同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第八章向量代數(shù)與解析幾何[共63頁]

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1、第五篇 向量代數(shù)與空間解析幾何第8章 向量代數(shù)與空間解析幾何 解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究幾何的問題，為了把代數(shù)運(yùn)算引入幾何中來，最根本的做法就是設(shè)法把空間的幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)的代數(shù)化，數(shù)量化. 平面解析幾何使一元函數(shù)微積分有了直觀的幾何意義，所以為了更好的學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分，空間解析幾何的知識就有著非常重要的地位.本章首先給出空間直角坐標(biāo)系，然后介紹向量的基礎(chǔ)知識，以向量為工具討論空間的平面和直線，最后介紹空間曲面和空間曲線的部分內(nèi)容.第1節(jié) 空間直角坐標(biāo)系1.1 空間直角坐標(biāo)系 用代數(shù)的方法來研究幾何的問題，我們需要建立空間的點與有序數(shù)組之間的聯(lián)系，為此我們通過引進(jìn)空間直角坐標(biāo)系來實

2、現(xiàn).1.1.1 空間直角坐標(biāo)系過定點，作三條互相垂直的數(shù)軸，這三條數(shù)軸分別叫做x軸(橫軸）、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)，它們都以為原點且具有相同的長度單位. 通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線；它們的正方向要符合右手規(guī)則：右手握住軸，當(dāng)右手的四指從x軸的正向轉(zhuǎn)過角度指向y軸正向時，大拇指的指向就是z軸的正向，這樣就建立了一個空間直角坐標(biāo)系（圖8-1），稱為直角坐標(biāo)系，點叫做坐標(biāo)原點.圖8-1在直角坐標(biāo)系下，數(shù)軸Ox,Oz統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸，三條坐標(biāo)軸中每兩條可以確定一個平面，稱為坐標(biāo)面，分別為，三個坐標(biāo)平面將空間分為八個部分，每一部分叫做一個卦限（圖8-2），分別用、表示.圖8-2 1

3、.1.2 空間點的直角坐標(biāo)設(shè)為空間中的任一點，過點分別作垂直于三個坐標(biāo)軸的三個平面，與軸、軸和軸依次交于、三點，若這三點在軸、軸、軸上的坐標(biāo)分別為，于是點就唯一確定了一個有序數(shù)組，則稱該數(shù)組為點在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，如圖8-3，分別稱為點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo) 圖8-3反之，若任意給定一個有序數(shù)組，在軸、軸、軸上分別取坐標(biāo)為，的三個點、，過這三個點分別作垂直于三個坐標(biāo)軸的平面，這三個平面只有一個交點，該點就是以有序數(shù)組為坐標(biāo)的點，因此空間中的點就與有序數(shù)組之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系注：、這三點正好是過點作三個坐標(biāo)軸的垂線的垂足1.2 空間中兩點之間的距離 設(shè)兩點，則與之間的距離為 （8-1

4、-1）事實上，過點和作垂直于平面的直線，分別交平面于點和，則 ，顯然，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為（如圖8-4）圖8-4由平面解析幾何的兩點間距離公式知，和的距離為：過點作平行于平面的平面，交直線于，則，因此的坐標(biāo)為，且，在直角三角形中，所以點與間的距離為例1 設(shè)與為空間兩點，求與兩點間的距離解 由公式（8-1-1）可得，與兩點間的距離為例2 在軸上求與點和等距的點解 由于所求的點在軸上，因而點的坐標(biāo)可設(shè)為，又由于，由公式（8-1-1），得從而解得，即所求的點為習(xí)題8-11討論空間直角坐標(biāo)系的八個卦限中的點的坐標(biāo)的符號2在坐標(biāo)軸上的點和在坐標(biāo)平面上的點的坐標(biāo)各有何特點？3在空間直角坐標(biāo)系中，畫出下列

