3、列命題中正確的是( )
A．若a，b，c∈R，且a>b，則ac2>bc2
B．若a，b∈R，且a·b≠0，則＋≥2
C．若a，b∈R，且a>|b|，則an>bn(n∈N*)
D．若a>b，c>d，則>
[答案] C
[解析] 當(dāng)c＝0時(shí)，A不成立；當(dāng)ab<0時(shí)，＋≤－2，B不成立；若dc＝0，>不成立，D不成立，故選C.
4．(2011·湖北理，8)已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，若x，y滿足不等式|x|＋|y|≤1，則z的取值范圍為( )
A．[－2,2] B．[－2,3]
C．[－3,2] D．[－3,3]
[答案] D
[解析]
4、∵a⊥b，∴a·b＝0，即(x＋z,3)·(2，y－z)＝0，
∴z＝2x＋3y
不等式|x|＋|y|≤1表示如圖所示平面區(qū)域．
作直線l0：2x＋3y＝0，平移l0過(guò)點(diǎn)A(0,1)時(shí)z取最大值3.
平移l0過(guò)點(diǎn)C(0，－1)時(shí)，z取最小值－3，
∴z∈[－3,3]．
5．(2011·西安模擬)觀察下列數(shù)表規(guī)律：
012345678910111213141516
則從數(shù)2011到2012的箭頭方向是( )
A．2011 B．2011
C．2011 D．2011
[答案] D
[解析] 由圖可以看出，每隔4個(gè)數(shù)，箭頭方向相同，可認(rèn)為T＝4，又2011＝502×4＋3
5、，所以2011處的箭頭方向同數(shù)字3處的箭頭方向，故選D.
6．(2011·重慶理，7)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則y＝＋的最小值是( )
A.B．4
C.D．5
[答案] C
[解析]∵a＋b＝2，∴＋＝1，
∴y＝＋＝＝＋＋，
∵a>0，b>0，∴＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)
＝，且a＋b＝2，即a＝，b＝時(shí)取得等號(hào)，
∴y的最小值是，選C.
7．(文)(2011·北京文，6)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入A的值為2，則輸出的P值為( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] C
[解析]P＝1，S＝1―→P＝2，S＝1＋＝―→P＝3，S＝＋
6、＝―→P＝4，S＝＋＝>2，所以輸出P＝4.
(理)(2011·北京理，4)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為( )
A．－3 B．－
C.D．2
[答案] D
[解析] 由框圖知得：i：0→1→2→3→4，則s：2→→－→－3→2.選D.
8．(2011·新課標(biāo)理，1)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是( )
A．－i B.i
C．－i D．i
[答案] C
[解析] 依題意：＝＝－＝i，∴其共軛復(fù)數(shù)為－i，選C.
9．(文)(2011·天津文，3)閱讀下邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入x的值為－4，則輸出y的值為( )
A．0.5 B．1
C．2
7、D．4
[答案] C
[解析] 第1次循環(huán)：x＝－4，x＝|－4－3|＝7
第2次循環(huán)：x＝7，x＝|7－3|＝4
第3次循環(huán)：x＝4，x<|4－3|＝1，
y＝21＝2.輸出y.
(理)(2011·天津理，3)閱讀下邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出i的值為( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] B
[解析] 第一次運(yùn)行結(jié)束：i＝1，a＝2
第二次運(yùn)行結(jié)束：i＝2，a＝5
第三次運(yùn)行結(jié)束：i＝3，a＝16
第四次運(yùn)行結(jié)束：i＝4，a＝65，故輸出i＝4，選B.
10．(2011·福建理，8)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(－1,1)，若點(diǎn)M(x，
8、y)為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則·的取值范圍是( )
A．[－1,0] B．[0,1]
C．[0,2] D．[－1,2]
[答案] C
[解析]·＝(－1,1)·(x，y)＝y(tǒng)－x，畫出線性約束條件表示的平面區(qū)域如圖所示．
可以看出當(dāng)z＝y(tǒng)－x過(guò)點(diǎn)D(1,1)時(shí)有最小值0，過(guò)點(diǎn)C(0,2)時(shí)有最大值2，則·的取值范圍是[0,2]，故選C.
