數(shù)學(xué)第二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)第二部分 專(zhuān)題九極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法

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1、專(zhuān)專(zhuān) 題題 九九 極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法法數(shù)學(xué)第二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)第二部分?jǐn)?shù)學(xué)第二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)第二部分應(yīng)試策略應(yīng)試策略 考題剖析考題剖析 試題特點(diǎn)試題特點(diǎn) 極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法030611 1.近三年高考各試卷極限與導(dǎo)數(shù)考查情況統(tǒng)計(jì) 2006年高考各地的18套試卷中，有14道導(dǎo)數(shù)題，其中考查求導(dǎo)法則的有5道，考查極限的有5道，考查單調(diào)性的有8道，考查極 值的有5道，與不等式綜合的有5道，與函數(shù)綜合的有6道. 2007年高考各地的19套試卷中，每卷都涉及到導(dǎo)數(shù)問(wèn)題,有7道涉及到導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合,有15道涉及到函數(shù).其中4道還涉及到函數(shù)的應(yīng)用需用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決,有

2、4道涉及到數(shù)列,主要是考導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值和單調(diào)性問(wèn)題,在這些試卷中尤以遼寧卷、湖南卷對(duì)導(dǎo)數(shù)極限的考查要求較高，遼寧有3道試題涉及到導(dǎo)數(shù)，而且是綜合題，一道是函數(shù)、數(shù)列、極限、導(dǎo)數(shù)綜合，一道是函數(shù)、單調(diào)性、不等式、導(dǎo)數(shù)的綜合，一道是函數(shù)應(yīng)用、概率、導(dǎo)數(shù)綜合.由此可見(jiàn),對(duì)導(dǎo)數(shù)工具性的考查在增強(qiáng),對(duì)導(dǎo)數(shù)綜合運(yùn)用要求在加強(qiáng).試題特點(diǎn)試題特點(diǎn)極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法 2. 主要特點(diǎn) (1)極限在初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間起著重要的銜接作用，是從初等數(shù)學(xué)的思維方式到高等數(shù)學(xué)的思維方式的質(zhì)的轉(zhuǎn)變，因此在重點(diǎn)考查思維方法的高考命題中常把極限作為最好的命題素材 之一. (2)導(dǎo)數(shù)是中學(xué)選修內(nèi)容

3、中最為重要的內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)為解決函數(shù)問(wèn)題、曲線問(wèn)題提供了一般性的方法，由于導(dǎo)數(shù)可與函數(shù)、不等式等許多知識(shí)進(jìn)行整合，有利于在“知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)”處命題，合理設(shè)計(jì)綜合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的試題，考查分類(lèi)整合、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，因此，近幾年來(lái)加大了導(dǎo)數(shù)的考查力度.主要有如下 幾方面：試題特點(diǎn)試題特點(diǎn)極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，或判定函數(shù)的單調(diào)性； 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值； 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題; 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)不等式問(wèn)題. （3）重視有限與無(wú)限思想的考查. 客觀世界是有限與無(wú)限的統(tǒng)一體，我們既可以通過(guò)有限來(lái)把握無(wú)限.也可以借助無(wú)限來(lái)確定有限，即“從與對(duì)立面的統(tǒng)

4、一中去把握對(duì)立面”.數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列極限、函數(shù)極限等都是由有限把握無(wú)限的極好例證.隨著高中數(shù)學(xué)課程改革的逐步深入，對(duì)有限與 無(wú)限思想的考查力度會(huì)不斷加大，這是高考命題的一個(gè)新趨勢(shì).試題特點(diǎn)試題特點(diǎn)極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法應(yīng)應(yīng) 試試 策策 略略 1.求數(shù)列極限的基本方法是，通過(guò)適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)或變形(如求和、求積、有理化分子或分母、分子分母同除n的最高次冪或同除分子或分母中底數(shù)絕對(duì)值最大的冪等)，將復(fù)雜數(shù)列極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單數(shù)列極限問(wèn)題，再利用 =0(k0)或 qn=0(|q|1)等重要極限及四則運(yùn)算法則，求出所求式的極限. 解決數(shù)列的極限問(wèn)題還應(yīng)運(yùn)用數(shù)列的有關(guān)知識(shí)與技能，注意結(jié)合

