不定積分 教案示例

上傳人:da****ge 文檔編號:59507456 上傳時間:2022-03-03 格式:DOC 頁數(shù):3 大?。?5.50KB
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16 積分

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1、不定積分教案示例 目的要求1理解原函數(shù)的定義,知道原函數(shù)的性質(zhì),會求簡單函數(shù)的原函數(shù)2理解不定積分的概念,掌握不定積分的線性性質(zhì),會用定義求簡單函數(shù)的不定積分內(nèi)容分析1不定積分是一元函數(shù)微積分學的基本內(nèi)容,本章教材是在學生已掌握求導數(shù)方法的基礎(chǔ)上,研究求原函數(shù)或不定積分的故學好“導數(shù)與微分”是學好不定積分的前提,教學時,要與“導數(shù)與微分”一章的有關(guān)內(nèi)容進行對照2本節(jié)教學重點是原函數(shù)和不定積分的概念教學,難點是原函數(shù)的求法突破難點的關(guān)鍵是緊緊扣住原函數(shù)的定義,逆用求導公式,實現(xiàn)認知結(jié)構(gòu)的理順由于逆運算概念學生并不陌生,因此教學中要充分利用思維定勢的積極因素并引入教學另外,本節(jié)切勿提高教學難度,因

2、為隨著后續(xù)學習的深入,積分方法多,無需直接用定義求不定積分3本節(jié)教學要始終抓住一條主線:“求導數(shù)與求原函數(shù)或不定積分(在不計所加任意常數(shù)時)互為逆運算”強調(diào)求不定積分時,不要漏寫任意常數(shù)C;另外,要向?qū)W生說明:求一個函數(shù)的不定積分,允許結(jié)果在形式上不同,但結(jié)果的導數(shù)應相等指出這點是有益的,一方面使學生會檢查得到的不定積分是否正確,另一方面消除學生由于所得不定積分形式的不同而產(chǎn)生的疑問4根據(jù)本節(jié)知識的抽象性,教學中應充分安排學生進行觀察、聯(lián)想、類比、討論等課堂活動,使之參與到概念的發(fā)現(xiàn)過程,體會知識的形成過程本著這一原則,本節(jié)課宜采用引導發(fā)現(xiàn)法進行教學教學過程1創(chuàng)設(shè)情境,引入新課(1)引例(見解

3、本章頭)用多媒體顯示引例圖象,提出問題,激起學生求知欲望,揭示并板書課題(2)介紹微積分產(chǎn)生的時代背景,弘揚科學的學習態(tài)度和鉆研精神2嘗試探索,建立新知(1)提出問題:已知某個函數(shù)的導數(shù),如何求這個函數(shù)?(2)嘗試練習:求滿足下列條件的函數(shù)F(x)F(x)3x2 F(x)x3(3)解決問題:上述練習是完成與求導數(shù)相反的逆運算因此,解決問題的方法仍為求導數(shù)(4)形成定義:詳見課本“原函數(shù)”的定義對于原函數(shù)的定義,教師應強調(diào)下列三點:第一,F(xiàn)(x)與f(x)是定義在同一區(qū)間I上,這里的區(qū)間I可以是閉區(qū)間或半閉區(qū)間或開區(qū)間第二,F(xiàn)(x)是f(x)的一個原函數(shù),不是所有的原函數(shù)第三,求原函數(shù)(在不計所

4、加常數(shù)C的情況下)與求導數(shù)互為逆運算(5)簡單應用:例1 求下列函數(shù)的一個原函數(shù)f(x)3x2 f(x)x3小結(jié)解法:根據(jù)定義,求函數(shù)f(x)的原函數(shù),就是要求一個函數(shù)F(x),使它的導數(shù)F(x)等于f(x)(6)討論問題:已知函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)F(x),那么函數(shù)f(x)是否還有其他原函數(shù)?舉例說明(略)(7)歸納性質(zhì):一般地,原函數(shù)有下面的性質(zhì):設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù),對于任意常數(shù)C,F(xiàn)(x)C也是f(x)的原函數(shù),并且f(x)在區(qū)間I上任何一個原函數(shù)都可以表示成F(x)C的形式教師強調(diào):一個函數(shù)雖然有無窮多個原函數(shù),但是我們只要求出其中的一個就行,其他的原函數(shù)

5、都可以由這個原函數(shù)再加上一個常數(shù)得到這樣就給出了求已知函數(shù)的所有原函數(shù)的方法3類比分析,拓廣知識根據(jù)原函數(shù)的性質(zhì),類比引入不定積分的概念(1)講解不定積分的有關(guān)概念:不定積分、積分號、被積函數(shù)、積分變量、被積式、積分常數(shù)等(詳見課本)對于不定積分的定義,教師說明如下:C常數(shù)C不要漏寫,F(xiàn)(x)只能表示一個原函數(shù),這也正是原函數(shù)和“f(x)dx”構(gòu)成,書寫時不要漏掉dx積分變量是u,被積函數(shù)ux是關(guān)于u的冪函數(shù)(2)推導不定積分的性質(zhì)證明:設(shè)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)為F(x),即F(x)f(x)證明(略)上述兩個性質(zhì)表明:求導數(shù)與求不定積分(在不計所加的任意常數(shù)時)互為逆運算因此,求不定積分時,

6、常常利用導數(shù)與不定積分的這種互逆關(guān)系,驗證所求的不定積分是否正確4例題評價,反饋訓練例2 如果在區(qū)間(a,b)內(nèi),恒有f(x)g(x),則一定有BAf(x)g(x)Bf(x)g(x)CDf(x)Cg(x)例3 求下列不定積分小結(jié)解法:(1)求不定積分時,都要在結(jié)果上寫上任意常數(shù)C本章凡是沒有特別說明時,所加的C均表示任意常數(shù)(2)求一個函數(shù)的不定積分,由于方法不同,它的結(jié)果在形式上往往也不同這種形式上不同的結(jié)果,可以用求它們的導數(shù)的方法,看其導數(shù)是否相同,如果導數(shù)相同,就說明結(jié)果是正確的課堂練習:教科書練習第1、3、4題的解析式解:由不定積分的性質(zhì)得f(x)(2x3x29xC)6x22x95歸

7、納總結(jié),鞏固提高(1)一條主線:求導數(shù)與求不定積分(在不計所加任意常數(shù)時)互為逆運算(2)二組概念:原函數(shù)的定義和性質(zhì),不定積分的定義和性質(zhì)(3)三個注意:一是注意一個函數(shù)的原函數(shù)有無窮多個,它們之間僅相差一個常數(shù);二是注意求不定積分時,不要漏寫任意常數(shù)C;三是注意求一個函數(shù)的不定積分,允許結(jié)果在形式上不同,但其結(jié)果的導數(shù)應相等布置作業(yè)1課本習題41第3、4題2設(shè)函數(shù)yf(x)的圖象為a,且在曲線a上任一點M(x,y)處的切線的斜率k(x)x31,并且曲線過點P(1,2),求函數(shù)yf(x)的解析式有兩個相等實根(1)求f(x)的解析式(2)是否存在實數(shù)m、n(mn),使f(x)的定義域和值域分別是m,n和2m,2n 3

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