小學(xué)數(shù)學(xué)六年級奧數(shù)精講整數(shù)分拆

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1、小學(xué)數(shù)學(xué)六年級奧數(shù)精講整數(shù)分拆【內(nèi)容概述】1.一般的有，把一個(gè)整數(shù)表示成兩個(gè)數(shù)相加，當(dāng)兩個(gè)數(shù)相近或相等的時(shí)候，乘積最大.也就是把整數(shù)分拆成兩個(gè)相等或者相差1的兩個(gè)整數(shù).2.一般的有，把自然數(shù)m分成n個(gè)自然數(shù)的和，使其乘積最大，則先把m進(jìn)行對n的帶余除法，表示成m=np+r,則分成r個(gè)(p+1),(nr)個(gè)P.3.把自然數(shù)S(S1)分拆為若干個(gè)自然數(shù)的和(沒有給定是幾個(gè))，則分開的數(shù)當(dāng)中最多有兩個(gè)2,其他的都是3,這樣它們的乘積最大.4.把自然數(shù)分成若干個(gè)互不相等的整數(shù)，則先把它表示成2+3+4+5+,+n形式，當(dāng)和等于原數(shù)則可以，若不然，比原數(shù)大多少除去等于它們差的那個(gè)自然數(shù).如果僅大于1,則

2、除去2,再把最大的那個(gè)數(shù)加1.5.若自然數(shù)N有k個(gè)大于1的奇約數(shù)， 則N共有k種表示為兩個(gè)或兩個(gè)以上連續(xù)自然數(shù)之和的方法.即當(dāng)有m個(gè)奇約數(shù)表示的乘積，則有奇約數(shù)2m-1個(gè)奇約數(shù).6.共軻分拆.我們通過下面一個(gè)例子來說明共軻分拆：如：10=4+2+2+1+1,我們畫出示意圖：，我們將其翻轉(zhuǎn)(將圖左上到右下的對角線翻轉(zhuǎn)即得到)：，可以對應(yīng)的寫成5+3+1+1,也是等于10,即是10的另一種分拆方式.我們把這兩種有關(guān)聯(lián)的分拆方式稱為互為共軻分拆.嫄勵(lì)級數(shù)：*1.寫出13=1+3+4+5的共軻分拆.【分析與解】畫出示意圖，翻轉(zhuǎn)得到,對應(yīng)寫為4+3+3+2+1=13,即為13=1+3+4+5的共軻分拆.

3、鰻稅級數(shù)二*2.電視臺(tái)要播出一部30集電視連續(xù)劇，若要每天安排播出的集數(shù)互不相等.則該電視連續(xù)劇最多可以播出幾天？【分析與解】由于希望播出的天數(shù)盡可能地多，若要滿足每天播出的集數(shù)互不相等的條件下，每天播出的集數(shù)應(yīng)盡可能地少.選擇從1開始若干連續(xù)整數(shù)的和與30最接近(小于30)的情況為1+2+3+4+5+6+7=28,現(xiàn)在就可以播出7天，還剩下2集，由于已經(jīng)有2集這種情況，就是把2集分配到7天當(dāng)中又沒有引起與其他的幾天里播出的集數(shù)相同.于是只能選擇從后加.即把30表示成：30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天.尷。級數(shù)：*3.若干只同樣的盒子排成一列

4、，小聰把42個(gè)同樣的小球放在這些盒子里然后外出，小明從每支盒子里取出一個(gè)小球，然后把這些小球再放到小球數(shù)最少的盒子里去。再把盒子重排了一下.小聰回來，仔細(xì)查看，沒有發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過小球和盒子.問：一共有多少只盒子？【分析與解】設(shè)原來小球數(shù)最少的盒子里裝有a只小球，現(xiàn)在增加了b只，由于小聰沒有發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過小球和盒子，這說明現(xiàn)在又有了一只裝有a個(gè)小球的盒子，而這只盒子里原來裝有(a+1)個(gè)小球.同樣，現(xiàn)在另有一個(gè)盒子裝有(a+1)個(gè)小球，這只盒子里原來裝有(a+2)個(gè)小球.類推，原來還有一只盒子裝有(a+3)個(gè)小球，(a+4)個(gè)小球等等，故原來那些盒子中裝有的小球數(shù)是一些連續(xù)整數(shù).現(xiàn)在變成：將42分拆

