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1、2010—2011學(xué)年度上學(xué)期單元測試
高二數(shù)學(xué)試題蘇教版選修2-1
全卷滿分150分,用時(shí)120分鐘。
第Ⅰ卷(共60分)
一、(60分,每小題5分)
1.已知命題:,,則命題是 ( )
A., B.,
C. , D.,
2.已知,則“”是“”的 ( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
3.下列曲線中離心率為的是 ( )
A. B. C. D.
4.已知拋物線與直線,“”是“直線l與拋物線C有兩個不同交點(diǎn)”的
2、 ( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件;
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
5.拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值是 ( )
A. B. C. D.
6.設(shè)雙曲線(a>0,b>0)的漸近線與拋物線y=x2 +1相切,則該雙曲線的離心率等于 ( )
A. B.2 C. D.
7.設(shè)過點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱,為坐標(biāo)原點(diǎn),若且,則點(diǎn)的軌跡方程是(
3、)
A. B.
C. D.
8.若點(diǎn)到雙曲線的一條淅近線的距離為,則雙曲線的離心率為
( )
A. B. C. D.
9.設(shè)斜率為2的直線過拋物線的焦點(diǎn)F,且和軸交于點(diǎn)A,若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4,則拋物線方程為 ( )
A. B. C. D.
10.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則的最大值為 ( )
A.2 B.3 C.6 D
4、.8
11.設(shè),常數(shù),定義運(yùn)算“*”:,若,則動點(diǎn)P()的軌跡是 ( )
A.圓 B.橢圓的一部分
C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分
12.若橢圓或雙曲線上存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到兩個焦點(diǎn)的距離之比為2:1,則稱此橢圓或雙曲線存在“F點(diǎn)”,下列曲線中存在“F點(diǎn)”的是 ( )
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷 (共90分)
二、填空題(20分,每小題5分)
13.已知點(diǎn)和向量,若,則點(diǎn)的坐標(biāo)為
14.已知雙曲線的離心率為2,焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同,那么雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ;漸
5、近線方程為
15.雙曲線上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離是實(shí)軸兩端點(diǎn)到右焦[來源點(diǎn)距離的等差中項(xiàng),則P點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為 .
16.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、 , 過焦點(diǎn)F1的直線交橢圓于兩點(diǎn) ,若的內(nèi)切圓的面積為,,兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和,則的值為
三、解答題(70分)
17.(本題滿分10分)已知:,:,若是的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
18.(本題滿分12分)已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸為坐標(biāo)軸,點(diǎn)是它的一個焦點(diǎn),并且離心率為.
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn),設(shè)是雙曲線上的點(diǎn),是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)
6、的對稱點(diǎn),
求的取值范圍.
19.(本題滿分12分)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1,M、N分別是A1B、B1C1的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:MN⊥平面A1BC;
(Ⅱ)求直線BC1和平面A1BC所成角的大?。?
·
B
A1
B1
C1
N
A
C
M
20.(本題滿分12分)
已知動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與點(diǎn)到定直線:的距離之比為.
(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)設(shè)、是直線上
7、的兩個點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱,若,
求的最小值.
21.(本題滿分12分)如圖,拋物線的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上,過點(diǎn)M(0,-2)作直線l與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),且滿足.
(Ⅰ)求直線l和拋物線的方程;
x
y
O
P
A
B
M
(Ⅱ)當(dāng)拋物線上一動點(diǎn)P從點(diǎn)A到B運(yùn)動時(shí),求△ABP面積的最大值.
22.(本題滿分12分)
如圖,設(shè)F1,F(xiàn)2是橢圓C:()的左、右焦點(diǎn),A,B分別是橢圓C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),P是橢圓C上一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),PF1⊥PF
8、2,。
(1)設(shè)橢圓C的離心率為e,證明:;
(2)證明:;
(3)設(shè),求橢圓的長軸長。
參考答案
一、(60分)
1.B(全稱命題的否定是特稱命題,故選 B.、
2.A (由可得, 即得, ∴“”是“”的充分不必要條件, 故應(yīng)選A)、
3.B (由得,選B)、
4.B(當(dāng)時(shí),直線與拋物線只有一個交點(diǎn);所以直線l與拋物線有兩個不同交點(diǎn)必須;當(dāng)時(shí),由得,,則不一定大于零,此時(shí)直線l與拋物線可能沒有交點(diǎn)可能有一個交點(diǎn),也可能有兩個交點(diǎn).所以“”是“直線l與拋物線有兩個不同交點(diǎn)” 必要不充分條件
9、.故選B.)、
5.A (設(shè)拋物線上一點(diǎn)為(m,-m2),該點(diǎn)到直線的距離為,當(dāng)m=時(shí),取得最小值為,選A)、
6.C (設(shè)切點(diǎn),則切線的斜率為.由題意有又
解得: .)、
7.D(設(shè)P(x,y),則Q(-x,y),又設(shè)A(a,0),B(0,b),則a>0,b>0,于是,由可得a=x,b=3y,所以x>0,y>0又=(-a,b)=(-x,3y),由=1可得
故選D)、
8.A (設(shè)過一象限的漸近線傾斜角為
所以,因此,選A)、
9.B(拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為,則直線的方程為,它與軸的交點(diǎn)為A,所以△OAF的面積為,解得.所以拋物線方程為,故選 B.)、
10.C (由題意,F(xiàn)(
10、-1,0),設(shè)點(diǎn)P,則有,解得,
因?yàn)?,,所?
