新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第8章 平面解析幾何 第8節(jié) 曲線與方程學(xué)案 理 北師大版

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1、 第八節(jié)曲線與方程考綱傳真(教師用書獨(dú)具)1.了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.了解解析幾何的基本思想和利用坐標(biāo)法研究幾何問題的基本方法.3.能夠根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第146頁(yè))基礎(chǔ)知識(shí)填充1曲線與方程一般地,在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C(看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系:(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)那么,這條曲線叫作方程的曲線;這個(gè)方程叫作曲線的方程2求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)

2、M的坐標(biāo)(2)寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合PM|p(M)(3)用坐標(biāo)表示條件p(M),列出方程f(x,y)0.(4)化方程f(x,y)0為最簡(jiǎn)形式(5)說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上3圓錐曲線的共同特征圓錐曲線上的點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離與它到一條定直線的距離之比為定值e.(1)當(dāng)0e1時(shí),圓錐曲線是橢圓(2)當(dāng)e1時(shí),圓錐曲線是雙曲線(3)當(dāng)e1時(shí),圓錐曲線是拋物線4兩曲線的交點(diǎn)設(shè)曲線C1的方程為f1(x,y)0,曲線C2的方程為g(x,y)0,則(1)曲線C1,C2的任意一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)都滿足方程組(2)反之,上述方程組的任何一組實(shí)數(shù)解都對(duì)應(yīng)著兩條曲線某一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)基本能力自測(cè)1(思考辨

3、析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”)(1)f(x0,y0)0是點(diǎn)P(x0,y0)在曲線f(x,y)0上的充要條件()(2)方程x2xyx的曲線是一個(gè)點(diǎn)和一條直線()(3)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程和動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一樣的()(4)方程y與xy2表示同一曲線()解析對(duì)于(2),由方程得x(xy1)0,即x0或xy10,所以方程表示兩條直線,錯(cuò)誤;對(duì)于(3),前者表示方程,后者表示曲線,錯(cuò)誤;對(duì)于(4),曲線y是曲線xy2的一部分,錯(cuò)誤答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)已知點(diǎn)F,直線l:x,點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn)若過點(diǎn)B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的軌跡是()A雙曲線B

4、橢圓C圓D拋物線D由已知|MF|MB|,根據(jù)拋物線的定義知,點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn),直線l為準(zhǔn)線的拋物線3已知點(diǎn)F(0,1),直線l:y1,P為平面上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作直線l的垂線,垂足為Q,且,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為()Ax24yBy23xCx22yDy24xA設(shè)點(diǎn)P(x,y),則Q(x,1),(0,y1)(x,2)(x,y1)(x,2),即2(y1)x22(y1),整理得x24y,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x24y.故選A4已知ABC的頂點(diǎn)B(0,0),C(5,0),AB邊上的中線長(zhǎng)|CD|3,則頂點(diǎn)A的軌跡方程為_(x10)2y236(y0)設(shè)A(x,y),則D|CD|3,化簡(jiǎn)得(x10)

5、2y236,由于A,B,C三點(diǎn)構(gòu)成三角形,A不能落在x軸上,即y0.5過橢圓1(ab0)上任意一點(diǎn)M作x軸的垂線,垂足為N,則線段MN中點(diǎn)的軌跡方程是_1設(shè)MN的中點(diǎn)為P(x,y),則點(diǎn)M(x,2y),又點(diǎn)M在橢圓上,1,即所求的軌跡方程為1.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第147頁(yè))直接法求軌跡方程設(shè)F(1,0),M點(diǎn)在x軸上,P點(diǎn)在y軸上,且2,當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)N的軌跡方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140299】解設(shè)M(x0,0),P(0,y0),N(x,y),(x0,y0),(1,y0),(x0,y0)(1,y0)0,x0y0.由2得(xx0,y)2(x0,y0),即x0,即y24x.故所求的點(diǎn)N的軌

6、跡方程是y24x.規(guī)律方法用直接法求曲線方程的關(guān)鍵是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程,但要注意翻譯的等價(jià)性.通常將步驟簡(jiǎn)記為建系、設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡(jiǎn)、證明這五個(gè)步驟,但最后的證明可以省略.跟蹤訓(xùn)練(1)設(shè)點(diǎn)A為圓(x1)2y21上的動(dòng)點(diǎn),PA是圓的切線,且|PA|1,則P點(diǎn)的軌跡方程為()Ay22xB(x1)2y24Cy22xD(x1)2y22(2)已知M(2,0),N(2,0),則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程為()Ax2y22Bx2y24Cx2y22(x2)Dx2y24(x2)(1)D(2)D(1)如圖,設(shè)P(x,y),圓心為M(1,0)連接MA,PM,則MAPA,且