5、成若干個(gè)連續(xù)整數(shù)的和，一共有多少種分法，每一種分法有多少個(gè)加數(shù)？因?yàn)?2=6X7,故可以看成7個(gè)6的和， 又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6個(gè)6,從而42=3+4+5+6+7+8+9,一共有7個(gè)加數(shù)；又因?yàn)?2=14X3,故可將42:13+14+15,一共有3個(gè)加數(shù)；又因?yàn)?2=21X2,故可將42=9+10+11+12,一共有4個(gè)加數(shù).所以原問題有三個(gè)解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子級數(shù):*4.機(jī)器人從自然數(shù)1開始由小到大按如下規(guī)則進(jìn)行染色：凡能表示為兩個(gè)不同合數(shù)之和的自然數(shù)都染成紅色，不符合上述要求的自然數(shù)染成黃色(比如23可表示成兩個(gè)不同合數(shù)15和8之和，23要染紅色；1不能

6、表示為兩個(gè)不同合數(shù)之和，1染黃色).問：要染成紅色的數(shù)由小到大數(shù)下去，第2000個(gè)數(shù)是多少叫說明理由.【分析與解】顯然1要染黃色，2=1+1也要染黃色，3=1+2,4=1+3=2+2,5=1+4=2+3,6=1+5=2+4=3+3,7=1+6=2+5=3+4,8=1+7=2+6=3+5=4+4,9=1+8=2+7=3+6=4+5,10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5,11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6.可見，1,2,3,4,5,6,7,8,9,11均應(yīng)染成黃色.下面統(tǒng)一觀察其他自然數(shù)，說明其他自然數(shù)均要染成紅色.1)當(dāng)n為大于等于10的偶數(shù)時(shí)，n=2k=4+2(k-2).由

7、于n10,所以k15,k-23,2(k2)與4均為合數(shù)，且不相等.于是，大于等于10的偶數(shù)都可以表示兩個(gè)不同的合數(shù)之和，應(yīng)染成紅色.2)當(dāng)n為大于等于13的奇數(shù)時(shí)，n=2k+1=9+2(k-4).由于n13,所以k6,k-42,2（k2）4與9均是合數(shù)，且不相等.也就是說，大于等于13的奇數(shù)均能表示為兩個(gè)不同的合數(shù)之和，應(yīng)染紅色.所以，除了1,2,3,4,5,6,7,8,9,11這10個(gè)數(shù)染黃色外，其余自然數(shù)均染紅色，第k個(gè)染為紅色的數(shù)是第（k+10）個(gè)自然數(shù)（k2）.所以第2000個(gè)染紅色的數(shù)是2000+10=2010.：IEIE，1 1M M|XT|fci-|XT|fci-.F*i-ax.

8、F*i-ax，r rJ J工）級數(shù)；*5.在整數(shù)中，有用2個(gè)以上的連續(xù)自然數(shù)的和來表達(dá)一個(gè)整數(shù)的方法.例如9=2+3+4,9有兩個(gè)用2個(gè)以上連續(xù)自然數(shù)的和來表達(dá)它的方法（1）請寫出只有3種這樣的表示方法的最小自然數(shù).（2）請寫出只有6種這樣的表示方法的最小自然數(shù).【分析與解】關(guān)于某整數(shù)，它的“奇數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)減1”，就是用連續(xù)的整數(shù)的和的形式來表達(dá)種數(shù).根據(jù)（1）知道，有3種表達(dá)方法，于是奇約數(shù)的個(gè)數(shù)為3+1=4,對4分解質(zhì)因數(shù)4=2X2,最小的15（1、3、5、15）;有連續(xù)的2、3、5個(gè)數(shù)相加；7+8;4+5+6;1+2+3+4+5;根據(jù)（2）知道，有6種表示方法，于是奇數(shù)約數(shù)的個(gè)數(shù)為6+

