橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 第2課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

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1、教材：《數(shù)學(xué)》選修2-1（人教板） 2.1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 第2課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì) 教材：《數(shù)學(xué)》選修2-1（人教板） 授課教師：東廈中學(xué) 吳毅銘 教材分析 本節(jié)課是“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”是高中《數(shù)學(xué)》必修2.1.1第2節(jié)的內(nèi)容。承接上一節(jié)橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，學(xué)生已經(jīng)理解橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，但在運(yùn)用上經(jīng)驗(yàn)不足。 本節(jié)在對(duì)前面所學(xué)的內(nèi)容的鞏固的基礎(chǔ)上通過(guò)求動(dòng)點(diǎn)軌跡進(jìn)一步研究橢圓，同時(shí)鞏固了定義法并且介紹了求軌跡方程的另一種方法：直接法。也為進(jìn)一步研究雙曲線、拋物線提供了一些探求模式。. 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)技能 1．鞏固用定義法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，及其運(yùn)用環(huán)境。 2．掌

2、握用直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡過(guò)程，及其運(yùn)用環(huán)境。 3．培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)去解決數(shù)學(xué)的有關(guān)問(wèn)題。 過(guò)程和方法 通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)點(diǎn)軌跡性質(zhì)的探究，尋找出解決問(wèn)題的方法，并利用對(duì)現(xiàn)代化的媒體技術(shù)展示結(jié)果。 情感,態(tài)度與價(jià)值觀 通過(guò)教學(xué)初步培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題，解決實(shí)際問(wèn)題的能力，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生數(shù)型結(jié)合的思想。以及通過(guò)師生雙邊活動(dòng)，初步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)，加強(qiáng)理論聯(lián)系實(shí)際的能力，探索精神與扎實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng).。 教學(xué)重點(diǎn) 掌握用定義法，直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡過(guò)程，及其運(yùn)用環(huán)境。以及它們的綜合運(yùn)用。 教學(xué)難點(diǎn) 理解定義法，直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡的運(yùn)用環(huán)境，掌握幾何關(guān)系坐標(biāo)化的過(guò)程。 學(xué)情分析 本節(jié)

3、課的學(xué)生已經(jīng)對(duì)曲線和方程的概念有了一些了解與運(yùn)用的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題也有了初步的認(rèn)識(shí)。但從對(duì)求軌跡方程的方法上，學(xué)生思維上會(huì)存在障礙。 教 學(xué) 過(guò) 程 流程 教師活動(dòng) 學(xué)生行為 設(shè)計(jì)意圖 知識(shí)回顧 §教師利用多媒體演示的同時(shí)對(duì)學(xué)生的回答作作必要的補(bǔ)充、糾正。 【定義】 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)(大于| F1F2|)的點(diǎn)的軌跡是橢圓。兩定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫橢圓的焦距。 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（注意焦點(diǎn)位置） 焦點(diǎn)在x軸上： 焦點(diǎn)在y軸上： 其中 §教師引導(dǎo)學(xué)生時(shí)要注意提醒學(xué)生當(dāng)題目沒(méi)有交代清楚焦點(diǎn)位置所在時(shí)一定要分情

4、況討論。 學(xué)生集體回答 讓學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)的進(jìn)一步鞏固并為下面內(nèi)容作鋪墊。 復(fù)習(xí)鞏固 §教師利用多媒體演示題目 【復(fù)習(xí)鞏固1】 周長(zhǎng)為16的三角形ABC，三條邊分別是AB，AC，BC,其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3),B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3)。求則C點(diǎn)的軌跡方程。 §教師利用多媒體演示題目教師引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)條件尋找到軌跡的相應(yīng)模型并請(qǐng)一名學(xué)生口述解題過(guò)程。 解：周長(zhǎng)為16的三角形中|AB|=6， |AC|+|BC|=10 C點(diǎn)軌跡在以A、B為焦點(diǎn)的橢圓上 §逐步演示，必要是給予幫助。 其方程可設(shè)為 其中a=5,c=3，則b=4， 依據(jù)題意c點(diǎn)不可以在y