5、各點： ；4求點關(guān)于各坐標(biāo)平面對稱的點的坐標(biāo)5求點關(guān)于各坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)6求下列各對點間的距離：(1) 與；(2) 與7在坐標(biāo)平面上求與三點、和等距的點8求點與原點、各坐標(biāo)平面和各坐標(biāo)軸的距離9. 證明以為頂點的三角形ABC是一等腰三角形.第2節(jié) 空間向量的代數(shù)運(yùn)算2.1 空間向量的概念在日常生活中，我們經(jīng)常會遇到一些量，如質(zhì)量、時間、面積、溫度等，它們在取定一個度量單位后，就可以用一個數(shù)來表示這種只有大小沒有方向的量，叫做數(shù)量（或標(biāo)量）但有一些量，如力、位移、速度、電場強(qiáng)度等，僅僅用一個實數(shù)是無法將它們確切表示出來，因為它們不僅有大小，而且還有方向，這種既有大小又有方向的量，叫做向量（或

6、矢量）在數(shù)學(xué)上，我們用有向線段來表示向量，稱為向量的起點，稱為向量的終點，有向線段的長度就表示向量的大小，有向線段的方向就表示向量的方向通常在印刷時用黑體小寫字母，來表示向量，手寫時用帶箭頭的小寫字母來記向量.向量的長度稱為向量的模，記作或，模為的向量叫做單位向量，模為的向量叫做零向量，記作0，規(guī)定：零向量的方向可以是任意的本章我們討論的是自由向量，即只考慮向量的大小和方向，而不考慮向量的起點，因此，我們把大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，記作.規(guī)定：所有的零向量都相等.與向量大小相等，方向相反的向量叫做的負(fù)向量(或反向量)，記作平行于同一直線的一組向量稱為平行向量（或共線向量）平行于同一

7、平面的一組向量，叫做共面向量，零向量與任何共面的向量組共面. 2.2 向量的線性運(yùn)算 2.2.1 向量的加法我們在物理學(xué)中知道力與位移都是向量，求兩個力的合力用的是平行四邊形法則，我們可以類似地定義兩個向量的加法定義1 對向量，從同一起點作有向線段、分別表示與，然后以、為鄰邊作平行四邊形，則我們把從起點到頂點的向量稱為向量與的和（圖8-5），記作這種求和方法稱為平行四邊形法則 圖8-5 圖8-6若將向量平移，使其起點與向量的終點重合，則以的起點為起點，的終點為終點的向量就是與的和(圖8-6），該法則稱為三角形法則多個向量，如、首尾相接，則從第一個向量的起點到最后一個向量的終點的向量就是它們的和

8、 （圖8-7）圖8-7對于任意向量，滿足以下運(yùn)算法則：(1) (交換律)(2) (結(jié)合律)(3) 2.2.2 向量的減法定義2 向量與的負(fù)向量的和，稱為向量與的差，即 特別地，當(dāng)時，有.由向量減法的定義，我們從同一起點作有向線段，分別表示，則也就是說，若向量與的起點放在一起，則，的差向量就是以的終點為起點，以的終點為終點的向量（圖8-8） 圖8-82.2.3數(shù)乘向量定義3 實數(shù)與向量的乘積是一個向量，記作，的模是，方向： 當(dāng)時，與同向；當(dāng)時，與反向；當(dāng)時，對于任意向量，以及任意實數(shù)，有運(yùn)算法則：(1) (2) (3) 向量的加法、減法及數(shù)乘向量運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，稱為，的一個線性組合 特

9、別地，與同方向的單位向量叫做的單位向量，記做，即. 上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個與原向量同方向的單位向量. 例1 如圖8-9，在平行六面體中，設(shè),試用來表示對角線向量圖8-9解 ； .由于向量與平行，所以我們通常用數(shù)與向量的乘積來說明兩個向量的平行關(guān)系.即有,定理1 向量與非零向量平行的充分必要條件是存在一個實數(shù)，使得.2.3 向量的坐標(biāo)表示2.3.1向量在坐標(biāo)軸上的投影設(shè)為空間中一點，過點作軸的垂線，垂足為，則稱為點在軸上的投影(圖8-10)圖8-10若為空間直角坐標(biāo)系中的一點，則在軸、軸、軸上的投影為、，如圖8-11所示圖8-11設(shè)向量的始點與終點在軸的投影分別為、，那么軸

