高考數(shù)學(xué)選修B 知識(shí)講解 曲線與方程

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1、 曲線與方程 編稿：張希勇 審稿：李霞 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.了解曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系； 2.進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的基本思想； 3.掌握求曲線方程的基本方法（直接法），了解求曲線方程的其他方法（待定系數(shù)法、定義法、轉(zhuǎn)化法、參數(shù)法等） 【學(xué)習(xí)策略】 借助于實(shí)例去體會(huì)曲線的方程和方程的曲線的意義； 理解求曲線方程的實(shí)質(zhì)，求曲線方程的關(guān)鍵在于把曲線上任一點(diǎn)所滿足的幾何條件（或其坐標(biāo)滿足的條件）轉(zhuǎn)化為任一點(diǎn)坐標(biāo)滿足的等量關(guān)系，要注意方程中量x（或y）的取值范圍. 【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、曲線與方程概念的理解 一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線（看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的

2、軌跡）上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系： （1）曲線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解； （2）以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上. 那么，方程叫做曲線的方程；曲線叫做方程的曲線. 要點(diǎn)詮釋： （1）如果曲線的方程為，那么點(diǎn)在曲線上的充要條件為； （2）曲線可看成是平面上滿足一定條件的點(diǎn)的集合，而正是這一定條件的解析表示.因此我們可以用集合的符號(hào)表示曲線：. （3）曲線也稱為滿足條件的點(diǎn)的軌跡.定義中的條件(1)叫軌跡純粹性，即不滿足方程的解的點(diǎn)不在曲線上；條件(2)叫做軌跡的完備性，即符合條件的所有點(diǎn)都在曲線上.“純粹性”和“完備性”是針對(duì)曲線是否為滿足方程的點(diǎn)的軌跡而言.

3、（4）區(qū)別軌跡和軌跡方程兩個(gè)不同的概念，軌跡是“形”，軌跡方程是“數(shù)”． 要點(diǎn)二、坐標(biāo)法與解析幾何 解析幾何是在坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，用代數(shù)的方法研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科. 解析幾何的兩個(gè)基本問題：1.根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；2.通過方程，研究平面曲線的性質(zhì). 根據(jù)曲線與方程的關(guān)系可知，曲線與方程是同一關(guān)系下的兩種不同的表現(xiàn)形式.曲線的性質(zhì)完全反映在它的方程上，而方程的的性質(zhì)也完全反映在它的曲線上，這正好說明了幾何問題與代數(shù)問題可以互相轉(zhuǎn)化，這就是解析幾何的基本思想方法，也就是數(shù)形結(jié)合，形與數(shù)達(dá)到了完美的統(tǒng)一. x，y的制約關(guān)系（代數(shù)意義） 按某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)（幾何意義）

4、點(diǎn) 坐標(biāo) 曲線C（動(dòng)點(diǎn)的集合） 方程解集 我們把這種借助坐標(biāo)系研究幾何圖形的方法叫做坐標(biāo)法，又稱解析法. 定義： 在直角坐標(biāo)系中，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，把曲線看成滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡，用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）所滿足的方程表示曲線，通過研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線的性質(zhì).這就是坐標(biāo)法. 要點(diǎn)三、用直接法求曲線方程的步驟 坐標(biāo)法求曲線方程的一般步驟： ①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y). ②寫出動(dòng)點(diǎn)P滿足的幾何條件. ③把幾何條件坐標(biāo)化，得方程F(x, y)=0. ④化方程F(x, y)=0為最簡(jiǎn)形式，特殊情況，予以補(bǔ)充說明，刪去增加