==,此二次函數(shù)對應(yīng)的拋物線的對稱軸為,因?yàn)椋援?dāng)時(shí),取得最大值,選C)、
11.D (因?yàn)?所以
,則,設(shè),
即
消去得故點(diǎn)P的軌跡為拋物線的一部分)、
12.D (設(shè)橢圓或雙曲線上點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)F的距離分別為,,則由方程可得解之得而由可得其不符合條件;由方程可得解之得, 而由可得其不符合條件;由方程可得解之得,而由可得其不符合條件;由方程可得解之得,而由可得其符合條件; 故應(yīng)選 D.)、
二、(20分)
13.(設(shè)B(x,y,z),則,又,解得x=-5,y=6,z=24,所以B點(diǎn)坐標(biāo)為)、
14. (據(jù)橢圓方程可
11、得,又橢圓與雙曲線焦點(diǎn)相同,故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為,又據(jù)已知得: ,故,故其漸近線方程為.)、
15.13(由得設(shè)左焦點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,則,由雙曲線的定義得:)、
x
y
O
A
B
M
16. (如右圖所示.由的內(nèi)切圓的
面積為,可得內(nèi)切圓M的半徑為1,
則,
又
,
∴.)、
三.(70分)
17.解:因?yàn)槭莙的必要不充分條件,則p是q的充分不必要條件,由p:可得,由q:可得,因?yàn)閜是q的充分不必要條件,所以 ,得
18.解:(Ⅰ)設(shè)雙曲線方程為(),半焦距為,依題意得 解得,所求雙曲線C的方程為
(Ⅱ)依題意有:,
B
A1
B
12、1
C1
N
A
C
M
x
y
z
,又,, 由可得,,
故的取值范圍是
19.(Ⅰ)據(jù)題意CA、CB、CC1兩兩垂直,以C為原點(diǎn),
CA、CB、CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.
設(shè)AC=BC=CC1=a,則
,.所以,
.于是,,即MN⊥BA1,
MN⊥CA1.又,故MN⊥平面A1B C.
(Ⅱ)因?yàn)镸N⊥平面A1BC,則為平面A1BC的法向量,又,
則,所以.
故直線BC1和平面A1BC所成的角為30o.
20.解:(1)設(shè)點(diǎn),依題意,有.整理,得.
所以動點(diǎn)的軌跡的方程為.
(2)∵點(diǎn)與
13、點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.
∵、是直線上的兩個點(diǎn),∴可設(shè),(不妨設(shè)).
∵,∴.即.即.
由于,則,.∴.
當(dāng)且僅當(dāng),時(shí),等號成立.故的最小值為.
21.解:(Ⅰ)據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為,
拋物線方程為.由得,.
設(shè)點(diǎn),則
.
所以.
因?yàn)?,所以,解得?
故直線的方程為,拋物線方程為
(Ⅱ)解法一:據(jù)題意,當(dāng)拋物線過點(diǎn)P的切線與平行時(shí),△APB面積最大.
設(shè)點(diǎn),因?yàn)?,由,,所以此時(shí),點(diǎn)P到直線的距離.
由,得.
所以.
故△ABP面積的最大值為.
解法二:由得,.
所以.
設(shè)點(diǎn),點(diǎn)P到直線的距離. )
則,
當(dāng)時(shí),max=,此時(shí)點(diǎn).
故△ABP面積的最大值為.
22.(1)證明:由知,,又因?yàn)?,所?
設(shè)P(x,y),,則由橢圓的定義可得,,有,由面積相等得,即
因?yàn)?,所以,則,可得,得
又 ,所以
(2)證明:由(1)有,所以
則,又因?yàn)锳(a,0),所以
(3)解:由于,則為直角三角形,則
即,由得,解得
則,有,所以,所求橢圓的長軸長為4