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第三節(jié) 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題
考點一
二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域
[例1] (2013·山東高考)在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，則|OM|的最小值是________．
[自主解答] 如圖所示陰影部分為可行域，數(shù)形結(jié)合可知，原點O到直線x＋y－2＝0的垂線長是|OM|的最小值，故|OM|min＝＝.
[答案]
【互動探究】
在本例條件下，求直線OM的斜率的最小值．
解：由例題圖可知，直線OM的斜率的取值范圍為[0，＋∞)，故直線OM的斜率的最
2、小值為0.
【方法規(guī)律】
確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法
(1)確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法是：“直線定界，特殊點定域”，即先作直線，再取特殊點并代入不等式組．若滿足不等式組，則不等式(組)表示的平面區(qū)域為直線與特殊點同側(cè)的那部分區(qū)域；否則就對應(yīng)與特殊點異側(cè)的平面區(qū)域．
(2)當不等式中帶等號時，邊界為實線，不帶等號時，邊界應(yīng)畫為虛線，特殊點常取原點．
若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線y＝kx＋分為面積相等的兩部分，求k的值．
解：由圖可知，線性規(guī)劃區(qū)域為△ABC邊界及內(nèi)部．
y＝kx＋恰過A，[來源:]
y＝kx＋將區(qū)域平均
3、分成面積相等的兩部分，
∴直線y＝kx＋一定過線段BC的中點D，易求C(0,4)，B(1,1)，
∴線段BC的中點D的坐標為.
因此＝k×＋，k＝.
高頻考點
考點二 線性目標函數(shù)的最值問題
1．線性目標函數(shù)的最值問題是每年高考的熱點，屬必考內(nèi)容，題型多為選擇題和填空題，難度適中，屬中檔題．
2．高考對線性目標函數(shù)最值問題的考查有以下兩個命題角度：
(1)求線性目標函數(shù)的最值；
(2)已知線性目標函數(shù)的最值求參數(shù)．
[例2] (1)(2013·天津高考)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝y(tǒng)－2x的最小值為( )
A．－7 B
4、．－4 C．1 D．2
(2)(2013·浙江高考)設(shè)z＝kx＋y，其中實數(shù)x，y滿足若z的最大值為12，則實數(shù)k＝________.
[自主解答] (1)由x，y滿足的約束條件可畫出所表示的平面區(qū)域為如圖所示的三角形ABC，作出直線y＝2x，經(jīng)過平移得目標函數(shù)z＝y(tǒng)－2x在點B(5,3)處取得最小值，即zmin＝3－10＝－7.
(2)畫出可行域如圖所示．
其中A(2,3)，B(2,0)，C(4,4)．
當k＝0時，顯然不符合題意；
當k>0時，最大值在點C處取得，此時12＝4k＋4，即k＝2；[來源:]
當k<0時，最大值在點A處或C處
5、取得，此時12＝2k＋3或12＝4k＋4，即k＝>0(舍)或k＝2>0(舍)．故k＝2.
[答案] (1)A (2)2
線性目標函數(shù)最值問題的常見類型及解題策略[來源:學§科§網(wǎng)]
(1)求線性目標函數(shù)的最值．線性目標函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得，所以對于一般的線性規(guī)劃問題，我們可以直接解出可行域的頂點，然后將坐標代入目標函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標函數(shù)的最值．
(2)由目標函數(shù)的最值求參數(shù)．求解線性規(guī)劃中含參問題的基本方法有兩種：一是把參數(shù)當成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標函數(shù)確定最值，通過構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或取值范圍；二是先
6、分離含有參數(shù)的式子，通過觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù)．[來源:]
1．(2013·新課標全國卷Ⅱ)已知a>0，x，y滿足約束條件若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝( )
A. B. C．1 D．2
解析：選B 由約束條件畫出可行域(如圖所示的△ABC)．
由得A(1，－2a)，
當直線2x＋y－z＝0過點A時，z＝2x＋y取得最小值，所以1＝2×1－2a，解得a＝.
