數(shù)學(xué)第五章 四邊形 第二節(jié) 矩形、菱形、正方形

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1、第二節(jié)矩形、菱形、正方形考點一考點一 矩形的性質(zhì)與判定矩形的性質(zhì)與判定 (5(5年年1 1考考) )例例1 1(2016(2016東營中考東營中考) )如圖，在如圖，在RtRtABCABC中，中，B B9090，ABAB4 4，BC BC ABAB，點，點D D在在BCBC上，以上，以ACAC為對角線的平行四邊形為對角線的平行四邊形ADCEADCE中，中，DEDE的最小值是的最小值是 【分析分析】 首先利用平行四邊形的性質(zhì)得出首先利用平行四邊形的性質(zhì)得出AECDAECD，從而當(dāng)，從而當(dāng)DEBCDEBC時，時，DEDE能夠取得最小值，再通過矩形的判定得出能夠取得最小值，再通過矩形的判定得出DED

2、E的的最小值即可最小值即可【自主解答自主解答】 四邊形四邊形ADCEADCE是平行四邊形，是平行四邊形，BCAEBCAE，當(dāng)當(dāng)DEBCDEBC時，時，DEDE最短最短B B9090，ABBCABBC，DEABDEAB，四邊形四邊形ABDEABDE是平行四邊形是平行四邊形B B9090，四邊形四邊形ABDEABDE是矩形，是矩形，DEDEABAB4 4，DEDE的最小值為的最小值為4.4.故答案為故答案為4.4.矩形的性質(zhì)應(yīng)用及判定方法矩形的性質(zhì)應(yīng)用及判定方法(1)(1)矩形性質(zhì)的應(yīng)用：從邊上看，兩組對邊分別平行且相矩形性質(zhì)的應(yīng)用：從邊上看，兩組對邊分別平行且相等；從角上看，矩形的四個角都是直角

3、；從對角線上看，等；從角上看，矩形的四個角都是直角；從對角線上看，對角線互相平分且相等，同時把矩形分為四個面積相等的對角線互相平分且相等，同時把矩形分為四個面積相等的等腰三角形等腰三角形(2)(2)矩形的判定方法：若四邊形可以證為平行四邊形，則矩形的判定方法：若四邊形可以證為平行四邊形，則還需證明一個角是直角或?qū)蔷€相等；若直角較多，可利還需證明一個角是直角或?qū)蔷€相等；若直角較多，可利用用“三個角為直角的四邊形是矩形三個角為直角的四邊形是矩形”來證來證1 1(2018(2018威海中考威海中考) )矩形矩形ABCDABCD與與CEFGCEFG如圖放置，點如圖放置，點B B，C C，E E共線

4、，點共線，點C C，D D，G G共線，連接共線，連接AFAF，取，取AFAF的中點的中點H H，連接，連接GH.GH.若若BCBCEFEF2 2，CDCDCECE1 1，則，則GHGH( )( )C C2.(20182.(2018濱州中考濱州中考) )如圖，在矩形如圖，在矩形ABCDABCD中，中，ABAB2 2，BCBC4 4，點點E E，F(xiàn) F分別在分別在BCBC，CDCD上，若上，若AEAE ，EAFEAF4545，則，則AFAF的的長為長為 54 1033 3如圖，在如圖，在 ABCDABCD中，過點中，過點D D作作DEABDEAB于點于點E E，點，點F F在邊在邊CDCD上，上

5、，DFDFBEBE，連接，連接AFAF，BF.BF.(1)(1)求證：四邊形求證：四邊形BFDEBFDE是矩形；是矩形；(2)(2)若若CFCF3 3，BFBF4 4，DFDF5 5，求證：，求證：AFAF平分平分DAB.DAB.證明：證明：(1)(1)四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形，是平行四邊形，DCABDCAB，即，即DFBE.DFBE.又又DFDFBEBE，四邊形四邊形BFDEBFDE為平行四邊形為平行四邊形又又DEABDEAB，DEBDEB9090，四邊形四邊形BFDEBFDE為矩形為矩形(2)(2)四邊形四邊形BFDEBFDE為矩形，為矩形，BFCBFC9090. .CFC

