新版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題4.1 立體幾何 全國高考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)大串講
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2、 1 【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 【考點(diǎn)聚焦】 對知識(shí)的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個(gè)層次(在下表中分別用A、B、C表示). 內(nèi) 容 要 求 A B C 空間幾何體 柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體 √ 柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積 √ 點(diǎn)、線、面 之間的位置關(guān)系 平面及其基本性質(zhì) √ 直線與平面
3、平行、垂直的判定及性質(zhì) √ 兩平面平行、垂直的判定及性質(zhì) √ 一.空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖及表面積與體積 1.【原題】(必修2第15頁練習(xí)第4題)如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,想象它的幾何結(jié)構(gòu)特征, 并說出它的名稱. 俯視圖 【原題解讀】(1)知識(shí)上;需要明確三視圖的原則即;主俯長對正,主側(cè)高對齊,俯側(cè)寬相等。 (2)思路方法上;需要經(jīng)歷由三視圖對原幾何體的直觀想象,操作確認(rèn)(由三視圖畫出直觀圖),思辨論證(由所畫的直觀圖,再看是否能獲得對應(yīng)的三視圖)。 (3)考察空間想象能力及推理論證能力。 變式.【20xx湖北高考】 在如圖所示的空間直
4、角坐標(biāo)系中,一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),給出編號(hào)①、②、③、④的四個(gè)圖,則該四面體的正視圖和俯視圖分別為( ) A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和② 【答案】D 【解析】設(shè), 在坐標(biāo)系中標(biāo)出已知的四個(gè)點(diǎn), 根據(jù)三視圖的畫圖規(guī)則判斷三棱錐的正視圖為④與俯視圖為②,故選D. 2. 【原題】(必修2第28頁習(xí)題1.3第3題) 如圖將一個(gè)長方體沿相鄰三 個(gè)面的對角線截出一個(gè)棱錐,求棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比。 【原題解
5、讀】本題以最為熟悉的幾何體長方體為背景,進(jìn)行截取并求體積??刹捎? 分解的思想,即求出長方體和三棱錐的體積,而剩下體積可減出。從而 求出體積比。體現(xiàn)了基本運(yùn)算能力、空間想象能力和分解與組合的思想。 變式.【20xx高考新課標(biāo)2】一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為( ) A. B. C. D. 【答案】D 3.【原題】(必修2第29習(xí)題1.3 B組1)如圖是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖,是根據(jù)獎(jiǎng)杯的三視圖計(jì)算它的表面積和體積(尺寸如圖,單位:cm,π取3.14
6、,結(jié)果分別精確到1cm2,1cm3,可用計(jì)算器)。 【解析】由三視圖畫出獎(jiǎng)杯的草圖如圖可知, 可知球的直徑為4cm,則球的半徑R為2cm, 所以球的表面積和體積分別為: S球=4π =4π?22=16π(),V球=43πR3=43π?23=323π(). 而四棱柱(長方體)的長為8cm,寬為4cm,高為20cm, 所以四棱柱(長方體)的表面積和體積分別為: S四棱柱=(8×4+4×20+8×20)×2=272×2=544,V四棱柱=8×4×20=640。 該四棱臺(tái)的高為2cm,上底面為一個(gè)邊長為12cm的正方形,下底面為邊長為20cm的正方形.四棱臺(tái)的表面積等于四棱臺(tái)的
7、四個(gè)側(cè)面積與上、下底面面積的總和.所以關(guān)鍵的是求出四棱臺(tái)四個(gè)側(cè)面的面積,我們先求出四棱臺(tái)ABCD面上的斜高,過點(diǎn)A作AE⊥CD,AO垂直底面于點(diǎn)O,連接OE,已知AO=2cm,則AE為四棱臺(tái)ABCD面上的斜高:∴AE=20-1222+22=25cm,所以四棱臺(tái)的表面積和體積分別為: 【原題解讀】:本題在考察三視圖的同時(shí),進(jìn)而要求計(jì)算常見幾何體的體積和表面積,而題中幾何體由常見幾何體組合而成,可采用分解的思想,化為基本幾何體體積和表面積的和來計(jì)算。注意算表面積時(shí),幾何體接觸部分需減去。 變式.【20xx高考課標(biāo)1】圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體,該幾何體三視圖
8、中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16 + 20,則r=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】B 4. 【原題】(必修2第37復(fù)習(xí)參考題B組2)一個(gè)長、寬、高分別是80 cm、60 cm、55cm的水槽中有水200000.線放入一個(gè)直徑為50 cm 的木球,如果木球的三分之二在水中,三分之一在水上,那么水是否會(huì)從水槽中流出? 【解析】水槽的容積V=80×60×55=264000(cm3), 木球的體積,, ∴水不會(huì)從水槽中流出. 【原題解讀】本題以物理中漂浮