5、直覺(jué)、聯(lián)想、猜測(cè)及分類(lèi)討論等思維方法.應(yīng)試策略應(yīng)試策略極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法nlimkn1nlim 2.函數(shù)極限是數(shù)列極限的拓廣、延伸.函數(shù)極限與數(shù)列極限有類(lèi)似的四則運(yùn)算法則，求函數(shù)極限的基本思想也是轉(zhuǎn)化、化歸.實(shí)施轉(zhuǎn)化時(shí)，可注意類(lèi)比、借鑒求數(shù)列極限的一些 方法與技能. 3.求導(dǎo)數(shù)有兩種方法：一是利用導(dǎo)數(shù)定義；二是利用基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求 導(dǎo)，常用后一種方法.極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法應(yīng)試策略應(yīng)試策略 4.要重視導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問(wèn)題或?qū)嶋H問(wèn)題時(shí)的應(yīng)用. (1)求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法： 確定函數(shù)f(x)的定義域; 求方程f

6、(x)=0的解，這些解和f(x)的間斷點(diǎn)把定義域分成若干區(qū)間； 研究各小區(qū)間上f(x)的符號(hào)，f(x)0時(shí)，該區(qū)間為增區(qū)間，反之則為減區(qū)間.應(yīng)試策略應(yīng)試策略極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法 (2)求函數(shù)極值點(diǎn)時(shí)，可能出現(xiàn)極值的點(diǎn)是f(x)=0或使f(x)不存在的點(diǎn)，注意f(x)=0不是有極值的充分條件. (3)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值時(shí)不要忘記極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小比較. (4)解最值應(yīng)用題時(shí)，要認(rèn)真審題，分析各量的關(guān)系，列出函數(shù)y=f(x), 并確定定義域，然后按照步驟求函數(shù)的最值，最后根據(jù)實(shí)際意義作答.若f(x)在定義域區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn)，則這個(gè)極值點(diǎn)一定是最值

7、點(diǎn).應(yīng)試策略應(yīng)試策略極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法考考 題題 剖剖 析析 1.設(shè)首項(xiàng)為1，公比為q(q0)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn, 又Tn= , n=1,2,3，求 Tn.考題剖析考題剖析極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法1nnSSnlim 解析當(dāng)q=1時(shí)，Sn=n,Tn= , Tn=1.當(dāng)q1時(shí)，Sn= ,Tn= ,當(dāng)0q1時(shí)， qn=0, Tn=1.當(dāng)q1時(shí)， Tn=1nnnlimqqn11111nnqqnlimnlim.1)1(1)1(qqqqnnnlimnlim 綜上所述， Tn=考題剖析考題剖析極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法nlim. 1,1

8、, 10, 1qqq 點(diǎn)評(píng)本題考查了等比數(shù)列前n項(xiàng)和及數(shù)列極限的求法，考查了分類(lèi)與整合的思想方法.等比數(shù)列求和公式限制在q1的條件下，此題沒(méi)有指出q1，故要對(duì)q進(jìn)行討論，在求 Tn時(shí)，必須求 qn, 只有當(dāng)|q|1時(shí)有極限，而此題 q0，故需對(duì)q進(jìn)行討論.nlimnlim考題剖析考題剖析極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法 2. (1)已知 ( n)=b,求a,b的值； (2)已知 = n, 求m,n的值. 解析(1)原式= = 當(dāng)且僅當(dāng)a=3時(shí)，有極限，b= ,故所求a，b的值為a=3，b= .132nannlim222xmxx13) 3(2nnnanlim,131) 3(bnnan

9、lim31312limx考題剖析考題剖析極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法 (2) = n.可知x2+mx+2是含x+2的因式.x=2是方程x2+mx+2=0的根，代入求得m=3, n=1.222xmxx 點(diǎn)評(píng)本例是求極限的逆思維，思路新穎，方法靈活.2limx考題剖析考題剖析極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法 3.（2007湖南張家界質(zhì)檢題）設(shè)a0，f(x)=x1ln2 x2alnx（x0）. （）令F（x）xf（x），討論F（x）在（0,）內(nèi)的單調(diào)性并求極值； （）求證：當(dāng)x1時(shí)，恒有xln2x2alnx1. 解析（）根據(jù)求導(dǎo)法則有f(x)=1 ，x0，故F(x)=xf

10、(x)=x2lnx+2a，x0，于是F(x)=1 ，x0. 列表如下： 故知F(x)在(0，2)內(nèi)是減函數(shù)，在(2，+)內(nèi)是增函數(shù)，所以，在x=2處取得極小值F(2)=22ln2+2a.xaxx2ln2xxx22x(0,2)2(2,+)F(x)0+F(x)極小值F(2)考題剖析考題剖析極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法 （）證明：由a0知，F(xiàn)(x)的極小值F(2)=22ln2+2a0.于是由上表知，對(duì)一切x(0，+)，恒有F(x)=x , f(x)0.從而當(dāng)x0時(shí)，恒有f(x)0，故f(x)在(0，+)內(nèi)單調(diào)增加.所以當(dāng)x1時(shí)，f(x)f(1)=0，即x1ln2x+2alnx0. 故

