新編高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第十章 第3節(jié)拋物線及其性質(zhì)~第4節(jié)曲線與方程

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1、 第三節(jié) 拋物線及其性質(zhì) 題型122 拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 1.（20xx四川文5）拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離是（ ）. A. B. C. D. 1.（20xx安徽文3）拋物線的準(zhǔn)線方程是（ ）. A. B. C. D. 2.（20xx遼寧文8）已知點(diǎn)在拋物線：的準(zhǔn)線上，記的焦點(diǎn)為，則直線的斜率為（ ） A． B． C． D． 3.（20xx新課標(biāo)Ⅰ文10）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，是C上一點(diǎn)，，

2、則（ ） A. B. C. D. 4.（20xx陜西文11）拋物線的準(zhǔn)線方程為_(kāi)__________. 5.（20xx湖南文14）平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)的距離和到直線 的距離相等.若機(jī)器人接觸不到過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線，則的取值范圍 是 . 1.（20xx陜西文3）已知拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該拋物線的焦 點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）. A. B. C. D. 1. 解析 由拋物線得準(zhǔn)線，因?yàn)闇?zhǔn)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以， 所

3、以拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選B. 2.（20xx福建文19）已知點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋 物線上，且． （1）求拋物線的方程； （2）已知點(diǎn)，延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，求證： 以點(diǎn)為圓心且與直線 相切的圓，必與直線相切． 2.分析 （1）利用拋物線定義，將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離和到準(zhǔn)線距離相互轉(zhuǎn)化．本題 由可得，可求的值，進(jìn)而確定拋物線方程； （2）欲證明以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓，必與直線相切．可證明點(diǎn)到直線 和直線的距離相等（此時(shí)需確定兩條直線方程）；也可以證明， 可轉(zhuǎn)化為證明兩條直線的斜率互為相反數(shù)． 解析（1）由拋物線的定義得．因?yàn)椋?，解得? 所以拋物線的方程為

4、． （2）解法一：因?yàn)辄c(diǎn)，在拋物線：上， 所以，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)． 由，可得直線的方程為． 由，得. 解得或，從而． 又，所以，， 所以，從而，這表明點(diǎn)到直線，的距離相等， 故以為圓心且與直線相切的圓必與直線相切． 解法二：設(shè)以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓的半徑為． 因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線：上， 所以，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)． 由，可得直線的方程為． 由，得， 解得或，從而． 又，故直線的方程為， 從而． 又直線的方程為， 所以點(diǎn)到直線的距離． 這表明以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓必與直線相切． 1.（20xx四川文3）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）

5、. A. B. C. D. 1. D 解析 由題意，的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選. 2.（20xx江蘇22（1））如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線，拋物線.若直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線的方程. 2. 解析 因?yàn)?，所以與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的焦點(diǎn)為， 所以，故. 3.（20xx浙江文19（1））如圖所示，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)到軸的距離等于. 求的值. 3. 解析因?yàn)閽佄锞€上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，由已知條件得，即. 題型123 與拋物線有關(guān)的距離和最值問(wèn)題

6、 1. （20xx江西文9）已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，射線與拋物線 相交于點(diǎn)，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，則（ ）. A. B. C. D. 2.（20xx江蘇9）拋物線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域?yàn)椋ò? 角形內(nèi)部和邊界）.若點(diǎn)是區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是 . 3．（20xx廣東文20）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線 的距離為，設(shè)為直線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)做拋物線的兩條切線， 其中，為切點(diǎn)． (1) 求拋物線的方程； (2) 當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí)，求直線的方程； (3) 當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，求的最小值． 4.（20xx浙江

7、文22）已知拋物線的頂點(diǎn)為 ，焦點(diǎn). （1）求拋物線的方程； （2）過(guò)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若直線分別交 直線： 于兩點(diǎn)， 求 的最小值. 1.（20xx全國(guó)2卷文12）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且斜率為的直線交于點(diǎn)（在軸上方），為的準(zhǔn)線，點(diǎn)在上且，則點(diǎn)到直線的距離為（ ）. A. B. C. D. 1.解析 由題知，與拋物線聯(lián)立得，解得，所以. 解法一：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以到的距離為.故選C. 解法二：如圖所