6、F3 3，BFBF4 4，BCBC 5.5.四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形，是平行四邊形，ADADBCBC5 5，ADADDFDF5 5，DAFDAFDFA.DFA.又又DCABDCAB，DFADFAFABFAB，DAFDAFFABFAB，即，即AFAF平分平分DAB.DAB.2234考點二考點二 菱形的性質(zhì)與判定菱形的性質(zhì)與判定 (5(5年年2 2考考) )例例2 2 (2017(2017東營中考東營中考) )如圖，在如圖，在 ABCDABCD中，用直尺和圓規(guī)作中，用直尺和圓規(guī)作BADBAD的平分線的平分線AGAG交交BCBC于點于點E.E.若若BFBF8 8，ABAB5 5，則，

7、則AEAE的長為的長為( )( )A A5 B5 B6 C6 C8 D8 D1212【分析分析】 連接連接EFEF，先判定四邊形，先判定四邊形ABEFABEF的形狀，再利用勾股的形狀，再利用勾股定理進行解答即可定理進行解答即可【自主解答自主解答】如圖，連接如圖，連接EFEF，AEAE與與BFBF交于點交于點O.O.四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形，且是平行四邊形，且AGAG是是BADBAD的平分線，的平分線，F(xiàn)AEFAEAEBAEB，F(xiàn)AEFAEEABEAB，AEBAEBEABEAB，ABABBE.BE.ABABAFAF，AFAFBEBE，四邊形四邊形ABEFABEF為平行四邊形為平行

8、四邊形又又ABABBEBE，四邊形四邊形ABEFABEF是菱形，是菱形，AEBFAEBF，OBOB BFBF4 4，OAOA AE.AE.ABAB5 5，在在RtRtAOBAOB中，中，AOAO 3 3，AEAE2AO2AO6.6.故選故選B.B.121222ABBO25 16菱形的性質(zhì)應(yīng)用及判定方法菱形的性質(zhì)應(yīng)用及判定方法(1)(1)判定一個四邊形是菱形時，一是證明四條邊相等；二是判定一個四邊形是菱形時，一是證明四條邊相等；二是先證明它是平行四邊形，進而再證明它是菱形先證明它是平行四邊形，進而再證明它是菱形(2)(2)運用菱形的性質(zhì)時，要注意菱形的對角線互相垂直這個運用菱形的性質(zhì)時，要注意菱

9、形的對角線互相垂直這個條件；此外，菱形的對角線所在的直線是菱形的對稱軸，運條件；此外，菱形的對角線所在的直線是菱形的對稱軸，運用這一性質(zhì)可以求出線段和的最小值用這一性質(zhì)可以求出線段和的最小值4 4(2018(2018日照中考日照中考) )如圖，在四邊形如圖，在四邊形ABCDABCD中，對角線中，對角線ACAC，BDBD相交于點相交于點O O，AOAOCOCO，BOBODO.DO.添加下列條件，不能判定添加下列條件，不能判定四邊形四邊形ABCDABCD是菱形的是是菱形的是( )( )A AABABAD BAD BACACBD BD C CACBD ACBD D DABOABOCBOCBOB B5

10、 5(2018(2018利津一模利津一模) )如圖，在菱形如圖，在菱形ABCDABCD中，中， ABAB6, DAB6, DAB6060，AEAE分別交分別交BCBC，BDBD于點于點E E，F(xiàn) F，若，若CECE2 2 ，連接，連接CF.CF.以以下結(jié)論：下結(jié)論：BAFBAFBCFBCF；點；點E E到到ABAB的距離是的距離是2 2 ； S SCDFCDFSSBEFBEF94 94 ；tanDCFtanDCF . .其中正確的有其中正確的有( )( )A A4 4個個 B B3 3個個 C C2 2個個 D D1 1個個337B B6 6(2018(2018揚州中考揚州中考) )如圖，在平

11、行四邊形如圖，在平行四邊形ABCDABCD中，中，DBDBDADA，點點F F是是ABAB的中點，連接的中點，連接DFDF并延長，交并延長，交CBCB的延長線于點的延長線于點E E，連接，連接AE.AE.(1)(1)求證：四邊形求證：四邊形AEBDAEBD是菱形；是菱形；(2)(2)若若DCDC ，tanDCBtanDCB3 3，求菱形求菱形AEBDAEBD的面積的面積10(1)(1)證明：證明：四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形，是平行四邊形，ADCEADCE，DAFDAFEBF.EBF.AFDAFDEFBEFB，AFAFFBFB，AFDAFDBFEBFE，ADADEB.EB.ADEB

