高考數(shù)學專題?？汲Ｐ碌姆侄魏瘮?shù)備戰(zhàn)高考數(shù)學之高三復習大一輪熱點聚焦與擴展

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1、 專題07 ?？汲Ｐ碌姆侄魏瘮?shù) 【熱點聚焦與擴展】 分段函數(shù)是函數(shù)中比較復雜的一種函數(shù)，其要點在于自變量取不同范圍的值時所使用的解析式不同，所以在解決分段函數(shù)的問題時要時刻盯著自變量的范圍是否在發(fā)生變化.即“分段函數(shù)——分段看”.高考關于分段函數(shù)的考查，往往與函數(shù)的圖象和性質相結合，有時以小題的面目出現(xiàn)，有時滲透于解答題之中.分段函數(shù)表示一個函數(shù)，不是幾個函數(shù)，從近幾年高考命題看，考查力度有加大趨勢，與之相關的題目，往往有一定的難度，關鍵是與基本初等函數(shù)結合，要求不但要理解分段函數(shù)的概念，更要掌握基本初等函數(shù)的圖象和性質． 1、分段函數(shù)的定義域與值域——各段的并集. 2、分段函數(shù)單

2、調性的判斷：先判斷每段的單調性，如果單調性相同，則需判斷函數(shù)是連續(xù)的還是斷開的，如果函數(shù)連續(xù)，則單調區(qū)間可以合在一起，如果函數(shù)不連續(xù)，則要根據(jù)函數(shù)在兩段分界點出的函數(shù)值（和臨界值）的大小確定能否將單調區(qū)間并在一起. 3、分段函數(shù)對稱性的判斷：如果能夠將每段的圖像作出，則優(yōu)先采用圖像法，通過觀察圖像判斷分段函數(shù)奇偶性。如果不便作出，則只能通過代數(shù)方法比較的關系，要注意的范圍以代入到正確的解析式. 4、分段函數(shù)分析要注意的幾個問題 （1）分段函數(shù)在圖像上分為兩類，連續(xù)型與斷開型，判斷的方法為將邊界值代入每一段函數(shù)（其中一段是函數(shù)值，另外一段是臨界值），若兩個值相等，那么分段函數(shù)是連續(xù)的.否則

3、是斷開的.例如：，將代入兩段解析式，計算結果相同，那么此分段函數(shù)圖像即為一條連續(xù)的曲線，其性質便于分析.再比如 中，兩段解析式結果不同，進而分段函數(shù)的圖像是斷開的兩段. （2）每一個含絕對值的函數(shù)，都可以通過絕對值內部的符號討論，將其轉化為分段函數(shù).例如：，可轉化為： 5、遇到分段函數(shù)要時刻盯住變量的范圍，并根據(jù)變量的范圍選擇合適的解析式代入，若變量的范圍并不完全在某一段中，要注意進行分類討論. 6、如果分段函數(shù)每一段的解析式便于作圖，則在解題時建議將分段函數(shù)的圖像作出，以便必要時進行數(shù)形結合. 【經(jīng)典例題】 例1【2017山東，文9】設,若,則（ ） A. 2

4、 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【名師點睛】求分段函數(shù)的函數(shù)值,首先要確定自變量的范圍,然后選定相應關系式代入求解；當給出函數(shù)值或函數(shù)值的取值范圍求自變量的值或自變量的取值范圍時,應根據(jù)每一段解析式分別求解,但要注意檢驗所求自變量的值或取值范圍是否符合相應段的自變量的值或取值范圍． 例2【2017天津，文8】已知函數(shù)設，若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是（ ） （A）（B）（C）（D） 【答案】 【解析】 【名師點睛】一般不等式恒成立求參數(shù)1.可以選擇參變分離的方法，轉化為求函數(shù)最值的問

5、題；2.也可以畫出兩邊的函數(shù)圖象，根據(jù)臨界值求參數(shù)取值范圍；3.也可轉化為的問題，轉化討論求函數(shù)的最值求參數(shù)的取值范圍. 例3.已知，則下列選項錯誤的是（ ） A. ①是的圖像 B. ②是的圖像 C. ③是的圖像 D. ④是的圖像 【答案】D 例4.函數(shù)，則下列結論正確的是（ ） A. 函數(shù)在上為增函數(shù) B. 函數(shù)的最小正周期為4 C. 函數(shù)是奇函數(shù) D. 函數(shù)無最小值 【答案】A

6、【名師點睛】（1）本題利用數(shù)形結合是最為簡便的方法，一方面是因為本身便于作圖，另一方面四個選項在圖上也有具體的含義. （2）分段函數(shù)作圖過程中，尤其在函數(shù)圖象斷開時，一定要注意端點處屬于哪個解析式.本題中就屬于部分，所以才存在最小值. 例5【2017課標3，文理】設函數(shù)則滿足的x的取值范圍是_________. 【答案】 寫成分段函數(shù)的形式：， 函數(shù) 在區(qū)間 三段區(qū)間內均單調遞增， 且： ， 據(jù)此x的取值范圍是： . 【名師點睛】(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應從內到外依次求值. (

7、2)當給出函數(shù)值求自變量的值時，先假設所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應段自變量的取值范圍. 例6【2018屆河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次考評】已知函數(shù)（且），若有最小值，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 故選. 例7【2018屆四川省廣元市高高三第二次統(tǒng)考】已知函數(shù)，方程有四個不同的根，記最大的根的所有取值為集合，若函數(shù)有零點，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】畫出圖象如下

