新版【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學理一輪突破熱點題型：第8章 第6節(jié)　雙 曲 線

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1、 1

2、 1 第六節(jié)　雙 曲 線 考點一 雙曲線的定義、標準方程 　 [例1]　(1)(20xx·天津高考)已知拋物線y2＝8x的準線過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點， 且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為______________． (2)(20xx·遼寧高考)已知F為雙曲線C：－＝1的左焦點，P，Q為C上的點．若PQ的長等于虛軸長的2倍

3、，點A(5,0)在線段PQ上，則△PQF的周長為________． [自主解答]　(1)由拋物線y2＝8x可知其準線方程為x＝－2， 所以雙曲線的左焦點為(－2,0)，即c＝2； 又因為離心率為2，所以e＝＝2，故a＝1，由a2＋b2＝c2知b2＝3， 所以該雙曲線的方程為x2－＝1. (2)由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5，所以|PQ|＝4b＝16>2a， 又因為A(5,0)在線段PQ上，所以P，Q在雙曲線的一支上，且PQ所在直線過雙曲線的右焦點，由雙曲線定義知：所以|PF|＋|QF|＝28.即△PQF的周長是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44. [答案]　(1)

4、x2－＝1　(2)44 【互動探究】 本例(2)中“若PQ的長等于虛軸長的2倍”改為“若PQ的長等于實軸長的2倍”，則結(jié)果如何？ 解：依題意知|PQ|＝4a＝12>2a.又∵A(5,0)在線段PQ上， ∴PQ在雙曲線的一支上．同樣|PF|－|PA|＝2a＝6，|QF|－|QA|＝2a＝6. ∴|PF|＋|QF|＝24.∴△PQF的周長是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝24＋12＝36.　　　　　 【方法規(guī)律】 雙曲線定義運用中的兩個注意點 (1)在解決與雙曲線的焦點有關(guān)的距離問題時，通常考慮利用雙曲線的定義； (2)在運用雙曲線的定義解題時，應特別注意定義中的條件“差的絕對值”

5、，弄清楚是指整條雙曲線還是雙曲線的一支． 1．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝(　　) A. B. C. D. 解析：選C　∵由雙曲線的定義有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2， ∴|PF1|＝2|PF2|＝4，則cos∠F1PF2＝＝＝. 2．已知△ABP的頂點A，B分別為雙曲線－＝1的左、右焦點，頂點P在雙曲線上，則的值等于(　　) A. B. C. D. 解析：選A　在△ABP中，由正弦定理知＝＝＝＝. 考點二

6、 直線和雙曲線的綜合 　 [例2]　(20xx·全國高考)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為3，直線y＝2與C的兩個交點間的距離為. (1)求a，b； (2)設(shè)過F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點，且|AF1|＝|BF1|，證明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比數(shù)列． [自主解答]　(1)由題設(shè)知＝3，即＝9，故b2＝8a2. 所以C的方程為8x2－y2＝8a2. 將y＝2代入上式，解得x＝± .由題設(shè)知，2 ＝，解得a2＝1. 所以a＝1，b＝2. (2)證明：由(1)知，F(xiàn)1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)，C的方

7、程為8x2－y2＝8.① 由題意可設(shè)l的方程為y＝k(x－3)，|k|<2，代入①并化簡，得(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝，x1x2＝. 于是|AF1|＝＝＝－(3x1＋1)， |BF1|＝＝＝3x2＋1. 由|AF1|＝|BF1|，得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝－. 故＝－，解得k2＝，從而x1x2＝－. 由于|AF2|＝＝＝1－3x1， |BF2|＝＝＝3x2－1， 故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4， |AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)

8、－9x1x2－1＝16.從而|AF2|·|BF2|＝|AB|2， 所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比數(shù)列． 【方法規(guī)律】 求解雙曲線綜合問題的主要方法 雙曲線的綜合問題主要為直線與雙曲線的位置關(guān)系．解決這類問題的常用方法是設(shè)出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方程聯(lián)立成方程組，消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及整體代入的思想解題．設(shè)直線與雙曲線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，直線的斜率為k，則|AB|＝|x1－x2|. 已知橢圓C1的方程為＋y2＝1，雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別