11．(2011·四川理，9)某運(yùn)輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車，某天需送往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需載滿且只運(yùn)送一次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運(yùn)送一次可得利
9、潤(rùn)450元；派用的每輛乙型卡車需配1名工人；運(yùn)送一次可得利潤(rùn)350元，該公司合理計(jì)劃當(dāng)天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤(rùn)z＝( )
A．4650元 B．4700元
C．4900元 D．5000元
[答案] C
[解析] 設(shè)派用甲車數(shù)x輛，乙車數(shù)y輛，由題意：約束條件：
，目標(biāo)函數(shù)：z＝450x＋350y
經(jīng)平移9x＋7y＝0得過(guò)A(7,5)利潤(rùn)最大
z＝450×7＋350×5＝4900元，故選C.
12．(文)(2011·陜西二檢)設(shè)O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，＝λ，若·≥·，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是( )
A.≤λ≤1
10、 B．1－≤λ≤1
C.≤λ≤1＋D．1－≤λ≤1＋
[答案] B
[解析] 設(shè)P(x，y)，則由＝λ得，
(x－1，y)＝λ(－1,1)，∴，解得.
若·≥·，則
(x，y)·(－1,1)≥(1－x，－y)·(－x,1－y)，
∴x2＋y2－2y≤0，∴(1－λ)2＋λ2－2λ≤0，
∴1－≤λ≤1＋.
又點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴0≤λ≤1，
∴1－≤λ≤1.故選B.
(理)(2011·山西二模)已知函數(shù)f(x)＝－x3＋px2＋qx＋r，且p2＋3q<0，若對(duì)x∈R都有f(m2－sinx)≥f(m＋＋cosx)成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( )
A．[0,1
11、] B．[2，]
C．[1，] D．[0，]
[答案] A
[解析] 由題知，f′(x)＝－3x2＋2px＋q，
其判別式Δ＝4p2＋12q＝4(p2＋3q)<0，∴f′(x)<0，
∴f(x)在R上單調(diào)遞減．
又f(m2－sinx)≥f(m＋＋cosx)，
∴m2－sinx≤m＋＋cosx，即m2－m－≤sinx＋cosx.
記t＝sinx＋cosx，則問(wèn)題等價(jià)于m2－m－≤tmin.
又t＝sinx＋cosx＝sin(x＋)，x∈R，∴tmin＝－，
所以m2－m－≤－，解得0≤m≤1，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0,1]．
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，
12、共16分，將答案填寫在題中橫線上．)
13．(2011·山東濰坊三模)在各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{an}中，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝(an＋)，則a3＝________，猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．
[答案]－－
[解析] (1)由Sn＝(an＋)可計(jì)算出a1＝1，a2＝－1，a3＝－.
(2)由a1，a2，a3可歸納猜想出an＝－.
14．(文)(2011·浙江理，12)某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的k的值是________．
[答案] 5
[解析] 第一次執(zhí)行循環(huán)體時(shí)，k＝3，a＝44＝64，b＝34＝81，由于a
13、次執(zhí)行循環(huán)體時(shí)，k＝4，a＝44＝256，b＝44＝256，由于a＝b，所以執(zhí)行第三次循環(huán)．
第三次執(zhí)行循環(huán)體時(shí)，k＝5，a＝45＝1024，b＝54＝625，由于a>b，退出循環(huán)結(jié)構(gòu)，輸出k＝5，應(yīng)填：5.
(理)(2011·山東理，13)執(zhí)行下圖所示的程序框圖，輸入l＝2，m＝3，n＝5，則輸出的y的值是________．
[答案] 68
[解析] 依題意，l＝2，m＝3，n＝5，則l2＋m2＋n2≠0，
∴y＝70×2＋21×3＋15×5＝278，又278>105
∴y＝278－105＝173.