5、軸上 所以c點(diǎn)軌跡方程為： §教師強(qiáng)調(diào)求軌跡方程后一定要記住檢驗(yàn)特殊情形，并再次強(qiáng)調(diào)曲線與方程的關(guān)系。 §帶領(lǐng)學(xué)生回顧解題步驟并予以總結(jié)。 【小結(jié)1】 定義法 —— 處理“有形可尋”的軌跡 若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等)，可用定義直接探求（具體方法是：1.判定曲線，2.設(shè)方程，3.求參數(shù)，4.檢驗(yàn)） 集體活動(dòng)：學(xué)生在教師引導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)C點(diǎn)的軌跡 被提問(wèn)的學(xué)生在教師的引導(dǎo)下口述解題過(guò)程 大部分學(xué)生在求解過(guò)程中會(huì)忘記檢驗(yàn)方程的所有解是否都會(huì)滿足題目的要求，教師要及時(shí)作必要的補(bǔ)充、糾正。 對(duì)定義法的

6、再一次鞏固，明確使用定義法求軌跡方程用環(huán)境，透過(guò)對(duì)軌跡上特殊點(diǎn)的檢驗(yàn)，強(qiáng)調(diào)方程與曲線的關(guān)系。 透過(guò)例題總結(jié)定義法的解題步驟。 流程 教師活動(dòng) 學(xué)生行為 設(shè)計(jì)意圖 新課講解 §師：剛才我們利用“定義法”輕松地解決了一道與軌跡方程有關(guān)的題目，了解了“定義法”的運(yùn)用環(huán)境，但是并不是所有的求軌跡方程的題目都適合用“定義法”來(lái)解決。引出例1，并用多媒體演示。 【例１】 如圖，A、B的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0）。直線AM與BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是，求點(diǎn)M的軌跡方程。 §提出問(wèn)題“如果不能很快找到軌跡相

7、應(yīng)的模型時(shí)要怎么辦？引起學(xué)生好奇心。告訴學(xué)生當(dāng)找不到相應(yīng)軌跡模型時(shí)可以從其它方面尋找解決問(wèn)題的切入點(diǎn)。 §關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生尋找?guī)缀侮P(guān)系（垂直，平行，距離等），通過(guò)利用坐標(biāo)和方程把相應(yīng)的幾何對(duì)象和幾何關(guān)系表示出來(lái)，然后對(duì)坐標(biāo)和方程進(jìn)行代數(shù)討論。逐步顯示過(guò)程。 解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y），因?yàn)锳的坐標(biāo)為（-5，0）， 所以直線AM的斜率是， 同理可得BM的斜率是. 由已知有 化簡(jiǎn)得 §在對(duì)方程的檢驗(yàn)的同時(shí)再次強(qiáng)調(diào)曲線與方程的關(guān)系。用幾何畫(huà)板顯示結(jié)果。 §回顧例1的解答過(guò)程提取出解題方法并予以總結(jié)。 【小結(jié)2】 直接法 ——處理“無(wú)形有關(guān)系”的一類軌跡 若動(dòng)

8、點(diǎn)軌跡的幾何特征，可直接通過(guò)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)間的代數(shù)關(guān)系表示出來(lái)，這類軌跡的方程可用直接法求解。（直接法求軌跡方程的一般步驟為：（1）建系（2）設(shè)點(diǎn)（3）列方程（4）化簡(jiǎn)（5）檢驗(yàn)） 【探究2】 如果把例1中“直線AM與BM斜率之積是”改成“斜率之積是m (m<0)時(shí)，當(dāng)m變化時(shí)點(diǎn)M的軌跡有什么變化” §分組探究，教師可以提供m的若干個(gè)數(shù)據(jù)如：m = -0. 5，m = -1，m = -2等，由學(xué)生合作討論，并把得到的結(jié)果匯集，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“斜率之積”變化時(shí)對(duì)軌跡的影響，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生猜想出結(jié)論。 解：斜率之積 -0.5時(shí) 點(diǎn)M的軌跡為 斜率之積 -1時(shí) 點(diǎn)M的軌跡為

9、 斜率之積 -2時(shí) 點(diǎn)M的軌跡為 §利用幾何畫(huà)板把結(jié)果動(dòng)態(tài)展現(xiàn)出來(lái) （當(dāng)“直線AM與BM斜率之積在（0，）時(shí)”點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸的橢圓；當(dāng)“直線AM與BM斜率之積為-1時(shí)”點(diǎn)M的軌跡是圓，當(dāng)“直線AM與BM斜率之積在（-1，）時(shí)”點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在y軸的橢圓。） 【實(shí)踐】 §教師演示并說(shuō)明鳥(niǎo)巢的某些支架結(jié)構(gòu)特征符合我們例題1的模型。 由于慣性思維的影響，學(xué)生讀完題目后會(huì)沿用“定義法”的思想嘗試尋找相應(yīng)的軌跡模型。 在教師的引導(dǎo)下通過(guò)尋求另外的切入點(diǎn)：利用坐標(biāo)和方程“翻譯” 幾何對(duì)象和幾何關(guān)系。