11、當(dāng)x1時(shí)，恒有xln2x2alnx+1. 點(diǎn)評(píng)本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和證明不等式的方法，考查綜合運(yùn) 用有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.考題剖析考題剖析極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法 4.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx23x, 其圖象在橫坐標(biāo)為1的兩點(diǎn)處的切線均與x軸平行. （1）求函數(shù)f(x)的解析式； （2）對(duì)于區(qū)間1，1上任意兩個(gè)自變量的值x1, x2，都有|f(x1)f(x2)|k，試求k的最小值； （3）若過(guò)點(diǎn)A（1，m）（m2）可且僅可作曲線y=f(x)的一條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 考題剖析考題剖析極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)

12、解答題的解法 解析(1) f(x)=3ax2+2bx3，依題意，f(1)=f(1)=0即 解得a=1,b=0. f(x)=x33x. （2）f(x)=x33x, f(x)=3x23=3(x+1)(x1)當(dāng) 1x1時(shí)，f(x)0，故f(x)在區(qū)間1,1上為減函數(shù)，f(x)max=f(1)=2, f(x)min=f(1)=2對(duì)于區(qū)間1，1上任意兩個(gè)自變量的值x1, x2都有|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min|2(2)=4. 即 |f(x1)f(x2)|max=4.k4 k的最小值為4 .,03230323baba考題剖析考題剖析極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法 （3）

13、f(x)=3x23=3(x+1)(x1)曲線方程為y=x33x，點(diǎn)A（1，m）不在曲線上.設(shè)切點(diǎn)為M（x0, y0），則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足y0=x303x0 因f(x0)=3(x201)，故切線的斜率為 k=3(x201)=kAM=整理得2x303x20+m+3=0（*注：也可以先寫(xiě)出切線方程，然后將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得到左式）過(guò)點(diǎn)A（1，m）僅可作曲線的一條切線，關(guān)于x0方程2x303x20+m+3=0有且僅有一個(gè)實(shí)根.130003xmxx考題剖析考題剖析極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法設(shè)g(x0 ) = 2x303x20+m+3，則g(x0 ) = 6x206x0，令g(x0)0得x0

14、1或x00, 令g(x0)0得0 x01函數(shù)g(x0 ) = 2x303x20+m+3在區(qū)間(，0)和(1，+)為增函數(shù)，在(0，1)上為減函數(shù)，g(x0)的極大、極小值點(diǎn)分別為x0=0, x0=1g(x)不是單調(diào)函數(shù)，關(guān)于x0方程2x303x20+m+3 = 0有且僅有一個(gè)實(shí)根的充要條件是：g(x)極大=g(0)=m+30,m3或g(x)極小=g(1)=2+m0, m2故所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是m|m3或m2 點(diǎn)評(píng)只有深刻理解概念的本質(zhì)，才能靈活應(yīng)用概念解題.解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是等價(jià)變形.考題剖析考題剖析極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法 5.（2007成都市質(zhì)檢二）已知函數(shù)f(x

15、)= (mR, e=2.718 28是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）. （）求函數(shù)f(x)的極值； （）當(dāng)x0時(shí)，設(shè)f(x)的反函數(shù)為f 1(x), 對(duì)0pq,試比較 f (qp)、f1(qp)及f1(q)f1(p)的大小.0,310, 123xmxxxex 解析（）當(dāng)x0時(shí)，f(x)=ex1在(0,+)上單調(diào)遞增，且f(x)=ex10； 當(dāng)x0時(shí)，f(x)= x3+mx2， 此時(shí)f(x)=x2+2mx=x(x+2m).31考題剖析考題剖析極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法 （1）若m=0時(shí)，f(x)=x20, 則f(x)= x3在(,0上單調(diào)遞增，且f(x)= x30. 又f(0)=0，可知函數(shù)

16、f(x)在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值. （2）當(dāng)m0，令f(x)=x(x+2m)0 x0或x2m.（舍去） 函數(shù)f(x)= x3+mx2在(,0上單調(diào)遞增， 同理，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，無(wú)極值. 313131考題剖析考題剖析極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法 （3）若m0, 令f(x)=x(x+2m)0 x0或x2m.函數(shù)f(x)= x3+mx2在(,2m上單調(diào)遞增，在（2m，0上單調(diào)遞減.此時(shí)函數(shù)f(x)在x=2m處取得極大值：f(2m)= m3+4m3= m30；又f(x)在（0，+）上單調(diào)遞增，故在x=0處取得極小值：f(0)=0. 綜上可知，當(dāng)m0時(shí)，f(x)的極大值為 m3