9、現(xiàn)象為背景,需要我們分析出利用體積,即水槽中水的體積加球體水中部 分的體積之和與長方體體積比較,來解答。體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模能力和應(yīng)用意識(shí)與運(yùn)算能力。 同時(shí)可延伸拓展 為球體與多面體內(nèi)接域外切問題. 變式.【20xx高考課標(biāo)2】已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),∠AOB=900,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn),若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為( ) A.36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C 二.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 1.【原題】(必修2第47頁例題3) 如圖,已知正方體
10、ABCD—A′B′C′D′. (1)哪些棱所在直線與直線BA′是異面直線? (2)直線BA′和CC′的夾角是多少? (3)哪些棱所在的直線與直線AA′垂直? 【解析】(1) 由 異面直線的定義可知, 棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直線分別與直線BA′是異面直線. (2) 由BB′∥CC′可知,∠B′BA′為異面直線BA′與CC′的夾角,∠B′BA′=45°, 所以直線BA′和CC′的夾角為45°. (3) 直線AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分別與直線AA′垂直. 【原題解讀】 (1)知識(shí)上;需要明確異面直線所成角的定
11、義。 (2)思路方法上;異面直線所成角問題主要分三步;“找”、“證”、“算”,即;先要通過對空間幾何環(huán)境的觀察發(fā)現(xiàn)異面直線所成的角(對應(yīng)的平面角),然后回到定義進(jìn)行證明,最后進(jìn)行角的計(jì)算(一般放到三角形中)。 (3)考察空間想象能力及推理論證和計(jì)算能力,轉(zhuǎn)化思想。 變式. 【20xx高考四川】如圖,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上,E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)。設(shè)異面直線EM與AF所成的角為,則的最大值為 . 【答案】 【解析】 如圖建立空間直角坐標(biāo)系;設(shè) , 則, 2.【原題】(必修2第49頁例題4)
12、下列命題中正確的個(gè)數(shù)是 ( ) ①若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi),則l∥α; ②若直線l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行; ③如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行,那么另一條也與這個(gè)平面平行; ④若直線l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn). A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】 如圖借助長方體模型來看命題是否正確. 命題①不正確,相交時(shí)也符合; 命題②不正確,如右圖中,A′B與平面DCC′D′平行, 但它與CD不平行;命題③不正確,另一條直線有可能 在平面內(nèi),如AB∥CD,AB與平
13、面DCC′D′平行,但直線CD在平面DCC′D′內(nèi); 命題④正確,l與平面α平行,則l與平面α無公共點(diǎn),l與平面α內(nèi)所有直線都 沒有公共點(diǎn). 【原題解讀】 (1)知識(shí)上:線與面平行的判定定理; (2)思路方法上;通過對判定定理中關(guān)鍵條件的辨析,(如“無數(shù)”與“任意”)加深對判定定理的理解。在命題真假判定中注意運(yùn)用幾何模型,假的可舉出反例。 (3)考察邏輯推理能力,空間想象能力和建模思想。 變式.【20xx高考廣東】若空間中四條直線兩兩不同的直線...,滿足,,,則下列結(jié)論一定正確的是( ) A. B. C. .既不平行也不垂直 D..的位
14、置關(guān)系不確定 【答案】D 三.直線、平面平行的判斷及其性質(zhì) 1.【原題】(必修2第59頁例題3)如圖所示的一塊木料中,棱BC平行于面A′C′. (1)要經(jīng)過面A′C′內(nèi)的一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開,應(yīng)怎樣畫線? (2)所畫的線與平面AC是什么位置關(guān)系? 【解析】 (1)如圖,在平面A′C′內(nèi),過點(diǎn)P作直線EF, 使EF∥B′C′,并分別交棱A′B′,C′D′于點(diǎn)E,F(xiàn). 連接BE,CF. 則EF、BE、CF就是應(yīng)畫的線. 【原題解讀】 (1)知識(shí)上:線與面平行的判定定理; (2)思路方法上;通過題目中的條件和幾何環(huán)境,利用線面平行的判定定理(平面外的