10、上的有向線段的值叫做向量在軸上的投影，記作，軸稱為投影軸.圖8-12當(dāng)與軸同向時，投影取正號，當(dāng)與軸反向時，投影取負(fù)號注 (1) 向量在軸上投影是標(biāo)量(2) 設(shè)為空間直角坐標(biāo)系中的一個向量，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，顯然，向量在三個坐標(biāo)軸上的投影分別為， 2.3.2向量的坐標(biāo)表示 取空間直角坐標(biāo)系，在軸、軸、軸上各取一個與坐標(biāo)軸同向的單位向量，依次記作，它們稱為坐標(biāo)向量空間中任一向量，它都可以唯一地表示為數(shù)乘之和事實上，設(shè)，過、作坐標(biāo)軸的投影，如圖8-13所示由于與平行，與平行，與平行，所以，存在唯一的實數(shù)，使得，即 (8-2-1)圖 8-13我們把(8-2-1)式中系數(shù)組成的有序數(shù)組叫做向量的

11、直角坐標(biāo)，記為，向量的坐標(biāo)確定了，向量也就確定了顯然，(8-2-1)中的是向量分別在軸、軸、軸上的投影因此，在空間直角坐標(biāo)系中的向量的坐標(biāo)就是該向量在三個坐標(biāo)軸上的投影組成的有序數(shù)組例2 在空間直角坐標(biāo)系中設(shè)點，求向量及的直角坐標(biāo)解 由于向量的坐標(biāo)即為向量在坐標(biāo)軸上的投影組成的有序數(shù)組，而向量的各投影即為終點坐標(biāo)與起點坐標(biāo)對應(yīng)分量的差所以向量的坐標(biāo)為，向量的坐標(biāo)為例3(定比分點公式) 設(shè)和為兩已知點，有向線段上的點將它分為兩條有向線段和，使它們的值的比等于數(shù)，即，求分點的坐標(biāo). 圖8-14解 如圖8-14，因為與在同一直線上，且同方向，故，而 ， 所以 ， 解得 當(dāng)l=1, 點的有向線段的中點

12、, 其坐標(biāo)為 , , .2.3.3向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式向量可以用它的模與方向來表示，也可以用它的坐標(biāo)式來表示，這兩種表示法之間的是有聯(lián)系的.設(shè)空間向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角分別為，規(guī)定： ,稱為向量的方向角. 圖8-15因為向量的坐標(biāo)就是向量在坐標(biāo)軸上的投影，因此 (8-2-2) 公式(8.2.2)中出現(xiàn)的稱為向量的方向余弦.而 是與向量同方向的單位向量.而 ，故向量的模為 (8-2-3)從而向量的方向余弦為 (8-2-4)并且 . 例4 已知兩點和,求向量的模、方向余弦和方向角. 解 ；. 例5 已知兩點和，求與同方向的單位向量. 解 因為 所以 于是 2.4 向量的數(shù)量積在物理

13、中我們知道，一質(zhì)點在恒力的作用下，由點沿直線移到點，若力與位移向量的夾角為，則力所作的功為類似的情況在其他問題中也經(jīng)常遇到由此，我們引入兩向量的數(shù)量積的概念定義1 設(shè)，為空間中的兩個向量，則數(shù)叫做向量與的數(shù)量積(也稱內(nèi)積或點積)，記作，讀作“點乘”即 （8-2-5）其中表示向量與的夾角，并且規(guī)定 兩向量的數(shù)量積是一個數(shù)量而不是向量，特別地當(dāng)兩向量中一個為零向量時，就有.由向量數(shù)量積的定義易知：(1) ，因此 (2) 對于兩個非零向量，與垂直的充要條件是它們的數(shù)量積為零，即注 數(shù)量積在解決有關(guān)長度、角度、垂直等度量問題上起著重要作用數(shù)量積的運(yùn)算滿足如下運(yùn)算性質(zhì)：對于任意向量，及任意實數(shù)，有(1)