8、示，在中，由拋物線定義知，.因?yàn)?，所?又軸，所以，所以為等邊三角形，且，則點(diǎn)到直線的距離為. 題型124 拋物線中三角形、四邊形的面積問(wèn)題 1.（20xx上海文20）有一塊正方形菜地，所在直線是一條小河，收貨的蔬菜可送到點(diǎn)或河邊運(yùn)走.于是，菜地分為兩個(gè)區(qū)域和，其中中的蔬菜運(yùn)到河邊較近，中的蔬菜運(yùn)到點(diǎn)較近，而菜地內(nèi)和的分界線上的點(diǎn)到河邊與到點(diǎn)的距離相等，現(xiàn)建立平面直角坐標(biāo)系，其中原點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖所示. （1）求菜地內(nèi)的分界線的方程； （2）菜農(nóng)從蔬菜運(yùn)量估計(jì)出面積是面積的兩倍，由此得到面積的“經(jīng)驗(yàn)值”為.設(shè)是上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)，請(qǐng)計(jì)算以為一邊，另一邊過(guò)點(diǎn)的矩形的面積

9、，及五邊形的面積，并判斷哪一個(gè)更接近于面積的經(jīng)驗(yàn)值. 1.解析 （1）不妨設(shè)設(shè)分界線上任一點(diǎn)為，依題意，化簡(jiǎn)得. （2）因?yàn)?，所以? 設(shè)以為一邊，另一邊過(guò)點(diǎn)的矩形的面積為，則， 設(shè)五邊形面積為，過(guò)作交于點(diǎn)，如圖所示. 則， 因?yàn)椋? 所以五邊形的面積更接近的面積. 第四節(jié) 曲線與方程 題型125 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 1. （20xx遼寧文20）如圖，拋物線.點(diǎn)在拋物線上，過(guò)作的切線，切點(diǎn)為（為原點(diǎn)時(shí)，重合于）.當(dāng)時(shí)，切線的斜率為. （1）求的值； （2）當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程（ 重合于時(shí)，中點(diǎn)為）. 2. (20xx陜西文20）已知

10、動(dòng)點(diǎn)到直線的距離是它到點(diǎn)的距離的倍. （1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程； （2）過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡交于兩點(diǎn).若是的中點(diǎn)，求直線的斜率. 1.（20xx福建文21）已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小 2. （1）求曲線的方程； （2）曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn).直線分別與直線及軸交于點(diǎn)，以為直徑作圓，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，試探究：當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與原點(diǎn)不重合）時(shí)，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論. 2. （20xx廣東文20）（14分）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為， （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)的軌

11、跡方程. 3.（20xx湖北文22）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多．記點(diǎn)的軌跡為. （Ⅰ）求軌跡的方程； （Ⅱ）設(shè)斜率為的直線過(guò)定點(diǎn). 求直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的相應(yīng)取值范圍. 1.（20xx浙江文7）如圖所示，斜線段與平面所成的角為，為斜足，平面 上的動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)的軌跡是（ ）. A．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線的一支 1. 解析 若，則繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)形成圓錐面，這面被平面截得圖像是橢圓.故選C. 1. （20xx四川

12、文15）在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)不是原點(diǎn)時(shí)，定義的“伴隨點(diǎn)”為，當(dāng)是原點(diǎn)時(shí)，定義“伴隨點(diǎn)”為它自身，現(xiàn)有下列命題： ①若點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)，則點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)；②單元圓上的“伴隨點(diǎn)”還在單位圓上； ③若兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則他們的“伴隨點(diǎn)”關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；④若三點(diǎn)在同一條直線上，則他們的“伴隨點(diǎn)”一定共線. 其中的真命題是 . 1.②③ 解析 對(duì)于①，若令則其伴隨點(diǎn)為，而的伴隨點(diǎn)為，而不是，故①錯(cuò)誤； 對(duì)于②，令單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為，其伴隨點(diǎn)為仍在單位圓上，故②正確； 對(duì)于③，設(shè)曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則對(duì)曲線表示同一曲線，其伴隨曲線分別為與也表示同一曲線，又因?yàn)? 其伴隨曲線分別為與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以③正確； 對(duì)于④，直線上取點(diǎn)得，其伴隨點(diǎn)消參后軌跡是圓，故④錯(cuò)誤. 所以正確的序號(hào)為②③. 1.（20xx全國(guó)2卷文20）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓上，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為N， 點(diǎn)P滿(mǎn)足. （1）求點(diǎn)的軌跡方程； （2）設(shè)點(diǎn)在直線上，且.證明：過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線過(guò)的左焦點(diǎn). 1. 解析 （1）如圖所示，設(shè)，，. 由知，，即. 又點(diǎn)在橢圓上，則有，即. （2）設(shè)，則有 ，即. 橢圓的左焦點(diǎn).又，所以.所以過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線過(guò)的左焦點(diǎn). 歡迎訪問(wèn)“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org