12、ADEB，四邊形四邊形AEBDAEBD是平行四邊形是平行四邊形BDBDADAD，四邊形四邊形AEBDAEBD是菱形是菱形(2)(2)解：解：四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形，是平行四邊形，CDCDABAB ，ABCDABCD，ABEABEDCBDCB，tanABEtanABEtanDCBtanDCB3.3.四邊形四邊形AEBDAEBD是菱形，是菱形，ABDEABDE，AFAFFBFB，EFEFDFDF，tanABEtanABE 3.3.BFBF ，EFEF ，DEDE3 3 ，S S菱形菱形AEBDAEBD ABABDEDE 3 3 15.15.10EFBF1023 102101212

13、1010考點三考點三 正方形的性質(zhì)與判定正方形的性質(zhì)與判定 (5(5年年3 3考考) )例例3 3(2018(2018濰坊中考濰坊中考) )如圖，點如圖，點M M是正方形是正方形ABCDABCD邊邊CDCD上一點，上一點，連接連接AMAM，作，作DEAMDEAM于點于點E E，BFAMBFAM于點于點F F，連接，連接BE.BE.(1)(1)求證：求證：AEAEBFBF；(2)(2)已知已知AFAF2 2，四邊形，四邊形ABEDABED的面積為的面積為2424，求求EBFEBF的正弦值的正弦值【分析分析】 (1) (1)通過證明通過證明ABFABFDAEDAE得到得到AEAEBFBF；(2)(

14、2)設(shè)設(shè)AEAEx x，則，則BFBFx x，DEDEAFAF2 2，利用四邊形，利用四邊形ABEDABED的面的面積等于積等于ABEABE的面積與的面積與ADEADE的面積之和得到的面積之和得到 x xx x x x2 22424，解方程求出，解方程求出x x得到得到AEAEBFBF6 6，則，則EFEFx x2 24 4，然后利用勾股定理計算出然后利用勾股定理計算出BEBE，最后利用正弦的定義求解，最后利用正弦的定義求解1212【自主解答自主解答】(1)(1)四邊形四邊形ABCDABCD為正方形，為正方形，BABAADAD，BADBAD9090. .DEAMDEAM于點于點E E，BFAM

15、BFAM于點于點F F，AFBAFB9090，DEADEA9090. .ABFABFBAFBAF9090，EADEADBAFBAF9090，ABFABFEAD.EAD. 在在ABFABF和和DAEDAE中，中，ABFABFDAE(AAS)DAE(AAS)，AEAEBF.BF.(2)(2)設(shè)設(shè)AEAEx x，則，則BFBFx x，DEDEAFAF2.2.SS四邊形四邊形ABEDABEDS SABEABES SAEDAED2424， x xx x x x2 22424，解得解得x x1 16 6，x x2 28(8(舍去舍去) )，EFEFx x2 24.4.在在RtRtBEFBEF中，中，BEB

16、EsinEBFsinEBF1212判定正方形的方法及其特殊性判定正方形的方法及其特殊性(1)(1)判定一個四邊形是正方形，可以先判定四邊形為矩形，判定一個四邊形是正方形，可以先判定四邊形為矩形，再證鄰邊相等或者對角線互相垂直；或先判定四邊形為菱再證鄰邊相等或者對角線互相垂直；或先判定四邊形為菱形，再證有一個角是直角或者對角線相等形，再證有一個角是直角或者對角線相等(2)(2)正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，具有它們的正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，具有它們的所有性質(zhì)所有性質(zhì)7 7(2017(2017濟南中考濟南中考) )如圖，正方形如圖，正方形ABCDABCD的對角線的對角線ACA

17、C，BDBD相相交于點交于點O O，ABAB3 3 ，E E為為OCOC上一點，上一點，OEOE1 1，連接，連接BEBE，過點，過點A A作作AFBEAFBE于點于點F F，與，與BDBD交于點交于點G G，則，則BFBF的長是的長是( )( )2A A8 8(2018(2018青島中考青島中考) )已知正方形已知正方形ABCDABCD的邊長為的邊長為5 5，點，點E E，F(xiàn) F分分別在別在ADAD，DCDC上，上，AEAEDFDF2 2，BEBE與與AFAF相交于點相交于點G G，點，點H H為為BFBF的的中點，連接中點，連接GHGH，則，則GHGH的長為的長為 3429 9(2018(