5、的或者補(bǔ)上丟失的解。 ⑤證明方程F(x, y)=0是曲線的方程。 判斷點(diǎn)是否在曲線上的方法 把點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程： 點(diǎn)P(x0，y0)在曲線C：f(x，y)=0上 點(diǎn)P(x0，y0)不在曲線C：f(x，y)=0上． 求兩曲線f（x，y）=0與g（x，y）=0的交點(diǎn)坐標(biāo)方法 聯(lián)立f（x，y）=0與g（x，y）=0，方程組的解即為兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，解的個(gè)數(shù)為交點(diǎn)的個(gè)數(shù) 要點(diǎn)詮釋： ①求曲線的方程時(shí)，首先應(yīng)觀察原題條件中有沒有坐標(biāo)系，沒有坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)先建立坐標(biāo)系，否則曲線不能轉(zhuǎn)化為方程. ②建系要適當(dāng)，經(jīng)常利用特殊點(diǎn)以及曲線的對(duì)稱性，以盡可能方便寫相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)為基本原則，這樣可使

6、運(yùn)算過程簡(jiǎn)單，所得的方程也較簡(jiǎn)單. ③根據(jù)曲線上的點(diǎn)適合的條件列出等式，是求方程的重要一環(huán)，在這里常用到一些基本公式.仔細(xì)審題，分析已知條件和曲線的特征，抓住與曲線上任意點(diǎn)M有關(guān)的相等關(guān)系，結(jié)合基本公式列出等式，并進(jìn)行化簡(jiǎn). ④化簡(jiǎn)前后解集沒變可省略證明。但別忘記刪去增加的或者補(bǔ)上丟失的解 要點(diǎn)四、求軌跡方程的常用方法： 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程既是平面解析幾何中的主要問題之一，又是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)問題.求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法主要有以下幾種 (1)直接法； (2)間接法； (3)參數(shù)法． 經(jīng)典例題透析 類型一：曲線與方程的概念 例1. 已知坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲線上，那么（　 ）.

7、 （A）曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程 （B）坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)都不在曲線C上 （C）不在曲線上的點(diǎn)，其坐標(biāo)必不滿足方程 （D）不在曲線上的點(diǎn)，其坐標(biāo)有些滿足方程，有些不滿足方程. 【解析】由曲線與方程的定義，（A）、（B）不一定正確，（C）命題是原命題的逆否命題，它們是等價(jià)命題，故選（C）. 【總結(jié)升華】在判定曲線的方程和方程的曲線時(shí)，兩個(gè)條件缺一不可，是不可分割的整體，解答本題時(shí)，應(yīng)注意不要被問題的表面現(xiàn)象所迷惑，應(yīng)根據(jù)“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念逐一辨別其選項(xiàng)的真假. 舉一反三： 【高清課堂：曲線與方程 例1】 【變式1】下列命題正確的是（ ） A．到軸距離為5的

8、點(diǎn)的軌跡方程是 B．方程表示的曲線是直角坐標(biāo)平面上第一、三 象限的角平分線 C．方程表示的曲線是一條直線和一條雙曲線 D．曲線過原點(diǎn)的充要條件是 【答案】D 【變式2】（2016春 成都校級(jí)期中）方程x2―xy+2y+1=0表示的曲線經(jīng)過4個(gè)A（1，―2），B（2，―3），C（3，10），中的（ ） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【答案】A（1，―2），代入方程x2―xy+2y+1=0， 可得：1+2―4+1=0，滿足方程，所以點(diǎn)A在曲線上。 B（2，―3），代入方程x2―xy+2y+1=0， 可得：4+6―6+1≠0，不滿足方程，

9、所以點(diǎn)B不在曲線上。 C（3，10），代入方程x2―xy+2y+1=0， 可得：9―30+20+1=0，滿足方程，所以點(diǎn)C在曲線上。 代入方程x2―xy+2y+1=0， 可得：0―0―1+1=0，滿足方程，所以點(diǎn)D在曲線上。 故選C。 例2. 已知方程的曲線經(jīng)過點(diǎn)O（0，0）和點(diǎn)A（0，－12），求a、b的值. 【思路點(diǎn)撥】若點(diǎn)在曲線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線的方程. 【解析】∵點(diǎn)O、A都在方程表示的曲線上， ∴點(diǎn)O、A的坐標(biāo)都是方程的解. ∴，解得 即a=0，b=－6為所求. 【總結(jié)升華】方程與曲線的問題也就是解與點(diǎn)的關(guān)系，判斷點(diǎn)是否在曲線上，只需將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，等號(hào)