又173>105，
∴y＝173－105＝68<105.
∴y＝68.
14、
15．(文)(2011·湖南理，10)設(shè)x，y∈R，且xy≠0，則(x2＋)(＋4y2)的最小值為________．
[答案] 9
[解析]＝1＋4＋＋4x2y2≥5＋2×2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)＝4x2y2時(shí)等號(hào)成立．
(理)(2011·浙江文，16)若實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值是________．
[答案]
[解析] 由x2＋y2＋xy＝1可得，(x＋y)2＝xy＋1
而由均值不等式得xy≤()2
∴(x＋y)2≤()2＋1整理得，(x＋y)2≤1
∴x＋y∈[－，]
∴x＋y的最大值為.
16．(文)(2011·蘇錫常鎮(zhèn)三調(diào))將全體正整數(shù)排成一個(gè)
15、三角形數(shù)陣：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
… … … … … …
根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n(n≥3)行從左至右的第3個(gè)數(shù)是________．
[答案]－＋3(n≥3)
[解析] 該數(shù)陣的第1行有1個(gè)數(shù)，第2行有2個(gè)數(shù)，…，第n行有n個(gè)數(shù)，則第n－1(n≥3)行的最后一個(gè)數(shù)為＝－，則第n行的第3個(gè)數(shù)為－＋3(n≥3)．
(理)(2011·福建二檢)如圖，點(diǎn)P在已知三角形ABC的內(nèi)部，定義有序?qū)崝?shù)對(duì)(μ，υ，ω)為點(diǎn)P關(guān)于△ABC的面積坐標(biāo)，其中μ＝，υ＝，
ω＝；若點(diǎn)Q滿足＝＋，則點(diǎn)Q關(guān)于△ABC的面積坐標(biāo)為__
16、______．
[答案] (，，)
[解析] 由點(diǎn)Q滿足＝＋可知Q到BC、AC、AB三邊的距離分別是三邊相應(yīng)高的，，，所以S△QBC＝s，S△AQC＝s，S△AQB＝s(s為△ABC的面積)．故點(diǎn)Q關(guān)于△ABC的面積坐標(biāo)為(，，)．
三、解答題(本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
17．(本小題滿分12分)若函數(shù)f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
[解析] 解法一：令2x＝t，f(x)有零點(diǎn)，即方程t2＋at＋a＋1＝0，在(0，＋∞)內(nèi)有解．
變形為a＝－＝－[(t＋1)＋]＋2≤2－2，
∴a的范圍是(－∞，2－2
17、]．
解法二：t2＋at＋a＋1＝0在(0，＋∞)內(nèi)有解，
①有兩解，得－1
18、題滿分12分)(2011·安徽理，19)(1)設(shè)x≥1，y≥1，證明x＋y＋≤＋＋xy.
(2)1≤a≤b≤c，證明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.
[證明] (1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋≤＋＋xy?xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
將上式中的右式減左式，得
(y＋x＋(xy)2)－(xy(x＋y)＋1)
＝((xy)2－1)－(xy(x＋y)－(x＋y))
＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)
19、(x－1)(y－1)≥0，從而所要證明的不等式成立．
(2)設(shè)logab＝x，logbc＝y(tǒng)，由對(duì)數(shù)的換底公式得
logca＝，logba＝，logab＝，logac＝xy.于是，
所要證明的不等式即為x＋y＋≤＋＋xy，
其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.
故由(1)立知所要證明的不等式成立．
20．(本小題滿分12分)寫出求滿足1×3×5×7×…×n>50000的最小正整數(shù)n的算法并畫出相應(yīng)的程序框圖．
[解析] 算法如下：
S1 S＝1，i＝3.
S2 如果S≤50000，則執(zhí)行S3，否則執(zhí)行S5.
S3 S＝S×i.
S4 i＝i＋2，返回執(zhí)行S2.
20、S5 i＝i－2.
S6 輸出i.