18、2018濟寧中考濟寧中考) )如圖，在正方形如圖，在正方形ABCDABCD中，中，點點E E，F(xiàn) F分別是邊分別是邊ADAD，BCBC的中點，連接的中點，連接DFDF，過點，過點E E作作EHDFEHDF，垂足為，垂足為H H，EHEH的延長線交的延長線交DCDC于點于點G.G.(1)(1)猜想猜想DGDG與與CFCF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)(2)過點過點H H作作MNCDMNCD，分別交，分別交ADAD，BCBC于點于點M M，N.N.若正方形若正方形ABCDABCD的邊長為的邊長為1010，點，點P P是是MNMN上一點，求上一點，求PDCPDC周長的

19、最小值周長的最小值解：解：(1)CF(1)CF2DG.2DG.證明如下：證明如下：四邊形四邊形ABCDABCD是正方形，是正方形，ADADBCBCCDCD，ADBCADBC，ADCADC9090. .EE，F(xiàn) F分別是邊分別是邊ADAD，BCBC的中點，的中點，DEDE ADAD，CFCF BCBC，DEDECFCF CD.CD.ADCADC9090，EHDFEHDF，121212CDFCDFEDFEDF9090，DEGDEGEDFEDF9090，CDFCDFDEG.DEG.在在RtRtFCDFCD中，中，tanCDFtanCDF ，在在RtRtDEGDEG中，中，tanDEGtanDEG ，

20、 ，CFCF2DG.2DG.CFCD12DGDEDGCF12(2)(2)如圖，在如圖，在NBNB上取上取NQNQNCNC，連接，連接DQDQ交交MNMN于點于點P.P.MNCDMNCD，CDBCCDBC，MNBC.MNBC.又又NQNQNCNC，PCPCPQPQ，PDPDPCPCPDPDPQPQDQ.DQ.由由“兩點之間，線段最短兩點之間，線段最短”知，知，此時此時PDPDPCPC最短最短又又CDCD1010，此時此時PDCPDC的周長的周長PDPDPCPCCDCDPDPDPCPC1010最短最短MNCDMNCD，MHDMHDCDFCDF，tanMHDtanMHD tanCDFtanCDF ，

21、MHMH2MD.2MD.設(shè)設(shè)MDMDt t，則，則MHMH2t.2t.同理同理MEME2MH2MH4t4t，DEDE5t5t，CDCD2DE2DE10t10t1010，t t1 1，M DM H12CQCQ2DM2DM2.2.在在RtRtCDQCDQ中，由勾股定理得中，由勾股定理得DQDQPDCPDC周長的最小值為周長的最小值為2 2 10.10.26考點四考點四 四邊形綜合題四邊形綜合題百變例題百變例題 (2018(2018棗莊中考改編棗莊中考改編) )如圖，將矩如圖，將矩形形ABCDABCD沿沿AFAF折疊，使點折疊，使點D D落在落在BCBC邊上的點邊上的點E E處，過點處，過點E E作

22、作EGCDEGCD交交AFAF于點于點G G，連接，連接DG.DG.(1)(1)求證：四邊形求證：四邊形EFDGEFDG是菱形；是菱形；(2)(2)探究線段探究線段EGEG，GFGF，AFAF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)(3)若若AGAG ，EGEG ，求，求BEBE的長的長8103103【分析分析】 (1) (1)先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明DGFDGFDFGDFG，從而得到，從而得到GDGDDFDF，再根據(jù)翻折的性質(zhì)即可證明，再根據(jù)翻折的性質(zhì)即可證明DGDGGEGEDFDFEFEF；(2)(2)連接連接DEDE，交，

23、交AFAF于點于點O.O.由菱形的性質(zhì)可知由菱形的性質(zhì)可知GFDEGFDE，OGOGOFOF GFGF，然后證明，然后證明DOFDOFADFADF，由相似三角形的性質(zhì)可證，由相似三角形的性質(zhì)可證明明DFDF2 2FOFOAFAF，于是可得到，于是可得到EGEG，AFAF，GFGF的數(shù)量關(guān)系；的數(shù)量關(guān)系；12(3)(3)過點過點G G作作GHDCGHDC，垂足為，垂足為H.H.利用利用(2)(2)的結(jié)論可求得的結(jié)論可求得FGFG，然后在然后在ADFADF中依據(jù)勾股定理可求得中依據(jù)勾股定理可求得ADAD的長，然后再證明的長，然后再證明FGHFGHFADFAD，利用相似三角形的性質(zhì)可求得，利用相似三