10、 分組探究，由學(xué)生合作討論，每個(gè)小組的一個(gè)學(xué)生完成一個(gè)相應(yīng)的m值，分享結(jié)論并進(jìn)一步猜想 “斜率之積”變化時(shí)對(duì)軌跡的影響效果。 承上啟下，引入新課。 透過(guò)例題讓學(xué)生體會(huì)直接法的解題過(guò)程。學(xué)習(xí)如何尋找?guī)缀侮P(guān)系，如何通過(guò)利用坐標(biāo)和方程把相應(yīng)的幾何對(duì)象和幾何關(guān)系表示出來(lái)，如何對(duì)得到的坐標(biāo)和方程進(jìn)行代數(shù)討論。明確直接法的解題環(huán)境。 以探究的形式激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣 活動(dòng)意義 (1)對(duì)直接法的鞏固訓(xùn)

11、練。 (2)培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)精神 (3)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力 回歸現(xiàn)實(shí)，在生活中找到符合例題1的模型，讓學(xué)生體會(huì)到“數(shù)學(xué)是有用的” 流程 教師活動(dòng) 學(xué)生行為 設(shè)計(jì)意圖 課堂練習(xí) 【練習(xí)1】 點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（-1，0），（1，0），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之商是2，點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？ §提問(wèn)一個(gè)學(xué)生回答，板書(shū)輔助求解過(guò)程要提示學(xué)生注意點(diǎn)的取舍。 所以點(diǎn)M的軌跡方程是 §教師予以解答結(jié)果的點(diǎn)評(píng)，回顧直接法的解題步驟，并再次強(qiáng)調(diào)求軌跡方程一定要注意檢驗(yàn)。

12、 【練習(xí)2】 已知直線L過(guò)點(diǎn)A(4,0)且垂直于x軸，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x, y）到定點(diǎn)F(1,0)的距離和到直線L的距離的比是1/2. 問(wèn)點(diǎn)M的軌跡是什么曲線？ §教師用多媒體平臺(tái)展示部分學(xué)生練習(xí)，并作出必要點(diǎn)評(píng)價(jià)，規(guī)范解題步驟。最后利用幾何畫(huà)板展示出動(dòng)點(diǎn)軌跡。 解：設(shè)點(diǎn)M到直線L 的垂線段為 MH， 則∣MH∣=∣x-4∣，又 由題意即 所以 化簡(jiǎn)得 故點(diǎn)M的軌跡是橢圓。 學(xué)生在教師引導(dǎo)下解題。 學(xué)生練習(xí)得出答案，進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)

13、。 得出結(jié)論后教師指雖然軌跡方程有時(shí)求出來(lái)的結(jié)論并不是我們想象中的那樣，但是我們要尊重邏輯推理的結(jié)果。此活動(dòng)是對(duì)學(xué)生所學(xué)知識(shí)的進(jìn)一步鞏固，并加深對(duì)軌跡方程的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)。 鞏固所學(xué)知識(shí)。對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力也是一種訓(xùn)練。 體會(huì)橢圓的幾何特征有不同的表現(xiàn)形式。 流程 教師活動(dòng) 學(xué)生行為 設(shè)計(jì)意圖 拓展延伸 【例2】 動(dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)A（-3，0），圓P在圓B內(nèi)部并且與圓B，內(nèi)切,求⊙P的圓心軌跡方程。 §引導(dǎo)學(xué)生尋找相應(yīng)的幾何關(guān)系和幾何對(duì)象，利用所學(xué)知識(shí)建構(gòu)解決問(wèn)題的途徑。 解1：由題意知圓B圓心在（3，0

14、），半徑為8，圓P上的點(diǎn)為 設(shè)圓P的方程為， 過(guò)定點(diǎn)A（-3，0）則 圓P在圓B內(nèi)部并且與圓B內(nèi)切 有 聯(lián)立兩式化簡(jiǎn)得 §指出根據(jù)解題環(huán)境的不同，要選擇適當(dāng)?shù)慕忸}工具。解析幾何本身就是一門(mén)幾何，引導(dǎo)學(xué)生從幾何關(guān)系中找到橢圓的定義并完成此道例題。幾何畫(huà)板展示出動(dòng)點(diǎn)軌跡。注意提醒“兩定點(diǎn)和一動(dòng)點(diǎn)”帶來(lái)的啟示。 解2：由題意知圓B圓心在（3，0），半徑R為8， |PA| = R |PB|= R - r |PA| + |PB|= R = 8 = 2a 設(shè)所求軌跡方程為 因?yàn)閏=3可解得b2 = a2 - c2 =7