15、一條直線只要和平面內(nèi)的任一條直線平行,則就可以得到這條直線和這個(gè)平面平行)。 (3)考察邏輯推理能力,空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想。 變式.【20xx新課標(biāo)2】 如圖,長方體中 AB=16,BC=10,,點(diǎn)E,F分別在 上,過點(diǎn)E,F的平面與此長方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形. (I)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法與理由); (II)求平面把該長方體分成的兩部分體積的比值. 【答案】(I)見解析(II) 或 【解析】(I)利用平面與平面平行的性質(zhì),可在圖中畫出這個(gè)正方形;交線 圍成的正方形EFGH如圖所示; (Ⅱ)作EM⊥AB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=1
16、2, EM=AA1=8.因?yàn)镋FGH為正方形,所以EH=EF=BC=10, 于是,AH=10,HB=6. 因?yàn)殚L方體被平面α分成兩個(gè)高為10的直棱柱,所以其體積的比值為 四.直線、平面垂直的判定和性質(zhì) 1.【原題】(必修2第66頁例題2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中.求直線A1B和平面A1B1CD所成的角. 【原題解讀】(1)知識(shí)上;需要明確直線與平面所成角的定義。 (2)思路方法上;解決直線與平面所成角問題主要分三步;“找”、“證”、“算”,即;先要通過定義找垂線,看射影(轉(zhuǎn)化為斜線與射影所成的平面角),然后回到定義進(jìn)行證明,最后進(jìn)行角的計(jì)算(一般放到三角形中)。
17、 (3)考察空間想象能力及推理論證和計(jì)算能力,轉(zhuǎn)化思想。 變式1.【20xx高考湖南】(本小題滿分12分)如圖4,直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形,分別是的中點(diǎn)。 (I)證明:平面平面; (II)若直線與平面所成的角為, 求三棱錐的體積。 【答案】(I)略;(II) . 變式2. 【20xx高考新課標(biāo)2】如圖,長方體中,,,,點(diǎn),分別在,上,.過點(diǎn),的平面與此長方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形. (Ⅰ)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說出畫法和理由); (Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ)見解析 (Ⅱ). 源: 2.【原題】(必修2第69頁例題3
18、)如圖,AB是⊙O的直徑,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn), 求證:平面PAC⊥平面PBC. 【原題解讀】 (1)知識(shí)上:線與面平行的判定定理; (2)思路方法上;通過題目中的條件和幾何環(huán)境,利用線面平行的判定定理(平面外的一條直線只要和平面內(nèi)的任一條直線平行,則就可以得到這條直線和這個(gè)平面平行)。 (3)考察邏輯推理能力,空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想。 變式1. 【20xx江蘇高考】如圖在三棱錐中,分別為棱的中點(diǎn),已知, 求證(1)直線平面; (2)平面平面. 【答案】(I)略;(II)見解析 變式2.【20xx高考新課標(biāo)1】如圖,,
19、四邊形ABCD為菱形,∠ABC=120°, E,F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn),BE⊥平面ABCD, DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (Ⅰ)證明:平面AEC⊥平面AFC; (Ⅱ)求直線AE與直線CF所成角的余弦值. 【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ) 【解析】 在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,DF=可得EF=, ∴,∴EG⊥FG, ∵AC∩FG=G,∴EG⊥平面AFC, ∵EG面AEC,∴平面AFC⊥平面AEC. (Ⅱ)如圖,以G為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以的方向?yàn)檩S, y軸正方向,為單位長度,建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz, 由(Ⅰ)可得A(0
20、,-,0),E(1,0, ),F(xiàn)(-1,0,), C(0,,0),∴=(1,,),=(-1,-,) 故.,所以直線AE與CF所成的角的余弦值為. 3.【原題】(必修2第79頁復(fù)習(xí)參考題B組1題)如圖,邊長為2的正方形ABCD中, (1)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),將分別沿DE, DF折起, 使A,C兩點(diǎn)重合與,求證:. (2) 當(dāng)時(shí),求三棱錐體積. 【原題解讀】 (1)知識(shí)上:線與面垂直的判定定理、體積運(yùn)算及折疊問題; (2)思路方法上;通過平面圖形的折疊,構(gòu)造幾何體,再提出問題。需注意圖形折疊中幾何性質(zhì)的變與不變(隱含條件的挖掘),然后利用線面垂直的判定
