工程經(jīng)濟學 第二章3,4

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1、2.1 一次支付一次支付終值公式終值公式niPF1ni1niPF,/稱為一次支付終值系數(shù)，記為稱為一次支付終值系數(shù)，記為 0 1 2 3 n 1 n F=？P (已知）已知） i),/()1 ()1 (1niFPFiFiFPnn 0 1 2 3 n 1 n F (已知）已知）P =？ 2.2 一次支付一次支付現(xiàn)值公式現(xiàn)值公式ini1niFP,/稱為一次支付現(xiàn)值系數(shù)，記為稱為一次支付現(xiàn)值系數(shù)，記為),/(1)1 (niAFAiiAFn 0 1 2 3 n 1 n F =？ A (已知）已知）2.3 等額支付等額支付年金終值公式年金終值公式iiin1)1(niAF,/稱為等額支付現(xiàn)值系數(shù)，記為稱為

2、等額支付現(xiàn)值系數(shù)，記為),/(1)1 (niFAFiiFAn 0 1 2 3 n 1 n F (已知已知） A =？2.4 等額支付等額支付積累基金公式積累基金公式i1)1(niiniFA,/稱為等額支付累積基金系數(shù)，記為稱為等額支付累積基金系數(shù)，記為),/(1)1 ()1 (niPAPiiiPAnn0 1 2 3 n 1 n P(已知）已知） A =？2.5 等額支付等額支付資金回收公式資金回收公式i1)1()1(nniiiniPA,/稱為等額支付資金回收系數(shù)，記為稱為等額支付資金回收系數(shù)，記為),/()1 (1)1 (niAPAiiiAPnn 0 1 2 3 n 1 n P=？ A (已知

3、）已知） 2.6 等額支付等額支付年金現(xiàn)值公式年金現(xiàn)值公式inniii)1(1)1(niAP,/稱為等額支付年金現(xiàn)值系數(shù)，記為稱為等額支付年金現(xiàn)值系數(shù)，記為練習練習v例例1：借款：借款1000元，年利率元，年利率10%,復利計息，復利計息，4年后應還款多少？年后應還款多少？v例例2：某項投資年利率：某項投資年利率12%，5年期，欲年期，欲5年后年后得到本利和得到本利和2萬元，現(xiàn)在應投資多少？萬元，現(xiàn)在應投資多少？解解例例1： F= P（F/P，i，n）=10001.4641=1464.1元元例例2： P=F （P/F，i，n） =20000 0.5674=11348元元v例例3.某廠為技術(shù)改造

4、，每年從利潤中提取某廠為技術(shù)改造，每年從利潤中提取2萬元萬元建立基金，若年利率建立基金，若年利率8%，5年后該項基金有多年后該項基金有多少？少？v例例4.某公司某公司10年后要償還債務年后要償還債務20萬元，年利率萬元，年利率為為10%，每年應從利潤中提取多少錢存入銀行？，每年應從利潤中提取多少錢存入銀行？解解例例3：F=A(F/A,i,n)=20000（F/A，8%，5）=200005.8666=117332元元例例4：A=F A/F,I,n=20 A/F,10%,10 =200.0627=1.254萬元萬元v例例5：某企業(yè)向銀行貸款：某企業(yè)向銀行貸款50000元購買設備，年元購買設備，年利

5、率利率10%，要求在，要求在10年內(nèi)等額償還，問每年應年內(nèi)等額償還，問每年應償還多少？償還多少？解：解： A =P（A/P,i,n）=50000*（A/P,10%,10）v=50000*0.1627=8135元元 例例6 ：一位發(fā)明者轉(zhuǎn)讓其專利使用權(quán)，一種收益方式是一位發(fā)明者轉(zhuǎn)讓其專利使用權(quán)，一種收益方式是在今后在今后5年里每年收到年里每年收到12000元，隨后又連續(xù)元，隨后又連續(xù)7年每年年每年收到收到6000元，另一種收益方式是將前種收益形式改為元，另一種收益方式是將前種收益形式改為一次性付款。在不考慮稅收的情況下，如要求年收益率一次性付款。在不考慮稅收的情況下，如要求年收益率10，投資者選

6、擇后一種方式，即一次性購買專利權(quán)，投資者選擇后一種方式，即一次性購買專利權(quán)的價格為多少？的價格為多少？102536P=?A1 =12000 i=10%1112A2 =6000解：解：P前前5年年= A1(P/A, ,10%, ,5)=45492元元 P后后7年年=A2(P/A, ,10%, ,7)(P/F, ,10%, ,5)=18135元元 P= P前前5年年+P后后7年年=63627 元元六個基本公式及其系數(shù)符號六個基本公式及其系數(shù)符號FP(1+i）nniFP)1 (1iiAFn1)1 (1)1 (niiFA1)1 ()1 (nniiiPAnniiiAP)1 (1)1 (公式系數(shù)公式系數(shù)(

7、F/P,i,n)(P/F,i,n)(F/A,i,n)(A/F,i,n)(A/P,i,n)(P/A,i,n)系數(shù)符號系數(shù)符號公式可記為公式可記為F=P(F/P,i,n)P=F(P/F,i,n)F=A(F/A,i,n)A=F(A/F,i,n)A=P(A/P,i,n)P=A(P/A,i,n)n)i,(F/P,1n)i,(P/F,n)i,(A/P,1n)i,(P/A,n)i,(A/F,1n)i,(F/A,n)i,(F/A,n)i,n)(P/A,i,(F/P,n)i,(F/P,n)i,n)(A/P,i,(F/A,n)i,(A/P,in)i,(A/F,各系數(shù)之間的關(guān)系倒數(shù)關(guān)系：乘積關(guān)系：特殊關(guān)系：PF A

