《新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 名校尖子生培優(yōu)大專題 數(shù)列系列之?dāng)?shù)列的周期性含解析 新人教A》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 名校尖子生培優(yōu)大專題 數(shù)列系列之?dāng)?shù)列的周期性含解析 新人教A（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、五、周期（循環(huán)）數(shù)列（擴(kuò)展）的運(yùn)用
對于數(shù)列{An}，如果存在一個常數(shù)T,對于任意整數(shù)n>N，使得對任意的正整數(shù)恒有Ai=A(i+T)成立，則稱數(shù)列{An}是從第n項起的周期為T的周期數(shù)列。
典型例題：
例1.數(shù)列滿足，則的前60項和為【 】
（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830
【答案】D。
【考點(diǎn)】分類歸納（數(shù)字的變化類），數(shù)列。
【解析】求出的通項：由得，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，；當(dāng)時，；······
當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；
2、
當(dāng)時，（）。
∵，
∴的四項之和為（）。
設(shè)（）。
則的前項和等于的前15項和，而是首項為10，公差為16的等差數(shù)列，
∴的前項和=的前15項和=。故選D。
例2.對于，將n表示為,當(dāng)時，當(dāng)時為0或1，定義如下：在的上述表示中，當(dāng)，a2，…，ak中等于1的個數(shù)為奇數(shù)時，bn=1；否則bn=0.
（1）b2+b4+b6+b8=▲ .；
（2）記cm為數(shù)列{bn}中第m個為0的項與第m+1個為0的項之間的項數(shù)，則cm的最大值是▲ ..
【答案】（1）3；（2）2。
【考點(diǎn)】數(shù)列問題。
【解析】（1）觀察知；；
依次類推；；
；，；；
∴b2+b4+b6+b8=３。
3、
（2）由（1）知cm的最大值為２。
例3.對于項數(shù)為的有窮數(shù)列，記（），即為中的最大值，并稱數(shù)列是的控制數(shù)列，如1，3，2，5，5的控制數(shù)列是1，3，3，5，5
（1）若各項均為正整數(shù)的數(shù)列的控制數(shù)列為2，3，4，5，5，寫出所有的（4分）
（2）設(shè)是的控制數(shù)列，滿足（為常數(shù)，），求證：（）（6分）
（3）設(shè)，常數(shù)，若，是的控制數(shù)列，求（8分）
【答案】解：（1）數(shù)列為：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5。
（2）證明：∵，，∴。
∵，，∴，即。
4、 ∴。
（3）對，；；
；。
比較大小，可得。
∵，
∴，即；
，即。
又∵，∴，，，。
∴
=
=
===。
【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用。
【解析】（1）根據(jù)題意，可得數(shù)列。
（2）依題意可得，又，，從而可得，整理即證得結(jié)論。
（3）根據(jù)，可發(fā)現(xiàn)，；
5、；
；。通過比較大小，可得，，而，從而可求得的值。
六、數(shù)列特征方程的應(yīng)用：所謂數(shù)列的特征方程，實際上就是為研究相應(yīng)的數(shù)列而引入的一些等式，常用的有以下幾種形式：
1. 形如的數(shù)列，一般是令，解出，則是公比為的等比數(shù)列 。
2. 形如的數(shù)列，一般是令，解出，則
①當(dāng)時, ，其中為待定系數(shù)，可根據(jù)初始值求出；
②當(dāng)時，，其中為待定系數(shù)，可根據(jù)初始值求出。
3. 形如的數(shù)列，一般是令，解出，則
①當(dāng)時，為等比數(shù)列；②當(dāng)時，為等差數(shù)列。
典型例題：
例1.函數(shù)。定義數(shù)列如下：是過兩點(diǎn)的直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。
（1）證明：；
（2）求數(shù)列的通項公式。
【答案】解：（1）∵
6、，∴點(diǎn)在函數(shù)的圖像上。
∴由所給出的兩點(diǎn)，可知，直線斜率一定存在。
∴直線的直線方程為。
令，可求得，解得。
∴。
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)時，，滿足，
假設(shè)時，成立，則當(dāng)時，，
由得，，即，∴。
∴也成立。
綜上可知對任意正整數(shù)恒成立。
下面證明：
∵，
∴由得，?！?。
∴即。
綜上可知恒成立。
（2）由得到該數(shù)列的一個特征方程即，
解得或。
∴① ，②。
兩式相除可得。
而
∴數(shù)列是以為首項以為公比的等比數(shù)列。
∴。
【考點(diǎn)】數(shù)列的通項公式以及函數(shù)與數(shù)列相結(jié)全的綜合運(yùn)用，不等式的證明，數(shù)學(xué)歸納法。
【解析】（1）先從函數(shù)入手，表示直線方程，從而得到交點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，運(yùn)用差值法證明，從而得證。
（2）根據(jù)遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列進(jìn)而求得數(shù)列的通項。
內(nèi)容總結(jié)
（1）五、周期（循環(huán)）數(shù)列（擴(kuò)展）的運(yùn)用
對于數(shù)列{An}，如果存在一個常數(shù)T,對于任意整數(shù)n>N，使得對任意的正整數(shù)恒有Ai=A(i+T)成立，則稱數(shù)列{An}是從第n項起的周期為T的周期數(shù)列
（2）五、周期（循環(huán)）數(shù)列（擴(kuò)展）的運(yùn)用
對于數(shù)列{An}，如果存在一個常數(shù)T,對于任意整數(shù)n>N，使得對任意的正整數(shù)恒有Ai=A(i+T)成立，則稱數(shù)列{An}是從第n項起的周期為T的周期數(shù)列
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