程序框圖如圖所示：
21．(本小題滿分12分)觀察下表：
1，
2,3
4,5,6,7
8,9,10,11,12,13,14,15，
……
問(wèn)：(1)此表第n行的最后一個(gè)數(shù)是多少？
(2)此表第n行的各個(gè)數(shù)之和是多少？
(3)2012是第幾行的第幾個(gè)數(shù)？
(4)是否存在n∈N*，使得第n行起的連續(xù)10行的所有數(shù)之和為227－213－120？若存在，求出n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
[解析] (1)∵第n＋1行的第1個(gè)數(shù)是2n，
∴第n行的最后一個(gè)數(shù)是2n－1.
(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n
21、－1)
＝＝3·22n－3－2n－2.
(3)∵210＝1024,211＝2048,1024<2012<2048，
∴2012在第11行，該行第1個(gè)數(shù)是210＝1024，由2012－1024＋1＝989，知2012是第11行的第989個(gè)數(shù)．
(4)設(shè)第n行的所有數(shù)之和為an，第n行起連續(xù)10行的所有數(shù)之和為Sn.
則an＝3·22n－3－2n－2，an＋1＝3·22n－1－2n－1，
an＋2＝3·22n＋1－2n，…，an＋9＝3·22n＋15－2n＋7，
∴Sn＝3(22n－3＋22n－1＋…＋22n＋15)－(2n－2＋2n－1＋…＋2n＋7)＝3·－＝22n＋17－22n
22、－3－2n＋8＋2n－2，n＝5時(shí)，S5＝227－128－213＋8＝227－213－120.
∴存在n＝5使得第5行起的連續(xù)10行的所有數(shù)之和為227－213－120.
22．(本小題滿分14分)(文)(2011·四川文，20)已知{an}是以a為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，Sn為它的前n項(xiàng)和．
(1)當(dāng)S1，S3，S4成等差數(shù)列時(shí)，求q的值；
(2)當(dāng)Sm，Sn，Si成等差數(shù)列時(shí)，求證：對(duì)任意自然數(shù)k，am＋k，an＋k，ai＋k也成等差數(shù)列．
[解析] (1)若公比q＝1，則S1＝a，S3＝3a，S4＝4a，而2S3＝6a≠S1＋S4≠5a
∴不滿足S1，S3，S4成等差數(shù)列，
23、∴q≠1
若q≠1，由前n項(xiàng)和公式知，Sn＝，
∵S1，S3，S4成等差數(shù)列
∴2S3＝S1＋S4，即＝a＋
即2a(1－q3)＝a(1－q)＋a(1－q4)
∵a≠0，∴2(1－q)(q2＋q＋1)＝(1－q)＋(1－q)(1＋q)(1＋q2)
又∵1－q≠0
∴2(1＋q＋q2)＝1＋(1＋q2)(1＋q)
即q2＝q＋1?q2－q－1＝0，
∴q＝
(2)若公比q＝1，則am＋k＝an＋k＝ai＋k＝a，
∴am＋k，an＋k，ai＋k成等差數(shù)列
若公比q≠1，由Sm，Sn，Si成等差數(shù)列得Sm＋Si＝2Sn
即＋＝
∴2qn＝qm＋qi
又2an＋k＝2a
24、·qn＋k－1
而am＋k＋ai＋k＝a·qm＋k－1＋a·qi＋k－1＝a·qk－1(qm＋qi)＝a·qk－1·2qn＝2a·qn＋k－1
∴am＋k＋ai＋k＝2an＋k，
∴am＋k，an＋k，ai＋k也成等差數(shù)列．
(理)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－，bn＝，其中n∈N*.
(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
(2)求證：在數(shù)列{an}中對(duì)于任意的n∈N*，都有an＋1
25、－＝－
＝2(n∈N*)．
所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．
(2)證明：要證an＋1
高考二輪復(fù)習(xí)綜合檢測(cè)專題七 不等式推理與證明算法與復(fù)數(shù)綜合檢測(cè) 新人教A