8、0 1 2 3 4 5 6 7 n基本公式相互關(guān)系示意圖例例1 1: :有如下圖示現(xiàn)金流量，解法正確的有有如下圖示現(xiàn)金流量，解法正確的有( )( )012345678AF=? A. F=A(P/A,i,6)(F/P,i,8) B. F=A(P/A,i,5)(F/P,i,7) C. F=A(F/A,i,6)(F/P,i,2) D. F=A(F/A,i,5)(F/P,i,2) E. F=A(F/A,i,6)(F/P,i,1)例例2：下列關(guān)于時間價值系數(shù)的關(guān)系式，表達正確的有：下列關(guān)于時間價值系數(shù)的關(guān)系式，表達正確的有（ ）A（F/A,i,n）= (P/A,i,n)(F/P,i,n) B（F/P,i

9、,n）=(F/P,i,n1)(F/P,i,n2),其中其中n1+n2=nC（P/F,i,n）=(P/F,i,n1)(P/F,i,n2),其中其中n1+n2=nD（P/A,i,n）=(P/F,i,n)(A/F,i,n)E 1/（F/A,i,n）=(F/A,i,1/n)v例例3：浙江某大學畢業(yè)生欲回家鄉(xiāng)籌辦一家澳洲火浙江某大學畢業(yè)生欲回家鄉(xiāng)籌辦一家澳洲火雞飼養(yǎng)場，第一年投資雞飼養(yǎng)場，第一年投資 10萬元，萬元，1年后又投資年后又投資 15萬元，萬元，2年后再投入年后再投入 20萬元，第萬元，第3年建成投產(chǎn)。投年建成投產(chǎn)。投資全部由一家銀行貸款，年利率為資全部由一家銀行貸款，年利率為8。貸款從第。貸

10、款從第三年開始每年年末等額償還，還款期三年開始每年年末等額償還，還款期10年。問每年。問每年應至少收益（償還銀行貸款）多少萬元？年應至少收益（償還銀行貸款）多少萬元？102015A=？年年012312i=8%解：方案投產(chǎn)年年初的總投資額為：解：方案投產(chǎn)年年初的總投資額為： P=10(F/P，8，2)+15(F/P，8，1)+ 20 =101.1664+151.08+20=47.864 萬元萬元 A=P(A/P, ,8, ,10)=47.8640.1490 =7.13萬元萬元 102015A=？年年012312i=8%例例4：一對還有一對還有10年就要退休的夫婦，每年將一筆年就要退休的夫婦，每年

11、將一筆款項存入銀行欲建立一筆海外旅游基金。該旅游基款項存入銀行欲建立一筆海外旅游基金。該旅游基金預計用途是：自第金預計用途是：自第10年年末起，連續(xù)年年末起，連續(xù)3年各提年各提2萬元。如果銀行存款利率為萬元。如果銀行存款利率為8，那么，那么10年中每年年中每年年末應等額存入銀行多少元？年末應等額存入銀行多少元？01101112289A=?A=2萬元萬元年年i=8%解：將專用基金折算為第解：將專用基金折算為第10年末的價值：年末的價值： F=20000 + 20000(P/F, ,8, ,1)+ 20000 (P/F, ,8, ,2)=20000+200000.9259 +200000.8573

12、 = 55664 元元 A=F(A/F, ,8, ,10)=556640.06903 = 3842.49 元元 01101112289A=?A=2萬元萬元年年i=8% 例例5 某投資者某投資者5年前以年前以200萬元價格買入一房產(chǎn)，萬元價格買入一房產(chǎn)，在過去的在過去的5年內(nèi)每年獲得年凈現(xiàn)金收益年內(nèi)每年獲得年凈現(xiàn)金收益25萬元，現(xiàn)萬元，現(xiàn)在該房產(chǎn)能以在該房產(chǎn)能以250萬元出售，若投資者要求的年收萬元出售，若投資者要求的年收益率為益率為20，問此項投資是否合算，問此項投資是否合算? 0P=2002527512345i=20%單位：萬元單位：萬元解（解（2）：將收益折算成現(xiàn)值：）：將收益折算成現(xiàn)值：

13、 P =25(P/A, ,20, ,5)+250(P/F, ,20, ,5) =175.25(萬元萬元)獲得獲得i=20的收益投資的收益投資175.25萬即可，因此不合算萬即可，因此不合算解（解（1）：）： 投資投資200萬元，萬元，i=20%時應獲收益額：時應獲收益額： F =200(F/P, ,20, ,5) = 498(萬元萬元) 而實際收益：而實際收益： F =25(F/A, ,20, ,5)+250 = 436(萬元萬元) 投資沒有達到投資沒有達到20的收益率，故不合算的收益率，故不合算0P=2002527512345i=20%單位：萬元單位：萬元2.7 等差系列公式等差系列公式均勻

14、增加支付系列A1+(n-1)GA1A1+GA1+2GA1+(n-2)G0 1 2 3 4 5 n1 nA10 1 2 3 4 5 n1 n（1）（n2）GG0 1 2 3 4 5 n1 n2G3G4G（n1）G（2）圖（2）的將來值F2為:1)1 () 1()1 ()2(.)1 (2)1 (232iniiGGniGniGiGFnnnGn), i ,(F/G n), i ,(F/A A11GFFFG),/(niGFGFG等差系列終值系數(shù)等差系列終值系數(shù)A10 1 2 3 4 5 n1 n（1）A20 1 2 3 4 5 n1 n （3）（n2）GG0 1 2 3 4 5 n1 n2G3G4G（n