8、圖所示,由圖可知,,令得,即與有交點,當過時斜率最小,為,當與相切時,斜率最大.設切點為,,故斜率為,故有斜率為.故選. 【名師點睛】本小題主要考查分段函數(shù)的圖象與性質,考查函數(shù)的零點問題,考查利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題,考查求函數(shù)的切線方程的方法.分段函數(shù)的圖象需要分成兩段來畫出,有四個零點等價于和有四個不同的交點.在利用導數(shù)求切線方程時,要注意已知點是切點還是曲線外一點. 例8【2018屆廣西高三下學期第二次模擬】若函數(shù)是在上的減函數(shù)，則的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】由題意可得，則. 例9【2018屆北京市朝陽區(qū)高三3月一?！恳阎?，函數(shù)當時，函數(shù)的最大

9、值是_____；若函數(shù)的圖象上有且只有兩對點關于軸對稱，則的取值范圍是______． 【答案】 點，即方程有兩個正根，即函數(shù)有兩個零點，利用導數(shù)研究函數(shù)圖像的走向，從而確定出所求的參數(shù)的取值范圍是. 例10【2018屆北京市匯文實驗中學高三九月月考】已知函數(shù),若函數(shù)的圖像經(jīng)過點,則___________;若函數(shù)滿足對任意,都有成立,那么實數(shù)的取值范圍是___________. 【答案】 【解析】函數(shù)的圖象經(jīng)過點， ，則，解得 函數(shù)滿足對任意,都有成立 為減函數(shù) 時，為減函數(shù)，則，且 時，為減函數(shù)， 故，， 且時，，則 綜上所述可得實數(shù)的取值范圍是 【名師點睛

10、】本題主要考查的是函數(shù)的連續(xù)性以及函數(shù)單調性的性質，還考查了分段函數(shù)的解析式的求法及其圖象的作法。對于函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且，即可求得；對于，根據(jù)所給條件可得為減函數(shù)，只要考慮時的單調性即可。 【精選精練】 1【2018屆河南省南陽市第一中學高三第十二次考】設函數(shù)若,則實數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】C 2【2018屆河北省邯鄲市高三一?！咳艉瘮?shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意得 ，選A. 3．函數(shù)有且只有一個零點的充分不必要條件是 A

11、. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】函數(shù)，當時，由，得，解得. 由題意可知，當時，無解，即無解，因為,所以或. 所以是或的充分不必要條件. 故選A. 4【2018年山西省高考測試】定義在上的函數(shù)滿足，且當時，.若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 將代入可得： 解得： 則實數(shù)的最大值是 故選 點睛：本題考查的知識點主要是分段函數(shù)的應用以及函數(shù)奇偶性的性質。分析當時，當時，可得函數(shù)的單調性，由偶函數(shù)的性質可得，結合二次函數(shù)的圖象和不等式恒成立思想，解不等式

12、即可得到所求最大值。 5【2018屆江西省高三六校聯(lián)考】已知則=__________. 【答案】2 【解析】∵=，∴ 故答案為：2. 【名師點睛】(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應從內到外依次求值． (2)當給出函數(shù)值求自變量的值時，先假設所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應段自變量的取值范圍． 6【2018年陜西省高三檢測（二）】設函數(shù)則的值為__________． 【答案】 7．【2018屆陜西省咸陽市高三二?！?/p>

13、已知函數(shù)，則__________． 【答案】 【解析】由函數(shù)，得. 又，所以. 所以. 故答案為：4. 8【2018屆吉林省長春市普通高中高三質量監(jiān)測（三）】已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是___________. 【答案】 9【2018屆陜西省西安市八校高三上學期第一次聯(lián)考】設函數(shù)，則滿足的的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】①當時，則. ∴，即，此時無解 ②當，則. ∴ ∵ ∴此時恒成立 ③當時，則. ∴ ∵ ∴此時恒成立 綜上所示，滿足的的取值范圍是. 故答案為. 【名師點睛】本題主要考查不等式的求解，結合分段函數(shù)的不等式

14、，解答本題的的關鍵是利用分類討論的數(shù)學思想進行求解，將分， ，三種討論，再結合初等函數(shù)的單調性解答． 10【2018屆江蘇省徐州市高三第一次質量檢測】已知函數(shù)，函數(shù)，則不等式的解集為__________． 【答案】 【解析】函數(shù)f（x）=， 由g（x）≤2，解得﹣2≤x＜﹣1； ③當﹣1≤x≤1時，﹣1≤﹣x≤1， 可得g（x）=1﹣x+1+x=2， 由g（x）≤2，解得﹣1≤x≤1， 綜上可得，原不等式的解集為[﹣2，2]． 故答案為：[﹣2，2]． 11【2018屆山西省榆社中學高三診斷性模擬】設函數(shù)，若，則的最大值為_______. 【答案】8 【解析】由題意，因為，所以，則，若時，有，則，此時的最大值為8，從而問題可得解. 12.已知函數(shù)若直線與函數(shù)的圖象只有一個交點,則實數(shù)的取值范圍是________. 【答案】或 【解析】作出函數(shù)f(x)的圖象如圖, 內容總結