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1、不等式證明
例1：設(shè)，求證：
分析：發(fā)現(xiàn)作差后變形、判斷符號(hào)較為困難?？紤]到兩邊都是正數(shù)，可以作商，判斷比值與1的大小關(guān)系，從而證明不等式。
證明：，∵，∴∴
∴又∵，∴。
說(shuō)明：此題考查不等式的證明方法——比擬法(作商比擬法)。作商比擬法證明不等式的步驟是：判斷符號(hào)、作商、變形、判斷與1的大小。
例2：對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，求證〔當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)〕。
分析：這個(gè)題假設(shè)使用比擬法來(lái)證明，將會(huì)很麻煩，因?yàn)?，所要證明的不等式中有，展開(kāi)后很復(fù)雜。假設(shè)使用綜合法，從重要不等式：出發(fā)，再恰當(dāng)?shù)乩貌坏仁降挠嘘P(guān)性質(zhì)及“配方〞的技巧可得到證明。
證明：∵ 〔當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)〕
兩邊同加，即：〔1
2、〕
又：∵〔當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)〕，
兩邊同加
∴，∴〔2〕
由〔1〕和〔2〕可得〔當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)〕。
說(shuō)明：此題參考用綜合法證明不等式。綜合法證明不等式主要是應(yīng)用均值不等式來(lái)證明，要注意均值不等式的變形應(yīng)用，一般式子中出現(xiàn)有平方和乘積形式后可以考慮用綜合法來(lái)解。
例3：假設(shè)，證明，〔且〕。
分析1：用作差法來(lái)證明。需分為和兩種情況，去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后比擬法證明。
解法1：當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?
所以。
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?
所以。
綜上，。
分析2：直接作差，然后用對(duì)數(shù)的性質(zhì)來(lái)去絕對(duì)值符號(hào)。
解法2：作差比擬法。因?yàn)?
，
所以。
說(shuō)明：解法1用分類(lèi)相當(dāng)于增設(shè)了條件，便
3、于在變形中脫去絕對(duì)值符號(hào)；解法2用對(duì)數(shù)性質(zhì)〔換底公式〕也能到達(dá)同樣的目的，且不必分而治之，其解法自然簡(jiǎn)捷、明快。
補(bǔ)充：〔比擬法〕，求證：。
解法1：。
因?yàn)?，所以，，所以?
所以，，命題得證。
解法2：因?yàn)?，所以，?
所以，，
由解法1可知：上式。故命題得證。
例4：、、，，求證
分析 顯然這個(gè)題用比擬法是不易證出的。假設(shè)把通分，那么會(huì)把不等式變得較復(fù)雜而不易得到證明。由于右邊是一個(gè)常數(shù)，故可考慮把左邊的式子變?yōu)榫哂小暗箶?shù)〞特征的形式，比方，再利用“均值定理〞就有可能找到正確的證明途徑，這也常稱為“湊倒數(shù)〞的技巧。
證明：∵∴
∵，同理：，。
∴
說(shuō)明：此
4、題考查了變形應(yīng)用綜合法證明不等式。題目中用到了“湊倒數(shù)〞，這種技巧在很多不等式證明中都可應(yīng)用，但有時(shí)要首先對(duì)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形，以期到達(dá)可以“湊倒數(shù)〞的目的。
例5：，求證：0。
分析：此題直接入手不容易，考慮用分析法來(lái)證明，由于分析法的過(guò)程可以用綜合法來(lái)書(shū)寫(xiě)，所以此題用兩種方法來(lái)書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程。
〔分析法書(shū)寫(xiě)過(guò)程〕證明1：為了證明0
只需要證明
∵∴∴0
∴成立∴0成立
〔綜合法書(shū)寫(xiě)過(guò)程〕證明2：∵∴
∴，0，∴成立，∴0成立
說(shuō)明：學(xué)會(huì)分析法入手，綜合法書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程，但有時(shí)這兩種方法經(jīng)?；煸谝黄饝?yīng)用，混合應(yīng)用時(shí)，應(yīng)用語(yǔ)言表達(dá)清楚。
例6：，求證：。
分析：欲證不等式看起
5、來(lái)較為“復(fù)雜〞，宜將它化為較“簡(jiǎn)單〞的形式，因而用分析法證明較好。
證明：欲證，只須證。
即要證，即要證。
即要證，即要證。
即要證，即，即要證〔*〕
∵，∴〔*〕顯然成立，故
說(shuō)明：分析法證明不等式，實(shí)質(zhì)上是尋求結(jié)論成立的一個(gè)充分條件。分析法通常采用“欲證—只要證—即證—〞的格式。
例7：設(shè)是正整數(shù)，求證。
分析：要求一個(gè)項(xiàng)分式的范圍，它的和又求不出來(lái)，可以采用“化整為零〞的方法，觀察每一項(xiàng)的范圍，再求整體的范圍。
證明：由，得。
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，......
當(dāng)時(shí)，，∴。
說(shuō)明1：用放縮法證明不等式，放縮要適應(yīng)，否那么會(huì)走入困境。例如證明。由，如果從第3項(xiàng)開(kāi)始放縮
6、，正好可證明；如果從第2項(xiàng)放縮，可得小于2。當(dāng)放縮方式不同，結(jié)果也在變化。
說(shuō)明2：放縮法一般包括：用縮小分母，擴(kuò)大分子，分式值增大；縮小分子，擴(kuò)大分母，分式值縮??；全量不少于局部；每一次縮小其和變小，但需大于所求，第一次擴(kuò)大其和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮過(guò)頭，同時(shí)放縮后便于求和。
例8：求證。
證明：∵，
∴。
說(shuō)明：此題證明過(guò)程并不復(fù)雜，但思路難尋。此題所采用的方法也是解不等式時(shí)常用的一種方法，即放縮法。這類(lèi)題目靈活多樣，需要巧妙變形，問(wèn)題才能化隱為顯，這里變形的這一步極為關(guān)鍵。
例9：證明不等式：，。
講解：此題為與自然數(shù)有關(guān)的命題，故可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明。
解法1：①當(dāng)時(shí)命題成立。
②假設(shè)時(shí)命題成立，即：。
那么當(dāng)時(shí)，不等式的左端
不等式的右端。
由于
。
所以，，即時(shí)命題也成立。
由①②可知：原不等式得證。
從上述證法可以看出：其中用到了這一事實(shí)，從而到達(dá)了和之間的轉(zhuǎn)化，也即和之間的轉(zhuǎn)化，這就提示我們，此題是否可以直接利用這一關(guān)系進(jìn)行放縮？觀察原不等式，假設(shè)直接證明，直接化簡(jiǎn)是不可能的，但如果利用進(jìn)行放縮，那么可以到達(dá)目的，由此得解2。
解法2：因?yàn)閷?duì)于任意自然數(shù)，都有，所以，，從而不等式得證。
2021屆廣州市天河高考一輪《不等式證明》復(fù)習(xí)檢測(cè)試題含答案