15、1）G（2）n), i(A/G, A11GAAAG1)1(11)1(1)1(n), i(A/F,2nnnGGiniGiiiniiGFAn)i,(A/G, GAG等差年金換算系數(shù)等差年金換算系數(shù)A10 1 2 3 4 5 n1 n（1）A20 1 2 3 4 5 n1 n （3）A=AA=A1 1+A+A2 20 1 2 3 4 5 n1 n （4） 注：如支付系列為均勻減少，則有 A=A1A2均勻增加支付系列A1+(n-1)GA1A1+GA1+2GA1+(n-2)G0 1 2 3 4 5 n1 n等差支付現(xiàn)值公式等差支付現(xiàn)值公式P=?P=?nnnnnGGiiniiiGiiniiGFP)1 (-

16、)1 (1)1 ()1 (1-1)1 ()n, i , P/F(22n), i(A/G, n), i (P/A, A11PPPPGn)i,(P/G, GPG等差系列現(xiàn)值系數(shù)等差系列現(xiàn)值系數(shù) 例：例： 某企業(yè)擬購買一臺設備，其年收益額第一年某企業(yè)擬購買一臺設備，其年收益額第一年為為10萬元，此后直至第萬元，此后直至第8年末逐年遞減年末逐年遞減3000元，設元，設年利率為年利率為15，按復利計息，求該設備，按復利計息，求該設備8年的收益現(xiàn)年的收益現(xiàn)值值P及等額分付序列收益年金及等額分付序列收益年金A？023546781 10 9.7 8.29.4 8.8 8.59.17.9年年A=10萬元萬元單位

17、：萬元單位：萬元i=15%G2G3G4G5G6G7G 解：解： ，萬1P =A(P/A i n)=10(P/A 15% 8)=44.87, , ,P2=G(A/G, ,15, ,8)(P/A, ,15, ,8) =0.32.784.487=3.74 萬元萬元收益現(xiàn)值收益現(xiàn)值P= P1P2 =44.873.74=41.1 萬元萬元收益年金：收益年金：A = P(AP, ,15, ,8) =41.10.2229=9.2萬萬 023546781 10 9.7 8.29.4 8.8 8.59.17.9A=10萬元萬元年年單位：萬元單位：萬元i=15%G2G3G4G5G6G7G8.等比系列公式等比系列公

18、式123n 0.1A (1+j)A (1+j)1A (1+j)11A 2n-1等比系列現(xiàn)金流量111111(1)(1)(1)(1)1(1)tnnnttttttttAjPAiAjiji111(1) (1)1nnnAjPjiAjiijij1(, , , )PA P A i j n(, , , )P A i j n 稱為等比系列現(xiàn)值系數(shù)稱為等比系列現(xiàn)值系數(shù)8.等比系列公式等比系列公式8.等比系列公式等比系列公式(1)nFPi111(1)(1)(1)nnnnAjFjiAjiijij1(, , , )FA F A i j n（F/A,i,j,n)稱為等比系列終值系數(shù)稱為等比系列終值系數(shù)。運用利息公式應運

19、用利息公式應注意的問題注意的問題: : 1. 為了實施方案的初始投資，假定發(fā)生在方為了實施方案的初始投資，假定發(fā)生在方案的壽命期初；案的壽命期初； 2. 方案實施過程中的經(jīng)常性支出，假定發(fā)生方案實施過程中的經(jīng)常性支出，假定發(fā)生在計息期（年）末；在計息期（年）末； 3. 本年的年末即是下一年的年初；本年的年末即是下一年的年初； 4. P是在當前年度開始時發(fā)生；是在當前年度開始時發(fā)生； 5. F是在當前以后的第是在當前以后的第n年年末發(fā)生；年年末發(fā)生； 6. A是在考察期間各年年末發(fā)生。當問題包括是在考察期間各年年末發(fā)生。當問題包括P和和A時，系列的第一個時，系列的第一個A是在是在P發(fā)生一年后的年

20、末發(fā)生一年后的年末發(fā)生；當問題包括發(fā)生；當問題包括F和和A時，系列的最后一個時，系列的最后一個A是是和和F同時發(fā)生；同時發(fā)生； 7. 均勻梯度系列中，第一個均勻梯度系列中，第一個G發(fā)生在系列的第發(fā)生在系列的第二年年末。二年年末。名義利率和有效利率名義利率和有效利率名義利率和有效利率的概念。名義利率和有效利率的概念。當當利率周期利率周期與與計息周期計息周期不一致時，不一致時，不考慮利息再生，名義利率不考慮利息再生，名義利率(年年)考慮利息再生，實際利率考慮利息再生，實際利率年利率為12，每年計息1次12為實際利率；年利率為12，每月計息1次12為名義利率，月利率為1。名義利率名義利率不同計息期的

21、名義利率不同計息期的名義利率計息期 周期利率名義利率1年年利率12%12% 1=12%1月月利率1%1%12=12%1季季利率2.8%2.8% 4=11.2%半年半年利率5%5% 2=10%1.間斷復利的年實際利率間斷復利的年實際利率 按期（年、季、月和日）計息的方法。按期（年、季、月和日）計息的方法。 如果名義利率為如果名義利率為r,一年中計息一年中計息m次，每次計次，每次計息的息的 利率為利率為i=r/ m，根據(jù)一次支付復利系數(shù)公式，根據(jù)一次支付復利系數(shù)公式， 年末本利和為年末本利和為： F=P1+r/mm一年末的利息為：一年末的利息為：I=F-P= P1+r/mm P按定義，利息與本金之