14、 交換律：(2) 分配律：(3) 與數(shù)乘結(jié)合律：(4) 當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立例6 對坐標(biāo)向量，求， ，解 由坐標(biāo)向量的特點及向量內(nèi)積的定義得，例7 已知，求，解 由兩向量的數(shù)量積定義有 ，因此在空間直角坐標(biāo)系下，設(shè)向量，向量，即,則由于，所以 (8-2-6)也就是說，在直角坐標(biāo)系下，兩向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)分量的乘積之和同樣，利用向量的直角坐標(biāo)也可以求出向量的模、兩向量的夾角公式以及兩向量垂直的充要條件，即設(shè)非零向量，向量，則 (8-2-7) (8-2-8) (8-2-9)例8 在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)三點，證明:是直角三角形證明 由題意可知，則，所以即是直角三角形2.5向量的向量積在物理

15、學(xué)中我們知道，要表示一外力對物體的轉(zhuǎn)動所產(chǎn)生的影響，我們用力矩的概念來描述設(shè)一杠桿的一端固定，力作用于杠桿上的點處，與的夾角為，則杠桿在的作用下繞點轉(zhuǎn)動，這時，可用力矩來描述力對的力矩是個向量，的大小為的方向與及都垂直，且，成右手系，如圖8-16所示 圖8-162.5.1向量積的定義在實際生活中，我們會經(jīng)常遇到象這樣由兩個向量所決定的另一個向量，由此，我們引入兩向量的向量積的概念定義2 設(shè)，為空間中的兩個向量，若由，所決定的向量，其模為 (8-2-10)其方向與，均垂直且，成右手系（如圖8-17），則向量叫做向量與的向量積(也稱外積或叉積)記作，讀作“叉乘”注 (1) 兩向量與的向量積是一個向

16、量，其模的幾何意義是以，為鄰邊的平行四邊形的面積(2) 這是因為夾角=0，所以 圖8-17(3)對兩個非零向量與，與平行(即平行)的充要條件是它們的向量積為零向量向量積的運(yùn)算滿足如下性質(zhì)：對任意向量，及任意實數(shù)，有(1) 反交換律：(2) 分配律: ，(3) 與數(shù)乘的結(jié)合律：例9 對坐標(biāo)向量，求，解 ，2.5.2向量積的直角坐標(biāo)運(yùn)算在空間直角坐標(biāo)系下，設(shè)向量，向量，即，因為，則為了便于記憶，借助于線性代數(shù)中的二階行列式及三階行列式有注 設(shè)兩個非零向量，則，若某個分母為零，則規(guī)定相應(yīng)的分子為零例10 設(shè)向量，求的坐標(biāo)解 因此的直角坐標(biāo)為例11 在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量，求同時垂直于向量與的單位

17、向量解 設(shè)向量，則同時與，垂直而，所以向量的坐標(biāo)為再將單位化，得，即與為所求的向量例12 在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)點，求的面積解 由兩向量積的模的幾何意義知：以、為鄰邊的平行四邊形的面積為，由于，因此，所以故的面積為2.6向量的混合積定義3 給定空間三個向量，如果先作前兩個向量與的向量積，再作所得的向量與第三個向量的數(shù)量積，最后得到的這個數(shù)叫做三向量的混合積，記做或. 說明：三個不共面向量的混合積的絕對值等于以為棱的平行六面體的體積. 定理 如果，那么 習(xí)題8-25.設(shè)為單位向量,且滿足,求6.7.已知三點的坐標(biāo)、模、方向余弦和方向角.8.一向量的終點在點B(2,-1,7),它在x軸、y軸和z軸

18、上的投影依次為4，-4和7.求這向量的起點A的坐標(biāo).9設(shè)，求，10設(shè)向量，兩兩垂直，且，求向量的模及11在空間直角坐標(biāo)系中，已知，求：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 12.已知向量，計算（1）（2）（3）.13設(shè)向量，的直角坐標(biāo)分別為和，若，求的值 14設(shè)向量，求以為鄰邊構(gòu)造的平行四邊形面積15求同時垂直于向量和縱軸的單位向量16已知三角形三個頂點，求的面積第3節(jié) 空間中的平面與直線方程在本節(jié)我們以向量為工具，在空間直角坐標(biāo)系中討論最簡單的曲面和曲線平面和直線.3.1平面及其方程首先利用向量的概念，在空間直角坐標(biāo)系中建立平面的方程，下面我們將給出幾種由不同條件所確定的平面的方程3.1.1