21、定理(平面外的一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直,則該直線垂直與此平面。即由線與線垂直推出線與面垂直)。體積計(jì)算關(guān)鍵是底面和高的認(rèn)定。 (3)考察邏輯推理能力,空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想及運(yùn)算能力。 變式1.【20xx高考陜西】如圖1,在直角梯形中,,是的中點(diǎn),是與的交點(diǎn),將沿折起到圖2中的位置,得到四棱錐. (I)證明:平面; (II)當(dāng)平面平面時(shí),四棱錐的體積為,求的值. 【答案】(I) 證明略,詳見解析;(II) . 【解析】(I)在圖1中,因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn),所以,即在圖2中,, 從而平面 又,所以平面. 變式2.【20xx福建高考】在平行四邊形中,,.將沿折起,使得平面
22、平面,如圖. (1)求證: ; (2)若為中點(diǎn),求直線與平面所成角的正弦值. 【答案】(1)見解析; (2) 【解析】:(1)因?yàn)槠矫?平面平面平面 所以平面又平面所以. 即直線與平面所成角的正弦值為. 【感受高考】 1. 【20xx高考新課標(biāo)1卷】如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】 試題分析: 該幾何體直觀圖如圖所示: 是一個(gè)球被切掉左上角的,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以它的表面積是的球面面積和三個(gè)扇形面
23、積之和 故選A. 2. 【20xx高考新課標(biāo)1卷】平面過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,則m、n所成角的正弦值為( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】 考點(diǎn):平面的截面問題,面面平行的性質(zhì)定理,異面直線所成的角. 3.【20xx高考浙江理數(shù)】已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m,n滿足 則( ) A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
24、 【答案】C 【解析】 試題分析:由題意知,.故選C. 4. 【20xx高考新課標(biāo)3理數(shù)】在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個(gè)體積為的球,若,,,,則的最大值是( ) (A)4π (B) (C)6π (D) 【答案】B 【解析】 5.【20xx高考新課標(biāo)2理數(shù)】 是兩個(gè)平面,是兩條直線,有下列四個(gè)命題: (1)如果,那么. (2)如果,那么. (3)如果,那么. (4)如果,那么與所成的角和與所成的角相等. 其中正確的命題有 . (填寫所有正確命題的編號(hào)) 【答案】②③④ 【解析】
25、試題分析:對于①,,則的位置關(guān)系無法確定,故錯(cuò)誤;對于②,因?yàn)?,所以過直線作平面與平面相交于直線,則,因?yàn)椋盛谡_;對于③,由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)可知正確;對于④,由線面所成角的定義和等角定理可知其正確,故正確的有②③④. 6.【20xx高考新課標(biāo)1卷】(本小題滿分為12分)如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD, ,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是. (I)證明:平面ABEF平面EFDC; (II)求二面角E-BC-A的余弦值. 【答案】(I)見解析(II) 【解析】 試題解析:(I)由已知可得,,所以平面. 又平面,
26、故平面平面. (II)過作,垂足為,由(I)知平面. 以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S正方向,為單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 由(I)知為二面角的平面角,故,則,,可得,,,. 由已知,,所以平面. 又平面平面,故,. 由,可得平面,所以為二面角的平面角, .從而可得. 所以,,,. 設(shè)是平面的法向量,則 ,即, 所以可?。? 設(shè)是平面的法向量,則, 同理可?。畡t. 故二面角的余弦值為. 7.【20xx高考山東理數(shù)】在如圖所示的圓臺(tái)中,AC是下底面圓O的直徑,EF是上底面圓O的直徑,F(xiàn)B是圓臺(tái)的一條母線. (I)已知G,H分別為EC,F(xiàn)B的中點(diǎn),求證:GH∥平面ABC; (II)已知EF=FB=AC=,AB=BC.求二面角的余弦值. 【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ) 【解析】 試題解析: 由題意得,,過點(diǎn)作于點(diǎn), 所以 可得 故. 設(shè)是平面的一個(gè)法向量. 由 可得 可得平面的一個(gè)法向量 因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量 所以. 所以二面角的余弦值為. 從而,可得 所以二面角的余弦值為. 歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org
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