22、比為利率，則年有效利率按定義，利息與本金之比為利率，則年有效利率i為：為：111mmmrPPmrPi 下表給出了名義利率為下表給出了名義利率為12%分別按不同計息分別按不同計息期計算的實際利率：期計算的實際利率：復利周期復利周期每年計息數(shù)期每年計息數(shù)期各期實際利率各期實際利率實際年利率實際年利率一年一年半年半年一季一季一月一月一周一周一天一天124125236512.0000%6.0000%3.0000%1.0000%0.23077%0.0329%12.0000 %12.3600 %12.5509 %12.6825 %12.7341 %12.7475 %從上表可以看出，每年計息期從上表可以看出

23、，每年計息期m越多，越多，ieff與與r相差越大。所相差越大。所以，以， 在進行工程經(jīng)濟分析時，如果各方案的記息期不同，就在進行工程經(jīng)濟分析時，如果各方案的記息期不同，就不能簡單地使用名義利率來評價，必須換算成實際利率進行不能簡單地使用名義利率來評價，必須換算成實際利率進行評價。評價。 例：某廠擬向兩個銀行貸款以擴大生產(chǎn)，甲例：某廠擬向兩個銀行貸款以擴大生產(chǎn)，甲銀行年利率為銀行年利率為16%，計息每年一次。乙銀行年利，計息每年一次。乙銀行年利率為率為15%，但每月計息一次。試比較哪家銀行貸，但每月計息一次。試比較哪家銀行貸款條件優(yōu)惠些？款條件優(yōu)惠些？ 解：解：%0755.1611215.011

24、1%1612nnrii乙甲因為因為i乙乙 i甲甲，所以甲銀行貸款條件優(yōu)惠些。，所以甲銀行貸款條件優(yōu)惠些。 例：現(xiàn)投資例：現(xiàn)投資10001000元，時間為元，時間為1010年，年利率為年，年利率為8%8%，每季度計息一次，求每季度計息一次，求1010年末的將來值。年末的將來值。 F=？1000 0 1 2 3 40 季度每每季度季度的有效利率為的有效利率為8%4=2%，用年實際用年實際利率求解利率求解:年有效利率年有效利率i為：為： i=（ 1+ 2%）41=8.2432% F=1000 F=1000（F/PF/P，8.2432%8.2432%，1010）=2208=2208（元）元）用季度用季

25、度利率求解利率求解: F=1000 F=1000（F/PF/P，2%2%，4040）=1000=10002.2080=22082.2080=2208（元）元）解：解： 例例: :某企業(yè)向銀行借款某企業(yè)向銀行借款10001000元元, ,年利率為年利率為4%,4%,如按如按季度計息季度計息, ,則第則第3 3年應償還本利和累計為年應償還本利和累計為( )( )元。元。 A.1125 B.1120 C. 1127 D.1172 A.1125 B.1120 C. 1127 D.1172F=1000(F/P,1%,4F=1000(F/P,1%,43)3) =1000(F/P,1%,12) =1000(

26、F/P,1%,12) =1127 =1127元元答案答案: C F=？1000 0 1 2 3 12 季度季度解解:例例: 已知某項目的計息期為月已知某項目的計息期為月,月利率為月利率為8 ,則項目的名義利則項目的名義利率為率為( ) 。 A. 8% B. 8 C. 9.6% D. 9.6解解:（年）名義利率（年）名義利率=每一計息期的每一計息期的有效利率有效利率一年中計息期數(shù)一年中計息期數(shù) 所以所以 r=128 =96 =9.6%2.連續(xù)（瞬時）復利的年有效利率連續(xù)（瞬時）復利的年有效利率 按瞬時計息的方式。按瞬時計息的方式。v 在這種情況下，復利可以在一年中按無限多次在這種情況下，復利可以

27、在一年中按無限多次計算，年有效利率為：計算，年有效利率為：111lim11limrrrnnnnenrnri式中：式中：e自然對數(shù)的底，其數(shù)值為自然對數(shù)的底，其數(shù)值為2.71828 名義利率的名義利率的實質(zhì)實質(zhì)：當計息期小于一年的利率化為當計息期小于一年的利率化為年利率時年利率時,忽略了時間因素忽略了時間因素,沒有計算利息的利息沒有計算利息的利息 。名義利率和有效（年）利率的應用：名義利率和有效（年）利率的應用：1) 計息期與支付期相同計息期與支付期相同2) 計息期短于支付期計息期短于支付期3) 計息期長于支付期計息期長于支付期3 等值計算與應用等值計算與應用v不同時點，數(shù)額不同的資金在資金的時

28、間價值的不同時點，數(shù)額不同的資金在資金的時間價值的作用下有可能具有相等的價值。不同時點、不同作用下有可能具有相等的價值。不同時點、不同數(shù)額但其價值等效的資金稱為等值。數(shù)額但其價值等效的資金稱為等值。v利用等值的概念，可把一個時點的資金額換算成利用等值的概念，可把一個時點的資金額換算成另一時點的等值金額。另一時點的等值金額。v資金等值計算是指為了便于比較，把不同時點上資金等值計算是指為了便于比較，把不同時點上的資金按照一定的折現(xiàn)率計算至某一相同的時點的資金按照一定的折現(xiàn)率計算至某一相同的時點上的過程。如上的過程。如“折現(xiàn)折現(xiàn)”、“貼現(xiàn)貼現(xiàn)”等等 1 計息周期等于支付期計息周期等于支付期v根據(jù)計息

29、期的實際利率，利用復利計算公式直根據(jù)計息期的實際利率，利用復利計算公式直接進行計算。接進行計算。例例：年利率為：年利率為12%，每半年每半年計息計息1次，從現(xiàn)在起次，從現(xiàn)在起連續(xù)連續(xù)3年年每半年每半年末等額存款為末等額存款為200元，問與其等元，問與其等值的第值的第0年的現(xiàn)值是多少？年的現(xiàn)值是多少？解：計息期為半年的有效利率為解：計息期為半年的有效利率為 i12/26 P=200200（P PA A，6 6，6 6）983.46(983.46(元元) )例：例：年年利率為利率為9，每年年初每年年初借款借款4200元，連續(xù)借款元，連續(xù)借款43年，求其年金終值和年金現(xiàn)值。年，求其年金終值和年金現(xiàn)值