19、平面的點法式方程若一個非零向量垂直于平面，則稱向量為平面的一個法向量顯然，若是平面的一個法向量，則 (為任意非零實數(shù))都是的法向量，即平面上的任一向量均與該平面的法向量垂直由立體幾何知識知道，過一個定點且垂直于一個非零向量有且只有一個平面設(shè)為平面上的任一點，由于，因此由兩向量垂直的充要條件，得,而，所以可得 (8-3-1)由于平面上任意一點都滿足方程(8-3-1)，而不在平面上的點都不滿足方程(8-3-1)，因此方程(8-3-1)就是平面的方程由于方程(8-3-1)是給定點和法向量所確定的，因而稱式(8-3-1)叫做平面的點法式方程圖8-18例1 求通過點且垂直于向量的平面方程解 由于為所求平

20、面的一個法向量，平面又過點，所以，由平面的點法式方程(6-14)可得所求平面的方程為，整理，得例2 求過三點， 的平面的方程解 所求平面的法向量必定同時垂直于與因此可取與的向量積為該平面的一個法向量即由于，因此,因此所求平面的方程為，化簡得一般地，過三點的平面方程為稱為平面的三點式方程。特殊地，過三點， 的平面的方程為化簡整理得 (8-3-2)、三點為平面與三個坐標(biāo)軸的交點，我們把這三個點中的坐標(biāo)分量分別叫做該平面在軸，軸和軸上截距，方程(8-3-2)稱平面的截距式方程，如圖8-19圖8-193.1.2平面的一般式方程 前面我們有了平面的點法式方程，展開平面的點法式方程(6-14)，得，設(shè)，則

21、 (不全為零) (8-3-3)即任意一個平面的方程都是的一次方程反過來，任意一個含有的一次方程(8-3-3)都表示一個平面事實上，設(shè)是滿足方程(8-3-3)的一組解，則 (8-3-4)式(8-3-3)減去式(8-3-4)，得 (8-3-5)由(8-3-5)決定一非零向量，它與向量垂直，其中，而為一固定點，為任一點因此平面(8-3-3)上任一點與的連線均與垂直，由平面的點法式方程可知，方程(8-3-3)表示一個平面我們稱方程(8-3-3)為平面的一般式方程其中為該平面的一個法向量現(xiàn)在來討論(8-3-3)的幾種特殊情況，也就是當(dāng)它的某些系數(shù)或常數(shù)項為零時，平面對坐標(biāo)系來說具有某種特殊位置的情況.1

22、. ，上式變?yōu)椋藭r為方程組的解，因此平面通過原點；反過來，如果平面通過原點，那么顯然有.2. 中有一個為0，例如，上式就變?yōu)椋?dāng)時，軸上任意一點都不滿足方程，所以x軸與平面平行；當(dāng)時，軸上每一點都滿足方程，這時平面通過軸.反過來，當(dāng)平面平行x軸時，我們有平面通過軸時，對于其他兩種情況可以得出類似的結(jié)論.3. 中有兩個為0時，可得下面的結(jié)論： 當(dāng)且僅當(dāng)，平面平行于坐標(biāo)面當(dāng)且僅當(dāng)平面就是例3 求過兩點，且與軸平行的平面方程解 要求出平面的方程，關(guān)鍵要找出平面所過的一個點以及平面的一個法向量由已知，所求平面的法向量同時與和軸垂直即法向量同時與和垂直因此，可取作為該平面的一個法向量所以為所求平面的一