10、成立即在曲線上，否則就不在． 舉一反三： 【變式1】曲線上有點(diǎn)，則= ． 【答案】 【變式2】已知，點(diǎn)在曲線上，則的值為（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 例3. 求證：圓心為、半徑等于的圓的方程是. 【解析】 （1）設(shè)是圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)M到圓心的距離等于， 即，也就是， 因此是方程的解. （2）設(shè)是方程的解，則有， 兩邊開方取算術(shù)平方根，得， 于是點(diǎn)到點(diǎn)（a，b）的距離等于r，點(diǎn)是這個(gè)圓上的點(diǎn). 由（1）（2）可知是圓心為，半徑為r的圓的方程. 【總結(jié)升華】證明方程的曲線或曲線的方程需證明純粹性和完備性兩方面：①曲

11、線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上. 舉一反三： 【變式1】證明圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為5的圓的方程是x2+y2=25，并判斷點(diǎn)M1(3,-4),是否在這個(gè)圓上. 【解析】 （1）設(shè)M(x0，y0)是圓上任意一點(diǎn)， 因?yàn)辄c(diǎn) M到原點(diǎn)的距離為5， 所以，即， 所以(x0，y0)是方程x2+y2=25的解. （2）設(shè)(x0，y0)是方程x2+y2=25的解，那么 ，也就是說，點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離為5， 所以點(diǎn)M在這個(gè)圓上． 由（1）（2）知，x2+y2=25是圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為5的圓的方程． 把M1(3，-4)代入x2+y2=25，等號(hào)成立，所以

12、點(diǎn)M1在圓上， 把代入x2+y2=25，等號(hào)不成立，所以點(diǎn)M2不在圓上. 【變式2】設(shè)A（2，0）、B（0，2），能否說線段AB的方程是x+y－2=0？為什么？ 【答案】不能.以A（2，0）、B（0，2）為端點(diǎn)的線段AB上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程x+y－2=0的解，但以方程x+y－2=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)并不都在線段AB上，而是直線AB. 類型二：坐標(biāo)法求曲線的方程 【高清課堂：曲線與方程 例2】 例4．已知點(diǎn)A與B為平面內(nèi)兩定點(diǎn)，若平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A與B的距離之比，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡. 【思路點(diǎn)撥】求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，即是求P點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式，因此應(yīng)先建系設(shè)點(diǎn)P（x,y）. 【

13、解析】以線段AB所在直線為x軸，以線段AB的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖 設(shè)則，設(shè)P(x,y) 則由得 化簡(jiǎn)整理得 所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是圓 【總結(jié)升華】 （1）求曲線的方程一般有下面幾個(gè)步驟: ①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y). ②寫出動(dòng)點(diǎn)P滿足的幾何條件. ③把幾何條件坐標(biāo)化，得方程F(x, y)=0. ④化方程F(x, y)=0為最簡(jiǎn)形式. ⑤證明方程F(x, y)=0是曲線的方程. （2）求曲線的方程時(shí)，首先應(yīng)觀察原題條件中有沒有坐標(biāo)系，沒有坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)先建立坐標(biāo)系，否則曲線不能轉(zhuǎn)化為方程.建坐標(biāo)系應(yīng)建得適當(dāng)，這樣可使運(yùn)算過程簡(jiǎn)單，所得的方程也較

14、簡(jiǎn)單. （3）根據(jù)曲線上的點(diǎn)適合的條件列出等式，是求方程的重要一環(huán)，在這里常用到一些基本公式.仔細(xì)審題，分析已知條件和曲線的特征，抓住與曲線上任意點(diǎn)M有關(guān)的相等關(guān)系，結(jié)合基本公式列出等式，并進(jìn)行化簡(jiǎn). （4）證明可以省略不寫. 舉一反三： 【變式1】設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（1，0）、（－1，0），若，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程. 【答案】方程是點(diǎn)M的軌跡方程. 【變式2】若點(diǎn)M到兩條互相垂直的直線的距離相等，求點(diǎn)M的軌跡方程. 【答案】取已知兩條互相垂直的直線為坐標(biāo)軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示. R M Q O x y 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）， 點(diǎn)M的軌跡就是到