30、。43042210434221A=4200A=4200(1+9%)解：解：F=A(F/A,i,n)=4200(1+9%)440.8457 2018191.615（元）（元）P=A(P/A,i,n)=4200(1+9%)10.838 49616.364（元）（元）2 計息周期短于支付期計息周期短于支付期（1）先求出）先求出支付期的有效利率支付期的有效利率，再利用復利計算公式進，再利用復利計算公式進行計算行計算（2）按）按計息周期利率計息周期利率計算計算 F=P(F/P, r/m, mn) P=F(P/F, r/m, mn) F=A(F/A ,r/m, mn) P=A(P/A, r/m, mn)

31、A=F(A/F, r/m, mn) A=P(A/P, r/m, mn)2 計息周期短于支付期計息周期短于支付期例例：年利率為：年利率為12，每季度每季度計息一次，從現(xiàn)在起連續(xù)計息一次，從現(xiàn)在起連續(xù)3年的等額年的等額年末存款年末存款為為1000元，與其等值的第元，與其等值的第3年的年年的年末借款金額是多少？末借款金額是多少？%55.121)4%121 (4i3392)3%,55.12,/(1000AFF0123456789101112季度1000元元1000元元1000元元年度年度解：年有效利率為：解：年有效利率為：F=?方法二：取方法二：取一個循環(huán)周期一個循環(huán)周期，使這個周期的年末支付轉(zhuǎn)變，使

32、這個周期的年末支付轉(zhuǎn)變成等值的計息期末的等額支付系列。成等值的計息期末的等額支付系列。012341000元元01234239239239239將年度支付轉(zhuǎn)換為計息期末支付將年度支付轉(zhuǎn)換為計息期末支付A=F(A/F,3%,4)=10000.2390=239（元）（元）r=12%,n=4,則則i=12%43F=A(F/A,i,n)=A(F/A,3%,12)=23914.1923392元元F=?0123456789101112季度1000元元1000元元1000元元年度年度F=?年度年度0123456789101112季度239239239239239 239239 239 239239239F=1

33、000(F/P,3%,8)+1000(F/P,3%,4)+1000 =10001.267+10001.126 )+1000 =3392元元方法三：把等額支付的每一個支付看作為方法三：把等額支付的每一個支付看作為一次支一次支付付，求出每個支付的將來值，然后把將來值加起，求出每個支付的將來值，然后把將來值加起來，這個和就是等額支付的實際結(jié)果。來，這個和就是等額支付的實際結(jié)果。0123456789101112季度1000元元1000元元1000元元年度年度F=?3 計息周期長于支付期計息周期長于支付期(1)不記息：記息期內(nèi)收付不計息。不記息：記息期內(nèi)收付不計息。(2)單利記息：記息期內(nèi)的收付均按單利

34、單利記息：記息期內(nèi)的收付均按單利記息。記息。(3)復利計息：計息周期內(nèi)的收付按復利復利計息：計息周期內(nèi)的收付按復利計息。計息。3 計息周期長于支付期計息周期長于支付期v (1)不記息。記息期內(nèi)收付不計息。不記息。記息期內(nèi)收付不計息。按財務原則進行按財務原則進行計息，即現(xiàn)金流入額放在期末，現(xiàn)金流出額放在計息計息，即現(xiàn)金流入額放在期末，現(xiàn)金流出額放在計息期初，計息期分界點處的支付保持不變。期初，計息期分界點處的支付保持不變。例例：現(xiàn)金流量圖如圖所示，年利率為現(xiàn)金流量圖如圖所示，年利率為12%12%，每季度計息一，每季度計息一次，求年末終值次，求年末終值F F為多少？為多少？0 0 1 1 2 23

35、 39 97 74 46 65 58 810101111 1212（月）（月）3003001001001001001001003 計息周期長于支付期計息周期長于支付期v (2)單利記息。記息期內(nèi)的收付均按單利記息。記息單利記息。記息期內(nèi)的收付均按單利記息。記息期內(nèi)的利率按時間比例計算。（小周期利率單利方式期內(nèi)的利率按時間比例計算。（小周期利率單利方式換算為大周期利率）換算為大周期利率）計息期利率。周期數(shù)；計息期末所包含的計息期收付金額到達第計息期內(nèi)第第期收付金額；計息期內(nèi)第第數(shù)；一個計息期內(nèi)收付周期個計息期末現(xiàn)金流量；第itktmktANtAiNmAAkktkkt)/(1 3 計息周期長于支付

36、期計息周期長于支付期v (3)復利記息。復利記息。 計息周期內(nèi)的收付按復利計息。計息周期內(nèi)的收付按復利計息。 （小周期與大周期之間的利率按復利換算）收付周（小周期與大周期之間的利率按復利換算）收付周期利率按復利計算出計息期利率。此時，計息期利率期利率按復利計算出計息期利率。此時，計息期利率相當于相當于“實際利率實際利率”，收付周期利率相當于，收付周期利率相當于“計息期計息期利率利率”。求收付周期利率。求收付周期利率例題例題例例1：某住宅樓正在出售，購房人可采用分期付：某住宅樓正在出售，購房人可采用分期付款的方式購買，付款方式：每套款的方式購買，付款方式：每套24萬元，首付萬元，首付6萬元，剩余

