這樣的數為正方形數．
下列數中既是三角形數又是正方形數的是( )
A．289 B．1
10、024 C．1 225 D．1 378
5．已知整數的數對如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…則第60個數對是( )
A．(3,8) B．(4,7)
C．(4,8) D．(5,7)
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．已知正三角形內切圓的半徑是高的，把這個結論推廣到空間正四面體，類似的結論是________________________________________________________________________．
11、
7．(2011·廣東深圳高級中學模擬)定義一種運算“*”：對于自然數n滿足以下運算性質：
8．(2011·陜西)觀察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
…
照此規(guī)律，第n個等式為_____________________________________________________．
三、解答題(共38分)
9．（12分）已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝0(n≥2)．計算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達式．
10．(12分)(
12、2011·杭州調研)已知函數f(x)＝－ (a>0且a≠1)，
(1)證明：函數y＝f(x)的圖象關于點對稱；
(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．
11．(14分)如圖1，若射線OM，ON上分別存在點M1，M2與點N1，N2，則＝·；如圖2，若不在同一平面內的射線OP，OQ和OR上分別存在點P1，P2，點Q1，Q2和點R1，R2，則類似的結論是什么？這個結論正確嗎？說明理由．
學案37 合情推理與演繹推理
自主梳理
歸納推理 全部對象 部
13、分 個別 類比推理 這些特征
特殊到特殊 ①一般原理?、谔厥馇闆r ③特殊情況 一般 特殊
自我檢測
1．D [由所給函數及其導數知，偶函數的導函數為奇函數．因此當f(x)是偶函數時，其導函數應為奇函數，故g(－x)＝－g(x)．]
2．C [①②正確，③錯誤．因為兩個復數如果不全是實數，不能比較大?。甝
3．1∶8
解析 ∵兩個正三角形是相似的三角形，∴它們的面積之比是相似比的平方．同理，兩個正四面體是兩個相似幾何體，體積之比為相似比的立方，所以它們的體積比為1∶8.
4．13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
解析 由前三個式子可以得出如下規(guī)律：每個式子等號的左邊是從1開
14、始的連續(xù)正整數的立方和，且個數依次多1，等號的右邊是一個正整數的平方，后一個正整數依次比前一個大3,4，…，因此，第五個等式為13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.
5．一切奇數都不能被2整除 大前提
2100＋1是奇數 小前提
所以2100＋1不能被2整除 結論
課堂活動區(qū)
例1 解題導引 歸納分為完全歸納和不完全歸納，由歸納推理所得的結論雖然未必是可靠的，但它由特殊到一般、由具體到抽象的認識功能，對科學的發(fā)現是十分有用的，觀察、實驗，對有限的資料作歸納整理，提出帶規(guī)律性的說法是科學研究的最基本的方法之一．
解 在{an}中，a1＝1，a2＝＝，
a3＝＝＝，a4＝＝，…
15、，
所以猜想{an}的通項公式為an＝.
這個猜想是正確的，證明如下：
因為a1＝1，an＋1＝，
所以＝＝＋，
即－＝，所以數列是以＝1為首項，
為公差的等差數列，
所以＝1＋(n－1)×＝n＋，
所以通項公式an＝.
變式遷移1 解 猜想sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝.
證明如下：
左邊＝sin2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sin α]
＝sin2α＋
＝sin2α＋cos2α－sin2α＝＝右邊．
例2 解題導引 類比推理是根據兩個對象有一部分屬性類似，推出這兩個對象的其他屬性亦類似的一種推理方法，例如
16、我們拿分式同分數來類比，平面幾何與立體幾何中的某些對象類比等等．我們必須清楚類比并不是論證，它可以幫助我們發(fā)現真理．類比推理應從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯想進行對比、歸納、提出猜想．
解
類比：從四面體內部任意一點向各面引垂線，其長度分別為pa，pb，pc，pd，且相應各面上的高分別為ha，hb，hc，hd.
則有＋＋＋＝1.
證明如下：
＝＝，
同理有＝，＝，＝，
VP—BCD＋VP—CDA＋VP—BDA＋VP—ABC＝VA—BCD，
∴＋＋＋
＝＝1.
