數學第四章 三角函數 4.2 三角函數的圖象與性質

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1、4.2 三角函數的圖象與性質高考數學高考數學考點一三角函數的圖象及其變換考點一三角函數的圖象及其變換1.y=sin x(xR)的圖象:知識清單2.y=cos x(xR)的圖象:3.y=tan x的圖象: ,Z2xkk考點二三角函數的性質及其應用考點二三角函數的性質及其應用1.三角函數的基本性質2.正弦函數y=sin x圖象的對稱軸為直線 x=k+,kZ ,對稱函數y=sin xy=cos xy=tan x定義域RR 值域-1,1-1,1 R 周期性最小正周期為2最小正周期為2最小正周期為奇偶性奇函數 偶函數 奇函數單調性在(kZ)上增,在(kZ)上減在2k-,2k(kZ)上增,在2k,2k+(

2、kZ)上減在(kZ)上增|,Z2xxkk2,2k22k32,222kk,22kk2中心為(k,0),kZ .3.余弦函數y=cos x圖象的對稱軸為直線 x=k,kZ ,對稱中心為 ,kZ .4.正切函數y=tan x圖象的對稱中心為,kZ,漸近線為直線x=k+,kZ.5.函數y=Asin(x+)和y=Acos(x+)(0)的周期都是T=.6.函數y=Atan(x+)(0)的周期是T=.7.三角函數的單調性,02k,02k22|(1)函數y=Asin(x+)(A0,0)的單調區(qū)間的確定,基本思想是把x+看作一個整體,比如,由2k-x+2k+(kZ)解出x的范圍,所得區(qū)間即為增區(qū)間,由2k+x+

3、2k+(kZ)解出x的范圍,所得區(qū)間即為減區(qū)間.(2)圖象的對稱性y=Asin(x+)(A0,0)的圖象關于直線x=xk成軸對稱;關于點(xk,0)(xk+=k,kZ)成中心對稱.22232kx,Z2kk 三角函數圖象變換的解題策略三角函數圖象變換的解題策略1.在三角函數圖象的變換過程中,一定要弄清哪一個是起始函數,哪一個是目標函數.2.在平移變換中,可以通過關鍵點的平移來判斷平移方向和距離.比如:由函數y=sin的圖象平移得到函數y=sin的圖象,可分別令2x-=0,2x+=0,即相當于由點A平移到點B,即向左平移了個單位.3.在伸縮變換中,對于橫坐標的伸縮,可用三角函數的最小正周期來判斷伸

4、縮的倍數;對于縱坐標的伸縮,可用三角函數的最值來判斷伸縮的倍數.23x23x33,06,063方法技巧方法1例1 (2017浙江名校協作體,4)為了得到函數y=sin的圖象,可以將函數y=sin的圖象( )A.向左平移個單位長度B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度D.向右平移個單位長度26x23x661212D解題導引 把函數y=sin改寫成y=sin由平移變換得結論23x2126x解析因為y=sin=sin,所以僅需將函數y=sin的圖象向右平移個單位長度,即可得到函數y=sin的圖象,故選D.23x2126x23x1226x 三角函數性質的解題策略三角函數性質的解題策略1.周期性:

5、求三角函數的最小正周期時,一般地,先經過恒等變換把三角函數化為“y=Asin(x+)”或“y=Acos(x+)”或“y=Atan(x+)”的形式,再利用周期公式即可.2.奇偶性:首先判斷定義域,若定義域關于原點對稱,對于函數f(x)=Asin(x+),=k(kZ)時f(x)為奇函數;=k+(kZ)時f(x)為偶函數.對于函數f(x)=Acos(x+),=k(kZ)時f(x)為偶函數,=k+(kZ)時f(x)為奇函數.3.單調性:三角函數單調區(qū)間的確定,一般先將三角函數式化為基本三角函數的標準形式,然后通過同解變形或利用數形結合方法求解.對于復22方法2合函數單調性的確定,應明確:由兩個函數復合

6、而成時,同增或同減則為增,一增一減則為減,即同增異減.4.圖象的對稱性:判斷函數f(x)=Asin(x+)(或g(x)=Acos(x+)(A0,0)的圖象對稱性的方法:當x=x0時,若f(x)(或g(x)取到最值,則f(x)(或g(x)的圖象關于直線x=x0軸對稱;若f(x0)=0(或g(x0)=0),則f(x)(或g(x)的圖象關于點(x0,0)中心對稱.例2 (2017浙江名校(紹興一中)交流卷一,18)已知函數f(x)=sin 2x-cos 2x.(1)求函數f(x)的最小正周期和對稱軸;(2)當x時,求f(x)的取值范圍.30,2解題導引 (1)利用輔助角公式把函數化為f(x)=Asi

7、n(x+)的形式由三角函數的周期性和對稱性得結論(2)求出2x-的范圍結合三角函數圖象和性質得結論6解析(1)f(x)=sin 2x-cos 2x=2=2sin,所以函數f(x)的最小正周期為.令2x-=k+(kZ),得x=+(kZ),故函數f(x)圖象的對稱軸方程為x=+(kZ).(2)因為x,所以2x-,所以sin,所以f(x)的取值范圍是-1,2.331sin2cos222xx26x622k32k30,265,6626x1,12評析 本題考查三角恒等變換,函數y=Asin(x+)(A0,0)的圖象和性質,考查推理與運算能力. 求函數求函數y y= =A Asin(sin(xx+ +)()

8、(A A0,0,0)0)的解析式的解題策略的解析式的解題策略由圖象求解析式y=Asin(x+)(A0,0)的一般步驟:(1)由函數的最值確定A的值;(2)由函數的周期來確定的值;(3)由函數圖象最高點(或最低點)的坐標得到關于的方程,再由的范圍得的值,也可以由起始點的橫坐標得的值.例3 (2017浙江湖州、衢州、麗水聯考(4月),18)函數f(x)=2sin(x+)的部分圖象如圖所示,M為最高點,該圖象與y軸交于點F(0,),與x軸交于點B,C,且MBC的面積為.0,022方法3(1)求函數f(x)的解析式;(2)若f=,求cos 2的值.42 55解題導引 (1)由三角形面積求得最小正周期,得的值利用f(0)=和的范圍,求得得f(x)解析式 (2)由條件得sin 的值由二倍角公式得結論 2解析(1)因為SMBC=2BC=,所以T=2=,所以=1,由f(0)=2sin =,得sin =,因為0,所以=,所以f(x)=2sin.(2)由f =2sin = ,得sin =,所以cos 2=1-2sin2=.122222244x42 555535