37、萬元，剩余18萬元款項在最初的五年內(nèi)每半萬元款項在最初的五年內(nèi)每半年支付年支付0.4萬元，第二個萬元，第二個5年內(nèi)每半年支付年內(nèi)每半年支付0.6萬元，第三個萬元，第三個5年內(nèi)每半年內(nèi)支付年內(nèi)每半年內(nèi)支付0.8萬元。年萬元。年利率利率8，半年計息。該樓的價格折算成現(xiàn)值，半年計息。該樓的價格折算成現(xiàn)值為多少？為多少？v解：解： P=6 +0.4(P/A,4%,10) +0.6(P/A,4%,10)(P/F,4%,10) +0.8(P/A,4%,10)(P/F,4%,20) =15.49(萬元）萬元）例例2：一個男孩，今年：一個男孩，今年11歲。歲。5歲生日時，他祖父歲生日時，他祖父母贈送他母贈送他

38、4000美元，該禮物以購買年利率美元，該禮物以購買年利率4（半年計息）的（半年計息）的10年期債券方式進行投資。他年期債券方式進行投資。他的父母計劃在孩子的父母計劃在孩子1922歲生日時，每年各用歲生日時，每年各用3000美元資助他讀完大學。祖父母的禮物到期美元資助他讀完大學。祖父母的禮物到期后重新進行投資。父母為了完成這一資助計劃，后重新進行投資。父母為了完成這一資助計劃，打算在他打算在他1218歲生日時以禮歲生日時以禮 物形式贈送資物形式贈送資金并投資，則金并投資，則 每年的等額投資額應為多少？每年的等額投資額應為多少？（設每年的投資利率為（設每年的投資利率為6）v解：解：以以18歲生日為

39、歲生日為分析點，分析點，設設1218歲生日歲生日時的等額投資額為時的等額投資額為x美元，則美元，則 4000(F/P,2%,20)(F/P,6%,3)+x(F/A,6%,7) =3000(P/A,6%,4) 得，得，X=395(美元美元) 例：假如有人目前借入例：假如有人目前借入2000元，在今后元，在今后2年中每月年中每月等額償還，每次償還等額償還，每次償還94.20元，復利按月計算。試求月元，復利按月計算。試求月有效利率、名義利率和年有效利率。有效利率、名義利率和年有效利率。 解：解： 94.202000（A/P，i，24) （A/P，i，24)94.2/2000=0.0471 查表，上列

40、數(shù)值相當于查表，上列數(shù)值相當于 i1.0月有效利率月有效利率 則則 名義利率名義利率 r1.0 1212 年有效利率年有效利率 i（11.0)12112.68資金時間價值基本公式的應用資金時間價值基本公式的應用 復利系數(shù)表中包含了三種數(shù)據(jù)，即復利系數(shù)表中包含了三種數(shù)據(jù)，即系數(shù)、利率、系數(shù)、利率、計息次數(shù)計息次數(shù)。根據(jù)各系數(shù)符號，查表即可得到相應的系。根據(jù)各系數(shù)符號，查表即可得到相應的系數(shù)；知道了三項數(shù)據(jù)中的任意兩項，還可以通過查表數(shù)；知道了三項數(shù)據(jù)中的任意兩項，還可以通過查表得到另一項。得到另一項。一、計算貨幣的未知量一、計算貨幣的未知量二、計算未知利率二、計算未知利率三、計算未知年數(shù)三、計算

41、未知年數(shù) 二、計算未知利率二、計算未知利率 在計算技術(shù)方案的等值時，有時會遇到這樣在計算技術(shù)方案的等值時，有時會遇到這樣一種情況：即現(xiàn)金流量一種情況：即現(xiàn)金流量P、F、A以及計算期以及計算期n均為均為已知量，而利率已知量，而利率i為待求的未知量。比如，求方案為待求的未知量。比如，求方案的收益率，國民經(jīng)濟的增長率等就屬于這種情況。的收益率，國民經(jīng)濟的增長率等就屬于這種情況。這時，可以借助查復利系數(shù)表利用線性內(nèi)插法近這時，可以借助查復利系數(shù)表利用線性內(nèi)插法近似地求出似地求出i來。來。例：某人今年初借貸例：某人今年初借貸1000萬元，萬元，8年內(nèi)，每年還年內(nèi)，每年還154.7萬元，正好在第萬元，正好

42、在第8年末還清，問這筆借款年末還清，問這筆借款的年利率是多少？的年利率是多少？解：已知解：已知P=1000萬，萬，A= 154.7萬，萬，n=8 A=P(A/P,i,n) (A/P,i,n)=A/P=154.7/1000=0.1547 查表中的資金回收系數(shù)列，在查表中的資金回收系數(shù)列，在n=8的一行里，的一行里，0.1547所對應的所對應的i為為5%。 i=5% 例例:已知現(xiàn)在投資已知現(xiàn)在投資300元，元，9年后可一次獲得年后可一次獲得525元。求利率元。求利率i為多少？為多少？ 解：利用一次支付終值公式解：利用一次支付終值公式 F=P（F/P，i，n） 525=300（F/P，i，9） （F

43、/P，i，9）=1.750 從復利表上查到，當從復利表上查到，當n=9時，時，1.750落在利率落在利率6%和和7%之間。從之間。從6%的位置查到的位置查到1.689，從，從7%的位置上查到的位置上查到1.838。用直線內(nèi)插法可得：。用直線內(nèi)插法可得： i=6%+(1.750-1.6895)(7%-6%) =6.41%計算表明，利率計算表明，利率i為為6.41%。v 把上述例子推廣到一般情況，我們設兩個已知的現(xiàn)金把上述例子推廣到一般情況，我們設兩個已知的現(xiàn)金流量之比（流量之比（F/P，F(xiàn)/A或或P/A等）對應的系數(shù)為等）對應的系數(shù)為f0，與此最接近的兩個利率為與此最接近的兩個利率為i1和和i2