24、角形的性質(zhì)可求得GHGH的長，的長，最后依據(jù)最后依據(jù)BEBEADADGHGH求解即可求解即可【自主解答自主解答】 (1)GEDF(1)GEDF，EGFEGFDFG.DFG.由翻折的性質(zhì)可知由翻折的性質(zhì)可知GDGDGEGE，DFDFEFEF，DGFDGFEGFEGF，DGFDGFDFGDFG，GDGDDFDF，DGDGGEGEDFDFEFEF，四邊形四邊形EFDGEFDG是菱形是菱形(2)EG(2)EG2 2 GFGFAF.AF.理由如下：如圖，連接理由如下：如圖，連接DEDE，交，交AFAF于點于點O.O.四邊形四邊形EFDGEFDG是菱形，是菱形，GFDEGFDE，OGOGOFOF GF.G

25、F.DOFDOFADFADF9090，OFDOFDDFADFA，DOFDOFADFADF， ，DFDF2 2FOFOAF.AF.FOFO GFGF，DFDFEGEG，EGEG2 2 GFGFAF.AF.1212DFAFFODF1212(3)(3)如圖，過點如圖，過點G G作作GHDCGHDC，垂足為點，垂足為點H.H.變式變式1 1：如圖，若點：如圖，若點G G在在BEBE上，上，ADAD1010，ABAB6 6，CECE2 2，將將ABGABG沿沿AGAG折疊，點折疊，點B B恰好落在線段恰好落在線段AEAE上的點上的點H H處求證：處求證：(1)FAG(1)FAG4545；(2)S(2)S

26、ABGABG S SEGHEGH；(3)BG(3)BGCECEGE.GE.32證明：如圖，證明：如圖，由題意可知，由題意可知，BGBGGHGH，AEAEADAD1010，AHAHABAB6 6，1 12 2，3 34.4.(1)1(1)12 23 34 4BADBAD9090，2 23 3 BADBAD 90904545，即即FAGFAG4545. .1212(2)AE(2)AE1010，AHAH6 6，HEHEAEAEAHAH10106 64.4.設(shè)設(shè)BGBGx x，GHGHBGBGx x，GEGEADADBGBGECEC1010 x x2 28 8x.x.在在RtRtGHEGHE中，中，G

27、EGE2 2GHGH2 2HEHE2 2，(8(8x)x)2 2x x2 24 42 2，x x3 3，即即GHGHBGBG3 3，S SABGABG ABABBGBG 6 63 39 9，S SGHEGHE GHGHHEHE 3 34 46 6，S SABGABG S SEGHEGH. .(3)GE(3)GE8 8x x8 83 35 5，BGBGECEC3 32 25 5，BGBGCECEGE.GE.1212121212變式變式2 2：如圖，矩形：如圖，矩形ABCDABCD中，中，ADAD1010，ABAB6 6，若點，若點M M是是BCBC邊邊上一點，連接上一點，連接AMAM，把，把B

28、B沿沿AMAM折疊，使點折疊，使點B B落在點落在點BB處，當(dāng)處，當(dāng)CMBCMB為直角三角形時，求為直角三角形時，求BMBM的長的長解：如圖，當(dāng)點解：如圖，當(dāng)點BB落在矩形內(nèi)部時，連接落在矩形內(nèi)部時，連接ACAC，在在RtRtABCABC中，中，ABAB6 6，BCBC1010，ACACB B沿沿AMAM折疊，使點折疊，使點B B落在點落在點BB處，處，ABMABMB B9090. .當(dāng)當(dāng)CMBCMB為直角三角形時，只能得到為直角三角形時，只能得到MBCMBC9090，點點A A，BB，C C共線，即共線，即B B沿沿AMAM折疊，使點折疊，使點B B落在對角線落在對角線ACAC上的點上的點BB處，處，MBMBMBMB，ABABABAB6 6，CBCB2 2 6.6.設(shè)設(shè)BMBMx x，則，則MBMBx x，CMCM1010 x x，在在RtRtCMBCMB中，中，MCMC2 2MBMB2 2CBCB2 2，(10(10 x)x)2 2x x2 2(2 (2 6)6)2 2，解得解得x x ，346 34 18534BMBM . .如圖，當(dāng)點如圖，當(dāng)點BB落在落在ADAD邊上時，邊上時，此時四邊形此時四邊形ABMBABMB為正方形，為正方形，BMBMABAB6.6.綜上所述，綜上所述，BMBM的長為的長為 或或6.6.6 34 1856 34 185