9、是C1的左、右焦點，O為坐標原點． (1)求雙曲線C2的方程； (2)若直線l：y＝kx＋與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B，且·>2，求k的取值范圍． 解：(1)設(shè)雙曲線C2的方程為－＝1(a>0，b>0)， 則a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，故雙曲線C2的方程為－y2＝1. (2)將y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0. 由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點， 得∴k2<1且k2≠.① 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝. ∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(

10、k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝. 又∵·>2，即x1x2＋y1y2>2，∴>2，即>0， 解得

11、曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則C的漸近線方程為　(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x (2)(20xx·浙江高考)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是(　　) A. B. C. D. [自主解答]　(1)＝＝ ，所以＝， 故所求的雙曲線漸近線方程是y＝±x. (2)設(shè)雙曲線C2的實半軸長為a，焦半距為c，|AF1

12、|＝m，|AF2|＝n， 由題意知c＝，2mn＝(m＋n)2－(m2＋n2)＝4， (m－n)2＝m2＋n2－2mn＝8,2a＝|m－n|＝2，a＝， 則雙曲線C2的離心率e＝＝＝. [答案]　(1)C　(2)D 與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問題的常見類型及解題策略 (1)求雙曲線的離心率(或范圍)．依據(jù)題設(shè)條件，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得． (2)求雙曲線的漸近線方程．依據(jù)題設(shè)條件，求雙曲線中a，b的值或a與b的比值，進而得出雙曲線的漸近線方程． (3)求雙曲線方程．依據(jù)題設(shè)條件，求出a，b的值或依據(jù)雙曲線的定義，求雙曲線的方程． (4

13、)求雙曲線焦點(焦距)、實虛軸的長．依題設(shè)條件及a，b，c之間的關(guān)系求解． 1．(20xx·湖北高考)已知0<θ<，則雙曲線C1：－＝1與C2：－＝1的(　　) A．實軸長相等 B．虛軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等 解析：選D　∵0<θ<，∴sin θ

14、(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：選B　依題意c＝3，又∵e＝＝，∴a＝2， ∴b2＝ c2－a2＝32－22＝5，∴C的方程為－＝1. 3．(20xx·湖南高考)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為________． 解析：不妨設(shè)點P在雙曲線C的右支上且F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，由雙曲線定義知 |PF1|－|PF2|＝2a，① 又|PF1|＋|PF2|＝6a，② 由①②，得|PF1

15、|＝4a，|PF2|＝2a.因為c>a，所以2c>2a， 所以在△PF1F2中，∠PF1F2為最小內(nèi)角，因此∠PF1F2＝30°. 在△PF1F2中，由余弦定理可知，|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 30°， 即4a2＝16a2＋4c2－8ac.所以c2－2ac＋3a2＝0， 兩邊同除以a2得e2－2e＋3＝0.解得e＝. 答案： ———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]———————————————— 1個規(guī)律——等軸雙曲線的離心率及漸近線的關(guān)系 　雙曲線為等軸雙曲線?雙曲線的離心率e＝?雙曲線的兩條漸近線互相垂直(位

16、置關(guān)系)． 2種方法——求雙曲線標準方程的兩種方法 　(1)定義法，根據(jù)題目的條件，若滿足定義，求出相應的a，b的值即可求得方程． (2)待定系數(shù)法 ①定值：根據(jù)條件確定相關(guān)參數(shù) ②待定系數(shù)法求雙曲線方程的常用方法 3個關(guān)注點——雙曲線幾何性質(zhì)的關(guān)注點 　雙曲線的幾何性質(zhì)可從以下三點關(guān)注： (1)“六點”：兩焦點、兩頂點、兩虛軸端點； (2)“四線”：兩對稱軸(實、虛軸)、兩漸近線； (3)“兩形”：中心、頂點、虛軸端點構(gòu)成的三角形；雙曲線上的一點(不包括頂點)與兩焦點構(gòu)成的三角形． 3個防范——雙曲線問題的三個易混點 (1)區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓中a，b，c大小關(guān)系，在雙曲線中c2＝a2＋b2，而在橢圓中a2＝b2＋c2. (2)雙曲線的離心率e∈(1，＋∞)，而橢圓的離心率e∈(0,1)． (3)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程是y＝±x，－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程是y＝±x.\