15、坐標(biāo)軸的距離相等的點(diǎn)的集合P={M||MR|=|MQ|}， 其中Q、R分別是點(diǎn)M到x軸、y軸的垂線的垂足. 因?yàn)辄c(diǎn)M到x軸、y軸的距離分別是它的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的絕對(duì)值， 所以條件|MR|=|MQ|可寫成|x|=|y|，即x±y=0. ① 下面證明①是所求軌跡的方程. （1）由求方程的過程可知，曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程①的解； （2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是方程①的解，那么， 即，而、正是點(diǎn)到縱軸、橫軸的距離， 因此點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，點(diǎn)是曲線上的點(diǎn). 由（1）（2）可知，方程①是所求軌跡的方程，圖形如上圖所示. 【變式3】（2015 南陽校級(jí)三模改編）A和B是曲線y2

16、=8x上除原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)且滿足，，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為（ ） A．x2+y2－8x=0 B．y=6x2 C．x2+4y2=1 D． 【答案】 【解析】 設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x，y）， 則 x1·x2+y1·y2=0 ①， ②， 當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，M（8，0）， 當(dāng)l斜率存在時(shí)，由題意可知斜率k不會(huì)為0， 設(shè)，代入曲線方程可得 k2x2+(2kb－8)x+b2=0， ∴，，， ∵x1·x2+y1·y2=0， ∴ 即 ③ ∵ ④， 又∵點(diǎn)M滿足 y=kx+b ⑤， 由③④⑤得：(x

17、－4)2+y2=16， 而M（4，0）滿足上式， ∴點(diǎn)M的軌跡方程為：(x―4)2+y2=16。 即 x2+y2―8x=0， 故選：A。 【變式4】設(shè)兩定點(diǎn)F1(-4,0), F2(4,0)，求到F1和F2的距離的平方和是50的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程. 【答案】x2+y2=9. 類型三：由方程畫曲線 例5．（2015春·玉溪校極期末）方程所表示的曲線是（ ） 【答案】 D 【思路點(diǎn)撥】 原方程等價(jià)于：，或x2+y2=4；兩組方程分別表示出圓和不在圓內(nèi)部分的直線，進(jìn)而可推斷出方程表示的曲線為圓和與圓相交且去掉圓內(nèi)的部分。 【解析】 原方程等價(jià)于：，或x2+y2=4；其

18、中當(dāng)x+y―1=0需有意義，等式才成立，即x2+y2≥4，此時(shí)它表示直線x―y―1=0上不在圓x2+y2=4內(nèi)的部分，這是極易出錯(cuò)的一個(gè)環(huán)節(jié)。故選D。 【總結(jié)升華】已知方程研究曲線，首先要對(duì)所給的方程進(jìn)行同解變形，化為我們所熟悉的方程，進(jìn)一步研究曲線的特點(diǎn)和性質(zhì)，進(jìn)而作出圖形. 舉一反三： 【變式1】畫出方程的曲線: 【答案】 ①當(dāng)-10且x11時(shí)， 將方程各對(duì)數(shù)式換為以x為底的對(duì)數(shù)式，整理為 ②當(dāng)x=1時(shí)，在中，方程恒成立. 曲線如下圖: 【變式2】方程（表示的圖形是（ ） A．兩個(gè)點(diǎn) B．四個(gè)點(diǎn) C．兩條直線 D．四條直

19、線 類型四：兩曲線的交點(diǎn) 例6． 已知曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求k的取值范圍. 【思路點(diǎn)撥】 兩曲線f（x，y）=0與g（x，y）=0的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即是方程組的解的個(gè)數(shù)。 【解析】由 得 由得 即時(shí)曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 【總結(jié)升華】曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題通常轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)問題，對(duì)于區(qū)間根的問題要利用方程根的分布理論求解.. 舉一反三： 【變式1】曲線x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是________． 答案：(4,0)和(－1,0) 【變式2】已知曲線，點(diǎn)A(3,0),B(0,3),求C與線段AB有兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)m的取值范圍. 【答案】