44、，i1對應的系數(shù)為對應的系數(shù)為f1，i2對應對應f2。見下圖。見下圖。 系數(shù)系數(shù)f0與利率與利率i的對應圖的對應圖根據(jù)上圖，求利率根據(jù)上圖，求利率i的的算式為：的的算式為： (f0-f1)(i2 i1) i=i1+ (415) f2 -f 1例：某人有資金例：某人有資金10萬元，有兩個投資方向供選擇：一是萬元，有兩個投資方向供選擇：一是存入銀行，每年復利率為存入銀行，每年復利率為10；另一是購買五年期的；另一是購買五年期的債券，債券，115元面值債券發(fā)行價為元面值債券發(fā)行價為100元，每期分息元，每期分息8元，元，到期后由發(fā)行者以面值收回。試計算出債券利率，比到期后由發(fā)行者以面值收回。試計算出

45、債券利率，比較哪個方案有利。較哪個方案有利。解：解：設債券利率為設債券利率為i，則有則有 100=8(P/A,i,5)+115(P/F,i,5) 用試算的方法，可得到用試算的方法，可得到 P(10%)= 8(P/A,10,5)+115(P/F,10,5)101.73 P(12%)= 8(P/A,12,5)+115(P/F,12,5)94.09 用線性內(nèi)插法用線性內(nèi)插法%36.10%)10%12(09.9473.10110073.101%10 i例例: 某公司欲買一臺機床，賣方提出兩種付款方式：某公司欲買一臺機床，賣方提出兩種付款方式：（1）若買時一次付清，則售價）若買時一次付清，則售價3000

46、0元；元；（2）買時第一次支付）買時第一次支付10000元，以后元，以后24個月內(nèi)每月支付個月內(nèi)每月支付1000元。元。 當時銀行利率為當時銀行利率為12%，問若這兩種付款方案在經(jīng)濟上是，問若這兩種付款方案在經(jīng)濟上是等值的話，那么，對于等值的兩種付款方式，賣方實際上等值的話，那么，對于等值的兩種付款方式，賣方實際上得到了多大的名義利率與實際利率得到了多大的名義利率與實際利率?解：兩種付款方式中有解：兩種付款方式中有10000元現(xiàn)值相同，剩下元現(xiàn)值相同，剩下20000元付款方式不同，根據(jù)題元付款方式不同，根據(jù)題意：意： 已知已知P=20000元，元，A=1000元，元，n=24個月，求月利率個月

47、，求月利率i？ P=A（P/A，i，n） 20000=1000（P/A，i，24） （P/A，i，24）=20=f0 查復利表：查復利表： 當當i1=1%時，（時，（P/A，1%，24）=21.243=f1 i2=2%時，（時，（P/A，2%，24）=18.914=f2 說明所求月利率說明所求月利率i介于介于i1與與i2之間，利用公式（之間，利用公式（415）：）： (f0-f1)(i2 i1) (20-21.243)(2%-1%) i=i1+ =1%+ f2 -f 1 18.9140-21.2430 =1%+0.534%=1.534% 那么賣方得到年名義利率：那么賣方得到年名義利率： r=1

48、21.534%=18.408% 賣方得到年實際利率：賣方得到年實際利率： 18.408% i=(1+ r/n) n -1 =(1+ )12-1 12 =(1+0.01534)n-1=20.04% 由于上述的名義利率由于上述的名義利率18.408%和實際利率和實際利率20.04%都高于銀行利率都高于銀行利率12%，因此，第一種付款方式對買方有利，作為賣方提出兩種付款方式，則買方應選因此，第一種付款方式對買方有利，作為賣方提出兩種付款方式，則買方應選擇第一種。而第二種付款方式對賣方有利，按銀行利率，賣方所得的現(xiàn)值為：擇第一種。而第二種付款方式對賣方有利，按銀行利率，賣方所得的現(xiàn)值為： P=P1+A

49、（P/A，i，n） =10000+1000(P/A，1%，24) =31243.4（元）（元） 例例: 設有一個設有一個25歲的人投資人身保險，保險期歲的人投資人身保險，保險期50年，在這段期間，每年，在這段期間，每年末繳納年末繳納150元保險費，在保險期間內(nèi)，若發(fā)生人身死亡或期末死亡，保元保險費，在保險期間內(nèi)，若發(fā)生人身死亡或期末死亡，保險人均可獲得險人均可獲得10000元。問投這段保險期的實際利率？若該人活到元。問投這段保險期的實際利率？若該人活到52歲去歲去世，銀行年利率為世，銀行年利率為6%，問保險公司是否吃虧？，問保險公司是否吃虧？ 解：先畫現(xiàn)金流量圖如圖解：先畫現(xiàn)金流量圖如圖4-1

50、8。 圖圖4-18 現(xiàn)金流量圖現(xiàn)金流量圖 已知已知A=150元，元，F(xiàn)=10000元，元，n=50年，求年，求i=？ 根據(jù)公式（根據(jù)公式（4.6） F=A（F/A，i，n） 10000=150（F/A，i，50） （F/A，i，50）=66.667=f0 查復利表：查復利表： i1=1%時，（時，（F/A，1%，50）=64.463=f1 i2=2%時，（時，（F/A，2%，50）=84.579=f2說明所求說明所求i介于介于i1與與i2之間，利用公式（之間，利用公式（4.14）：）： (f0-f1)(i2 i1) 66.667-64.463 i=i1+=1%+(2%-1%) f2 -f 1