23、個法向量再由平面的點法式方程(6-14)得所求平面的方程為，整理得3.1.3兩平面間的關(guān)系空間兩個平面之間的位置關(guān)系有三種：平行、重合和相交下面根據(jù)兩個平面的方程來討論它們之間的位置關(guān)系設(shè)有兩個平面與，它們的方程為： (不同時為零)，： (不同時為零)，則它們的法向量分別為和(1) 兩平面平行(2) 兩平面重合(3) 兩平面相交與不成比例當(dāng)兩平面相交時，把它們的夾角定義為其法向量的夾角，且規(guī)定 圖8-20即 特別地，當(dāng)時，則，即反之亦然，所以例4 求兩平面和的夾角.解 由公式有， 因此，所求夾角.例5 一平面通過兩點和且垂直于平面，求它的方程.解 設(shè)所求平面的一個法向量為.因在所求平面上，它必

24、與n垂直，所以有又因所求平面垂直與已知平面所以有所以得由平面的點法式方程可知，所求平面方程為,整理得 ,這就是所求的平面方程.3.1.4點到平面的距離在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)點，平面：(不全為零)，可以證明點到平面的距離為例6 求點到平面：的距離解 由點到平面的距離公式得例7 求兩個平行平面與間的距離解 在一個平面上任取一點，如取點，則點到另一平面的距離即為兩平行平面間的距離所以例8 求過直線且與點的距離為1 的平面方程. 解 設(shè)過此直線的平面束方程為:,由點到平面的距離公式,故所求平面的方程為3.2空間中的直線及其方程3.2.1直線的點向式方程我們知道，一個點和一個方向可以確定一條直線，而方向

25、可以用一個非零向量來表示因此，一個點和一個非零向量確定一條直線如果一個非零向量與直線平行，則稱向量是直線的一個方向向量而向量的方向余弦叫做該直線的方向余弦.顯然，若是直線的一個方向向量，則 (為任意非零實數(shù))都是的方向向量在空間直角坐標(biāo)系中，若是直線上的一個點，為的一個方向向量，下面求直線的方程設(shè)為直線上的任一點，如圖8-21，則，所以兩向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例而的坐標(biāo)為，因此有 (8-3-6)稱式(8-3-6)為直線的點向式方程（或叫對稱式方程）其中是直線上一點的坐標(biāo)，為直線的一個方向向量注 由于直線的方向向量，所以不全為零，但當(dāng)有一個為零時，如時，(8-3-6)應(yīng)理解為該直線與平面平行當(dāng)有兩個為

26、零時，如時，式(8-3-6)應(yīng)理解為該直線與軸平行由直線的點向式方程很容易導(dǎo)出直線的參數(shù)方程.如設(shè)那么 ,方程組就是直線的參數(shù)方程.例9 設(shè)直線過兩點和，求直線的方程解 直線的一個方向向量為，則,由直線的點向式方程(6-22)可得的方程為例10 求過點且與兩平面：和：都平行的直線方程解 所求的直線與與都平行，即與、的法向量、都垂直，其中，因此可用作為直線的一個方向向量，即 于是所求直線的方程為3.2.2直線的一般式方程空間任一條直線都可看成是通過該直線的兩個平面的交線，同時空間兩個相交平面確定一條直線，所以將兩個平面方程聯(lián)立起來就代表空間直線的方程設(shè)兩個平面的方程為 ：， ：，則 (8-3-7

27、)表示一條直線，其中與不成比例稱(8-3-7)為直線的一般式方程圖8-22例11 將直線的一般式方程化為點向式方程和參數(shù)方程解 先求直線上一點，不妨設(shè)，代入方程中得解之得所以為直線上的一點再求直線的一個方向向量由于直線與兩個平面的法向量、都垂直，其中，因此可用作為直線的一個方向向量，即于是，該直線的點向式方程為令得所給直線的參數(shù)方程為3.2.3兩直線間的關(guān)系空間中兩條直線的位置關(guān)系可以用兩條直線的方程構(gòu)成的方程組的解來確定設(shè)兩條直線與的方程為：，：，由它們的方程構(gòu)成的方程組 (8-3-8) 若方程組(8-3-8)有無窮組解，則與重合； 若方程組(8-3-8)只有一組解，則與相交，且方程組的解即