9、1=7,最小為729（1、3、9、27、81、243、729）,有連續(xù)的2,3、6、9、10、27個(gè)數(shù)相加：364+365;242+243+244;119+120+,+124;77+78+79+,+85;36+37+,+45;14+15+,+40.圖圖2我們通過圖得知，c是公共部分，而b+c為原等式的右邊，a+c為原等式的左邊，所以有a=b,a部分面積為A”（可以看成從1一直加到A）,b部分面積為BxB（可以看2作從1一直加到B再又加到1）;9:9=4+5,6.從整數(shù)1開始不改變順序的相加，中途分為兩組，使每組的和相等1+2=3;從1到20的話：1+2+3+,+14=15+16+17+,+20

10、.請問：除上述兩例外，能夠列出這樣的最短的整數(shù)算式是從1到幾？.如從1至IJ3的話,【分析與解】我們用這種階梯圖來表示連續(xù)的數(shù)相加，假設(shè)情況見下圖,右A（A1）有=BXB.可以表示為奇數(shù)X相鄰的偶數(shù)+2=BXB;其中A是連續(xù)兩個(gè)數(shù)中較小的一個(gè)，B的平方等于連續(xù)兩個(gè)數(shù)的乘積除以2.因?yàn)橄噜彽膬蓚€(gè)數(shù)互質(zhì)，所以，偶數(shù)+2 后與原相鄰奇數(shù)也互質(zhì)；所以，奇數(shù)必定為完全平方數(shù)；偶數(shù)+2 也為完全平方數(shù)，這樣：奇數(shù)為1,則偶數(shù)為2,除以2,為1,均為完全平方數(shù).A=l,B2=1X2+2=1,于是為A+B=2,A+2B=3;所以為1+2=3; 奇 數(shù) 為9,則 偶 數(shù) 為8,除 以2,為4,均 為 完 全 平

11、 方 數(shù) .A=8,B2=8X9+2=36,于 是 為A+B=8+6=14,A+2B=8+26=20;所以為1+2+3+,+14=15+16+17+,+20;還可以偶數(shù)為10,除以2,為5,不是完全平方數(shù)，不滿足.奇數(shù)為25,則偶數(shù)為24,除以2,為12,不是完全平方數(shù)，不滿足；還可以偶數(shù)為26,除以2,為13,不是完全平方數(shù)，不滿足.奇數(shù)為49,則偶數(shù)為48,除以2,為24,不是完全平方數(shù)，不滿足；還可以偶數(shù)為50,除以2,為25,是完全平方數(shù).A=49,B2=49X50+2=1225,于是為A+B=49+35=84,A+2B=49+235=119.所以等式為1+2+3+,+84=85+86

12、+87+,+119(=3570).所以所求的式子為1+2+3+,+84=85+86+87+,+119(=3570).跳級數(shù):*7.把一個(gè)整數(shù)寫成非零自然數(shù)的和的形式.如果所用的幾個(gè)自然數(shù)相同，只是寫的順序不同，也只算做一種方法.另外，只使用一個(gè)自然數(shù)，也算做一種方法.(1)比如，把6用三個(gè)以內(nèi)的自然數(shù)的和來表示的方法有如下七種：6,5+1,4+2,3+3,4+1+1,3+2+1,2+2+2.請問：把50用三個(gè)以內(nèi)的自然數(shù)的和來表示的方法有幾種？(2)比如，把7用3以下的自然數(shù)的和來表示的方法有如下八種：3+3+1,3+2+2,3+2+1+1,2+2+2+1,3+1+1+1+1,2+2+1+1+