51、84.5790-64.4630 =1%+0.11%=1.11% 所以所以,50年保險期的實際利率為年保險期的實際利率為1.11%。 若此人活到若此人活到52歲就去世了，則在保險期內(nèi)的第歲就去世了，則在保險期內(nèi)的第27年保險公司要賠償年保險公司要賠償10000元，看其是否吃虧，就與存銀行所得本利和作比較：元，看其是否吃虧，就與存銀行所得本利和作比較： F=A（F/A，i，n） =150(F/A，6%，27) =15063.706 =9555.9（元）（元） 保險公司虧損：保險公司虧損：10000-9555.9=444.1（元）（元） 可見此人投保期間的實際利率只有可見此人投保期間的實際利率只有1

52、.11%，若此人，若此人52歲時去世了，則保險公歲時去世了，則保險公司就虧司就虧444.1元。元。 說明社會保險是一項社會福利事業(yè)，如果社會投保面廣，經(jīng)營得當，也是盈利說明社會保險是一項社會福利事業(yè)，如果社會投保面廣，經(jīng)營得當，也是盈利大的事業(yè)。大的事業(yè)。 三、計算未知年數(shù)三、計算未知年數(shù) 在計算技術(shù)方案的等值中另一種可能的情況是：已在計算技術(shù)方案的等值中另一種可能的情況是：已知方案現(xiàn)金流量知方案現(xiàn)金流量P、F或或A，以及方案的利率，以及方案的利率i，而方案，而方案的計算期的計算期n為待求的未知量。例如，要求計算方案的投為待求的未知量。例如，要求計算方案的投資回收期，借款清償期就屬于這種情況。

53、這時仍可借助資回收期，借款清償期就屬于這種情況。這時仍可借助查復利表，利用線性內(nèi)插法近似地求出查復利表，利用線性內(nèi)插法近似地求出n來。其求解基來。其求解基本思路與計算未知利率大體相同。本思路與計算未知利率大體相同。 例例: 假定國民經(jīng)濟收入的年增長率為假定國民經(jīng)濟收入的年增長率為10%，如果使國民經(jīng)濟收入翻，如果使國民經(jīng)濟收入翻兩番，問從現(xiàn)在起需多少年？兩番，問從現(xiàn)在起需多少年？ 解：設現(xiàn)在的國民經(jīng)濟收入為解：設現(xiàn)在的國民經(jīng)濟收入為P，若干年后翻兩番則為，若干年后翻兩番則為4P，由式（，由式（44） F=P（F/P，10，n） 4P=P（F/P，10%，n） （F/P，10%，n）=4 當當i

54、=10%時，時，4落在年數(shù)落在年數(shù)14年和年和15年之間。年之間。當當n=14年時，（年時，（F/P，10%，14）=3.7975，當當n=15年時，（年時，（F/P，10%，15）=4.1772。用直線內(nèi)插法得到：用直線內(nèi)插法得到： (4-3.7975)(15 14)n=n1+ 年年=14.53年年 4.1772 -3.7975上述的例子推廣到一般情況，仿照式（上述的例子推廣到一般情況，仿照式（414），可得出：），可得出： (f0-f1)(n2 n1) n=n1+ (416) f2 -f 1 例例: 某企業(yè)向外資貸款某企業(yè)向外資貸款200萬元建一工程，第三年投產(chǎn)，萬元建一工程，第三年投產(chǎn)，

55、投產(chǎn)后每年凈收益投產(chǎn)后每年凈收益40萬元，若年利率萬元，若年利率10%，問投產(chǎn)后多，問投產(chǎn)后多少年能歸還少年能歸還200萬元貸款的本息。萬元貸款的本息。 解：先畫出現(xiàn)金流量圖。解：先畫出現(xiàn)金流量圖。 為使方案的計算能利用公式，將第二年末（第三年初）作為使方案的計算能利用公式，將第二年末（第三年初）作為基期，計算為基期，計算F2。 P2=200（F/P，10%，2） =2001.210=242（萬元）（萬元）然后，利用式（然后，利用式（48）計算從投產(chǎn)后算起的償還期）計算從投產(chǎn)后算起的償還期n。 P=A（P/A，10%，n） 242=40（P/A，10%，n） （ P/A，10%，n）= =6.

56、05在在i=10%的復利表上，的復利表上，6.05落在第落在第9年和第年和第10年之間。年之間。當當n1=9時，（時，（P/A，10%，9）=5.759；當當n2=10時，（時，（P/A，10%，10）=6.144。40242根據(jù)式（根據(jù)式（415），有），有 (f0-f1)(n2 n1) (6.05-5.759)(10-9) n=n1+ =9+ 年年 f2 -f 1 6.1446-5.759 =9.7547年年 即投產(chǎn)后即投產(chǎn)后9.755年后能全部還清貨款的本息。年后能全部還清貨款的本息。例例: 假設年利率為假設年利率為6%，每年年末存進銀行，每年年末存進銀行1000元。如果要想在銀行擁有存款元。如果要想在銀行擁有存款10000元，問需要元，問需要存幾年存幾年?解：已知解：已知i=6%，A= 1000元，元，F(xiàn)= 10000元元 A=F(A/ F,i,n) (A/F,i,n) =A/F= 1000/10000=0.1 查查償債基金系數(shù)償債基金系數(shù)，在，在i=6%時：時： 當當 n1= 8時時, (A/F, 6%, 8) = 0.101 當當 n2= 9時時, (A/F, 6%, 9) = 0.0870 利用線性內(nèi)插法，求得：利用線性內(nèi)插法，求得： n= 8+ (0.1-0.101)/(0.087-0.101) = 8.07(年年)