17、，極小值為0；當(dāng)m0時(shí)，f(x)無(wú)極值.31383434考題剖析考題剖析極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法 （）當(dāng)x0時(shí)，設(shè)y=f（x）=ex1 y+1=ex x=ln(y+1).f 1(x)=ln(x+1)(x0). （1）比較f(qp)與f1(qp)的大小.記g(x)=f(x)f1(x)=exln(x+1)1(x0).g(x)=ex 在(0,+)上是單調(diào)遞增函數(shù)，g(x)g(0)=e0 =0恒成立.函數(shù)g(x)在(0,+)上單調(diào)遞增. g(x)g(0)=e0ln(0+1)1=0.當(dāng)0pq時(shí)，有qp0， g(qp)=eqpln(qp+1)10.eqp1ln(qp+1), 即f(qp

18、)f1(qp). 11x101考題剖析考題剖析極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法 （2）比較f1(qp)與f1(q)f1(p)的大小.ln(qp+1)ln(q+1)ln(p+1)=ln(qp+1)ln(q+1)+ln(p+1)=ln =ln =ln .0pq. 1, 故ln 0.ln(qp+1)ln(q+1)ln(p+1),f1(qp)f1(q)f1(p). 11ln1) 1)(1(2qpppqpqqppq11)(ln112qqpqpqpqpq11)(qpqp11)(qpqp11)(qpqp考題剖析考題剖析極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法 （注：也可用分析法或考察函數(shù) h

19、(x)=ln(xp+1)ln(x+1)+ln(p+1), x(p,+). 求導(dǎo)可知h(x)在（p,+)上單調(diào)遞增，h(x)h(p)恒成立.而h(p)=0, h(x)0 在x(p,+)上恒成立.q(p,+), h(q)0恒成立.） 由可知:當(dāng)0pq時(shí)，有f(qp)f1(qp)f1(q)f1(p). 點(diǎn)評(píng)本題考查分段函數(shù)求極值、分類(lèi)討論的思想、函數(shù)的單調(diào)性、不等式等知識(shí)，考查學(xué)生的綜合解決問(wèn)題的能力.考題剖析考題剖析極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法6.（2007杭州市一模）已知一列非零向量an, nN*, 滿足:a1=(10, 5), an=(xn, yn)=k(xn1yn1, xn1

20、+yn1)，(n2 ). 其中k是非零常數(shù). （1）求數(shù)列|an|的通項(xiàng)公式； （2）求向量an1與an的夾角(n2); （3）當(dāng)k = 時(shí)，把a(bǔ)1，a2，,an，中所有與a1共線的向量按原來(lái)的順序排成一列，記為b1，b2，, bn, , 令 =b1+b2+bn，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求點(diǎn)列Bn的極限點(diǎn)B的坐標(biāo).（注：若點(diǎn)坐標(biāo)為(tn, sn)，且 tn=t， sn=s，則稱(chēng)點(diǎn)B(t，s)為點(diǎn)列的極限點(diǎn).)21nOBnlimnlim考題剖析考題剖析極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法 解析（1）|an|= = = | k | | k | |an1|, (n2)， |a1|=5 . |an|是首

21、項(xiàng)為5 公比為 | k |的等比數(shù)列. | an |= 5 ( | k |)n122nnyx )()(2112112nnnnyxyxk222121nnyx, 0|2|1knnaa55522 （2）anan1=k(xn1yn1, xn1+yn1)(xn1, yn1) =k(xn1 2 + yn1 2)= k |an1|2. cosan, an1= = , 當(dāng)k0時(shí)，an, an1= ， 當(dāng)k0時(shí)，an, an1= .|121nnnkaaa022022kk443考題剖析考題剖析極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法考題剖析考題剖析極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法 (3) 當(dāng)k =

22、 時(shí)，由（2）知： 4an, an1= ,每相隔3個(gè)向量的兩個(gè)向量必共線，且方向相反，與向量a1共線的向量為：a1, a5, a9, a13,b1, b2, b3, b4,記an的單位向量為 ，則a1= |a1| ,則an= |an| = |a1|(| k |)n1bn=a4n3= |a1|(| k |)4n4=a1(4|k|4 )n1 =(10,5 ) ( )n1210na0na0na0na0na41設(shè) =(tn, sn), 則tn = 101+( )+( )2+( )n1=10 tn=8， sn=5點(diǎn)列Bn的極限點(diǎn)B的坐標(biāo)為( 8,4 ).nOB414141,)41(1)41(1nnlimnlim. 4)41(11考題剖析考題剖析極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法極限、導(dǎo)數(shù)解答題的解法