13、1,2+1+1+1+1+1,1+1+1+1+1+1+1.請問：把50用3以下的自然數(shù)的和來表示的方法有幾種？【分析與解】(1)我們注意到設(shè)x+y+z=50,求x、y、z有多少組可能的值，并且x、y、z代表的數(shù)字調(diào)換順序只算一種.為了方便計(jì)算，不妨設(shè)xwywz.當(dāng)x=15時(shí)，y+z=35,y可以取1517,z對應(yīng)取值，于是有3組解；當(dāng)x=16時(shí)，y+z=34,y可以取1617,z對應(yīng)取值，于是有2組解.所以，共有26+24+23+21+20+,+3+2組可能的值；我們知道有17個(gè)數(shù)的和，我們注意到這些數(shù)的規(guī)律，每個(gè)數(shù)是上一個(gè)數(shù)2,-1,2,當(dāng)x=0時(shí)，y+z=50,y可以取當(dāng)x=1時(shí)，y+z=4

14、9,y可以取當(dāng)x=2時(shí)，y+z=48,y可以取當(dāng)x=3時(shí)，y+z=47,y可以取當(dāng)x=4時(shí)，y+z=46,y可以取025,z對應(yīng)取值，于是有124,z對應(yīng)取值，于是有224,z對應(yīng)取值，于是有323,z對應(yīng)取值，于是有423,z對應(yīng)取值，于是有26組解;24組解;23組解;21組解;20組解;1，2,1;所以，我們這樣計(jì)算26+(24+23)+(21+20)+,+(3+2)=26+47+47+-L+5=26+(47+5)X8+2=26+52X8 項(xiàng)4=234所以有234種不同的表示方法.（2）我們注意一下，把6也分成三個(gè)以內(nèi)的數(shù)的和，如：6=1+1+4.我們注意到從左往右看可以得到下面的數(shù)：1

15、+1+4=6,而從上往下看得到右邊的數(shù)3+1+1+1=6,每個(gè)數(shù)都是3或3以下.并且不光是6滿足，其他的也滿足，當(dāng)把它從左到右排列成三個(gè)數(shù)以內(nèi)的和，則從上到下一定是3以內(nèi)的數(shù)的和.也就說是對應(yīng)的，于是（1）的種數(shù)就是（2）所對應(yīng)的種數(shù).即234種.嫄四級數(shù),*8.洗衣服要打好肥皂，揉搓得很充分，再擰一下，當(dāng)然不可能全擰干.假設(shè)使勁擰緊后，衣服上還留有1千克帶污物的水.現(xiàn)在有清水18千克，假設(shè)每次用來漂洗的水都是整數(shù)千克，試問留下的污物最少是洗滌前的幾分之幾？【分析與解】我們假設(shè)分成n次分別為x,y,z,則每次漂洗的時(shí)候，總是加上上次剩下的l千克污水，則每次實(shí)際水量分別為：x+1,y+l,z+1

16、,1111則最后剩下了，要使最后殘留的最少，只要分母最大x1y1z11即可.注意到當(dāng)18全部分成2的時(shí)候，2+1即是3,也就是滿足我們【內(nèi)容概述】第3條了，此時(shí)分了18+2=9次，于是為1=.319683但是我們還應(yīng)注意到，當(dāng)分的次數(shù)越多，分母的和越大.如：當(dāng)分成10次時(shí)，經(jīng)過的,白、4皿一一人丁士人丁士,1881221水量變成18+10=28,則此時(shí)可以是8個(gè)3千克，2個(gè)2千克，此時(shí)為父1=.1.3J22）26244于是考慮最極端的情況，我們把清水分成18次，此時(shí)經(jīng)過的水量變成18+18=36,為1818個(gè)2千克，此時(shí)對應(yīng)-=一1一.因?yàn)槊看伪仨毷钦麛?shù)千克的水，所以不能再分.22621441262144于是，當(dāng)分成18次，每次1千克，此時(shí)剩下的污物殘留量最少，為洗滌前的