2．已知變量x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值是________．
解析：如圖所示，畫出約束條件
7、表示的平面區(qū)域(四邊形ABCD)，作出目標函數(shù)z＝x＋y的基本直線l0：x＋y＝0，通過平移可知z＝x＋y在點C處取最大值，而點C的坐標為(1,4)，故zmax＝5.
答案：5
考點三
線性規(guī)劃的實際應(yīng)用
[例3] (2013·湖北高考)某旅行社租用A、B兩種型號的客車安排900名客人旅行，A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛．則租金最少為( )
A．31 200元 B．36 000元
C．
8、36 800元 D．38 400元
[自主解答] 設(shè)租A型車x輛，B型車y輛，租金為z，
則
畫出可行域(圖中陰影區(qū)域中的整數(shù)點)，
則目標函數(shù)z＝1 600x＋2 400y在點N(5,12)處取得最小值36 800元．
[答案] C
【方法規(guī)律】
求解線性規(guī)劃應(yīng)用題的注意點
(1)注意結(jié)合實際問題的實際意義，判斷所設(shè)未知數(shù)x，y的取值范圍，特別注意分析x，y是否是整數(shù)、是否是非負數(shù)等．
(2)對于有實際背景的線性規(guī)劃問題，可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個凸多邊形區(qū)域，此時變動直線的最佳位置一般通過這個凸多邊形的頂點．
某公司生產(chǎn)甲、乙
9、兩種桶裝產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元．公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗A，B原料都不超過12千克．通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最
大利潤是( )
A．1 800元 B．2 400元
C．2 800元 D．3 100元
解析：選C 根據(jù)題意，整理表格如下：
A原料(千克)
B原料(千克)
利潤(元)
甲產(chǎn)品(桶)
1
2
300
10、乙產(chǎn)品(桶)
2
1
400
限制
12
12
設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶，乙產(chǎn)品y桶，相應(yīng)的利潤為z元，[來源:]
于是有
z＝300x＋400y.
作出可行域如圖中陰影部分內(nèi)的整點．
將z＝300x＋400y變形為y＝－x＋，得到斜率為－，在y軸上的截距為，隨z變化的一族平行直線．由圖可知，當直線y＝－x＋經(jīng)過點A時，最大，即z最大．解方程組得A點坐標為(4,4)，所以zmax＝300×4＋400×4＝2 800元．
故每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4桶，乙產(chǎn)品4桶時，公司共可獲得的最大利潤為2 800元．
————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————
11、—————————
1種方法——確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的方法
(1)直線定界，即若不等式不含等號，則應(yīng)把直線畫成虛線；若不等式含有等號，把直線畫成實線．
(2)特殊點定域，即在直線Ax＋By＋C＝0的同一側(cè)取一個特殊點(x0，y0)作為測試點代入不等式檢驗，若滿足不等式，則表示的就是包括該點的這一側(cè)，否則就表示直線的另一側(cè)．特別地，當C≠0時，常把原點作為測試點；當C＝0時，常選點(1,0)或者(0,1)作為測試點．
1個步驟——利用線性規(guī)劃求最值的步驟
(1)在平面直角坐標系內(nèi)作出可行域；
(2)考慮目標函數(shù)的幾何意義，將目標函數(shù)進行變形；
(3)在可行域內(nèi)平行移動目標函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解；
(4)將最優(yōu)解代入目標函數(shù)即可求出最大值或最小值．
2個注意點——求線性目標函數(shù)最值應(yīng)注意的問題
求二元一次函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y＝－x＋，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值，應(yīng)注意以下兩點：
(1)若b>0，則截距取最大值時，z也取最大值；截距取最小值時，z也取最小值．
(2)若b<0，則截距取最大值時，z取最小值；截距取最小值時，z取最大值．
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高考數(shù)學復習：第六章 ：第三節(jié)二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題突破熱點題型