15、所以所求軌跡方程為 學(xué)生在引導(dǎo)下討論解決問(wèn)題的方法。 學(xué)生在引導(dǎo)下再次挖掘幾何關(guān)系的深層含義，尋找新的切入點(diǎn)。 在解決問(wèn)題的過(guò)程中指出直接法可以解決問(wèn)題，但是計(jì)算量太大，應(yīng)該更深刻地挖掘幾何關(guān)系尋找簡(jiǎn)化問(wèn)題方法的鑰匙。 體會(huì)定義法與直接法的各自使用特點(diǎn)。 流程 教師活動(dòng) 學(xué)生行為 設(shè)計(jì)意圖 思考 【思考】 點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，0），B坐標(biāo)為（1，0），⊙A直徑為2 cm，⊙B直徑為6 cm，⊙P與⊙A外切，與⊙B內(nèi)切,求⊙P的圓心軌跡方程。

16、 本題作為課后延伸意在對(duì)學(xué)生水平的進(jìn)一步提升，教師只作必要的點(diǎn)評(píng)和引導(dǎo)。 流程 教師活動(dòng) 學(xué)生行為 設(shè)計(jì)意圖 課堂小結(jié) 定義法 n 若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求 n 處理“有形可尋”的軌跡 n 判 設(shè) 求 檢 直接法 n 直接法 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何關(guān)系已知或容易被找到時(shí) ，將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)代入幾何關(guān)系（即將幾何關(guān)系坐標(biāo)化），便可求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。 n 處理“無(wú)形有關(guān)系”的軌跡 n 建系à設(shè)點(diǎn)à列方程à化簡(jiǎn)à檢驗(yàn) 對(duì)所學(xué)習(xí)知識(shí)的梳理和總結(jié)，鞏固所學(xué)知識(shí)。 課后作業(yè)

17、課本p50.2 p50.3 《教材訓(xùn)練》橢圓部分b類題 便于及時(shí)了解學(xué)生學(xué)習(xí)效果，調(diào)整教學(xué)安排。 教案說(shuō)明 本節(jié)課是“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”是高中《數(shù)學(xué)》必修2.1.1第2課時(shí)的內(nèi)容。 教前準(zhǔn)備為：ppt主講課件，幾何畫(huà)板輔助課件，多媒體展示臺(tái)，黑板。 計(jì)劃時(shí)間分配：本教案主要分為三大環(huán)節(jié)為：復(fù)習(xí)，新課，延伸。時(shí)間安排上計(jì)劃對(duì)應(yīng)為：10分鐘，22分鐘，10分鐘以及3分鐘小結(jié)，共45分鐘。對(duì)大多數(shù)的面上中學(xué)的學(xué)生要留有足夠的時(shí)間讓學(xué)生演算，以提高其計(jì)算能力。 教學(xué)：教學(xué)過(guò)程中堅(jiān)持“以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)”的原則，即“以學(xué)生活動(dòng)為主，教師講述為輔，學(xué)生活動(dòng)在前，教師點(diǎn)撥評(píng)價(jià)在后”的原則，根據(jù)學(xué)生的心理發(fā)展規(guī)律，聯(lián)系實(shí)際安排教學(xué)內(nèi)容，用探究以及多媒體的形式充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的原則。而回歸現(xiàn)實(shí)，舉出奧運(yùn)會(huì)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)館“鳥(niǎo)巢”一例更體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)是有用的”這句話。 筆者認(rèn)為作為數(shù)學(xué)課，單純靠多媒體技術(shù)是不行的，在課堂教學(xué)中重要的推演還是要依賴傳統(tǒng)的教學(xué)工具：粉筆與黑板，因此在引導(dǎo)學(xué)生突破本節(jié)課的難點(diǎn)：如何把幾何關(guān)系坐標(biāo)化以及辨認(rèn)“定義法求軌跡方程”與“直接法求軌跡方程”的解題環(huán)境的時(shí)候用板演的形式代替多媒體教學(xué)，以期得到更好的效果。 2022年2月14日 第 8 頁(yè) 共 8頁(yè)