變式遷移2 在三棱錐A—BCD中，若AB、AC、AD兩兩互相垂直，且AB＝a，AC＝b，AD＝c，則此三棱
17、錐的外接球半徑R＝
例3 解題導引 在演繹推理中，只有前提(大前提、小前提)和推理形式都是正確的，結論才是正確的，否則所得的結論可能就是錯誤的．推理時，要清楚大前提、小前提及二者之間的邏輯關系．
證明 (1)因為有一個內角是直角的三角形是直角三角形，——大前提
在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°，——小前提
所以△ADB是直角三角形．——結論
(2)因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，——大前提
而M是Rt△ADB斜邊AB的中點，DM是斜邊上的中線，——小前提
所以DM＝AB.——結論
同理EM＝AB，所以DM＝EM.
變式遷移3 解 證明是“三段論”模式，證
18、明有錯誤．證明中大前提使用的論據是“無理數與無理數的和是無理數”，這個論據是假的，因為兩個無理數的和不一定是無理數，因此原理的真實性仍無法斷定．
課后練習區(qū)
1．B [由(1)(2)(3)(4)圖得A表示|，B表示□，C表示—，D表示○，故圖(A)(B)表示B*D和A*C.]
2．A [計算f2(x)＝f＝＝－，
f3(x)＝f＝＝，
f4(x)＝＝x，f5(x)＝f1(x)＝，
歸納得f4k＋i(x)＝fi(x)，k∈N*，i＝1,2,3,4.
∴f2 010(x)＝f2(x)＝－.]
3．B [只有①、②對，其余錯誤，故選B.]
4．C [設圖(1)中數列1,3,6,10
19、，…的通項公式為an，則
a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n.
故an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，
∴an＝.
而圖(2)中數列的通項公式為bn＝n2，因此所給的選項中只有1 225滿足a49＝＝b35＝352＝1 225.]
5．D [觀察可知橫坐標和縱坐標之和為2的數對有1個，和為3的數對有2個，和為4的數對有3個，和為5的數對有4個，依次類推和為n＋1的數對有n個，多個數對的排序是按照橫坐標依次增大的順序來排的，由＝60?n(n＋1)＝120，n∈Z，n＝10時，＝55個數對，還差5個數對，且這5個數對的橫、縱坐標之和為12，它們依次是(1,
20、11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，
∴第60個數對是(5,7)．]
6．空間正四面體的內切球的半徑是高的
解析 利用體積分割可證明．
7．n
8．n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
解析 ∵1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，∴第n個等式為n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
9．解 當n＝1時，S1＝a1＝－.(2分)
當n＝2時，＝－2－S1＝－，
∴S2＝－.(4分)
當n＝3時，＝－2－S2＝－，
∴S3＝－.(6分)
當n＝4時，＝－2－S3＝－，
∴S4＝－.(8分)
猜
21、想：Sn＝－ (n∈N*)．(12分)
10．(1)證明 函數f(x)的定義域為R，任取一點(x，y)，它關于點對稱的點的坐標為(1－x，－1－y)．(2分)
由已知得y＝－，
則－1－y＝－1＋＝－，(4分)
f(1－x)＝－＝－
＝－＝－，∴－1－y＝f(1－x)．
即函數y＝f(x)的圖象關于點對稱．(6分)
(2)解 由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)，
即f(x)＋f(1－x)＝－1.(9分)
∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，
f(0)＋f(1)＝－1，
則f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.
(
22、12分)
11．解 類似的結論為：＝··.
(4分)
這個結論是正確的，證明如下：
如圖，過R2作R2M2⊥平面P2OQ2于M2，連接OM2.
過R1在平面OR2M2作R1M1∥R2M2交OM2于M1，
則R1M1⊥平面P2OQ2.
由VO—P1Q1R1＝S△P1OQ1·R1M1＝·OP1·OQ1·sin∠P1OQ1·R1M1
＝OP1·OQ1·R1M1·sin∠P1OQ1，(8分)
同理，VO—P2Q2R2＝OP2·OQ2·R2M2·sin∠P2OQ2.
所以＝.(10分)
由平面幾何知識可得＝.(12分)
所以＝.
所以結論正確．(14分)
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高考理科導學案【第七章】不等式、推理與證明 學案37