7、|MA|1,又|PA|1,|PM|,即|PM|22,(x1)2y22.(2)設(shè)P(x,y),MPN為以MN為斜邊的直角三角形,|MP|2|NP|2|MN|2,(x2)2y2(x2)2y216,整理得x2y24.M,N,P不共線,x2,軌跡方程為x2y24(x2),故選D定義法求軌跡方程如圖881所示,已知點(diǎn)C為圓(x)2y24的圓心,點(diǎn)A(,0)P是圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q在圓的半徑CP所在的直線上,且0,2 .當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)Q的軌跡方程圖881解由(x)2y24知圓心C(,0),半徑r2.0,2,MQAP,點(diǎn)M為AP的中點(diǎn),因此QM垂直平分線段AP.如圖,連接AQ,則|AQ|QP|,|QC

8、|QA|QC|QP|CP|2.又|AC|22,根據(jù)雙曲線的定義,點(diǎn)Q的軌跡是以C(,0),A(,0)為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線由c,a1,得b21,因此點(diǎn)Q的軌跡方程為x2y21.若將本例中的條件“圓C的方程(x)2y24”改為“圓C的方程(x)2y216”,其他條件不變,求點(diǎn)Q的軌跡方程解由(x)2y216知圓心C(,0),半徑r4.0,2 ,QM垂直平分AP,連接AQ,則|AQ|QP|,|QC|QA|QC|QP|r4.根據(jù)橢圓定義,點(diǎn)Q的軌跡是以C(,0),A(,0)為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓由c,a2,得b.因此點(diǎn)Q的軌跡方程為1.規(guī)律方法定義法求軌跡方程的方法、關(guān)鍵及注意點(diǎn)(1)求軌跡方

9、程時(shí),若動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定線間的等量關(guān)系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義,則可直接根據(jù)定義先確定軌跡類型,再寫出其方程.(2)關(guān)鍵:理解解析幾何中有關(guān)曲線的定義是解題關(guān)鍵.(3)利用定義法求軌跡方程時(shí),還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線,如果不是完整的曲線,則應(yīng)對(duì)其中的變量x或y進(jìn)行限制.跟蹤訓(xùn)練(1)若動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x5的距離小1,則點(diǎn)M的軌跡方程是()Ax4Bx4Cy28xDy216x(2)已知A(5,0),B(5,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足|,|,8成等差數(shù)列,則點(diǎn)P的軌跡方程為_(1)D(2)1(x4)(1)依題意可知點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)M到直線

10、x4的距離,因此點(diǎn)M的軌跡是拋物線,且頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸正半軸上,p8,所以點(diǎn)M的軌跡的方程為y216x,故選D(2)由已知得|8,所以點(diǎn)P的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,且a4,b3,c5,所以點(diǎn)P的軌跡方程為1(x4)相關(guān)點(diǎn)(代入)法求軌跡方程(20xx全國(guó)卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C:y21上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿足.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x3上,且1.證明:過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.解(1)設(shè)P(x,y),M(x0,y0),則N(x0,0),(xx0,y),(0,y0)由得x0x,y0y.因?yàn)镸(x0,y0)在C上,所以

11、1.因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2y22.(2)證明:由題意知F(1,0)設(shè)Q(3,t),P(m,n),則(3,t),(1m,n),33mtn,(m,n),(3m,tn)由1得3mm2tnn21,又由(1)知m2n22,故33mtn0.所以0,即.又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ,所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.規(guī)律方法“相關(guān)點(diǎn)法”求軌跡方程的基本步驟(1)設(shè)點(diǎn):設(shè)被動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),主動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1).(2)求關(guān)系式:求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式(3)代換:將上述關(guān)系式代入已知曲線方程,便可得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.跟蹤訓(xùn)練(20xx武漢模擬)P是橢圓1上的任意一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是它的兩個(gè)焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),有一動(dòng)點(diǎn)Q滿足,則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140300】1作P關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)M,連接F1M,F(xiàn)2M,則四邊形F1PF2M為平行四邊形,所以2.又,所以.設(shè)Q(x,y),P(x0,y0),則x0,且y0,又點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓1上,則有1,即1.

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