28、為與的交點坐標(biāo)； 若方程組(8-3-8)無解，且，即，則與平行； 若方程組(8-3-8)無解，且，則與異面直線兩相交直線與所形成的4個角中，把不大于的那對對頂角叫做這兩條直線的夾角若與的方向向量分別為，顯然有 (8-3-9)注 (1) 若，相當(dāng)于，規(guī)定與的夾角為0；(2) 對于異面直線，可把這兩條直線平移至相交狀態(tài)，此時，它們的夾角稱為異面直線的夾角；(3) 若例12 判斷直線：與的位置關(guān)系解 容易知由、的方程聯(lián)立得到的方程組無解，因此直線與不相交而的一個方向向量為，的一個方向向量為,則與不平行因此與為異面直線 例13 求直線 和的夾角.解 直線的方向向量為, 直線的方向向量為兩直線的夾角余弦

29、為=,即 .例14 求與平面和的交線平行且過點的直線方程.解 直線方程的方向向量可取為：則所求直線方程為:例15 求過點(2,1,3)且與直線垂直相交的直線方程. 解 (法一)過點(2,1,3)作平面垂直于已知直線,則此平面的方程為 求已知直線與該平面的交點,將直線的參數(shù)方程代入平面方程得，從而得交點于是所求直線的方向向量為. 故所求直線的方程為:.(法二)設(shè)所求直線的參數(shù)方程為由于所求直線與已知直線垂直,從而有:. 又由于所求直線與已知直線相交,故由兩直線的參數(shù)方程有,. 顯然,從而解得:. 故有所求直線的參數(shù)方程為:,或者所求直線的方程為:.3.2.4直線與平面的位置關(guān)系在空間中，直線與平

30、面的位置關(guān)系有三種：直線在平面內(nèi)，直線與平面平行，直線與平面相交，它們的位置關(guān)系可以根據(jù)聯(lián)立直線與平面的方程構(gòu)成的方程組解的情況來判定設(shè)直線：，平面：，將其聯(lián)立起來的方程組為 (8-3-10)(1) 若方程組(8-3-10)有無窮組解，則在內(nèi)，即(2) 若方程組(8-3-10)無解，則；(3) 若方程組(8-3-10)只有一組解，則與相交，方程組的解即為與的交點坐標(biāo)注 還可以根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量的關(guān)系來判定直線與平面的位置關(guān)系若，即時，在內(nèi)或；若，即與不垂直時，與相交例16 判斷下列直線與平面的位置關(guān)系，若相交，求出交點坐標(biāo)(1) ：，：；(2) ：，：；(3) ：，：解 (1)

31、設(shè)，則代入，得，即（無解）因此(2) 顯然方程組有無窮組解，因此在內(nèi)(3) 解方程組得，因此，與相交，且交點坐標(biāo)為直線與它在平面上的投影之間的夾角 ()，稱為直線與平面的夾角若直線：，平面：，則直線的方向向量為，平面的法向量為，設(shè)直線與平面的法線之間的夾角為，則(如圖8-23)所以， (8-3-11)特別地圖8-233.2.5平面束 定義 通過定直線的所有平面方程的全體稱為平面束。定理 設(shè)直線L為,其中系數(shù)A1,B1,C1和A2,B2,C2不成比例,則過L的平面束方程為 (8-3-12)其中是不全為零的任意實數(shù).例17 求直線在平面上的投影直線方程. 解 設(shè)經(jīng)過直線L:的平面束方程為即由于此平

32、面與已知平面垂直,所以即有,代入平面束方程得投影平面的方程為從而得投影直線l的方程:習(xí)題8-3 9.求過兩點的直線方程.11.求過點且與兩直線平行的平面方程.14.求直線與平面的夾角.21.求點到直線的距離.第4節(jié) 空間曲面及其方程4.1曲面方程的概念空間曲面方程的意義與平面解析幾何中曲線與方程的意義相仿，那就是在建立了空間直角坐標(biāo)系之后，任何曲面都看成點的幾何軌跡，由此可以定義空間曲面的方程定義1 如果曲面與方程,滿足(1) 曲面上每一點的坐標(biāo)都滿足方程；(2) 以滿足方程的解為坐標(biāo)的點都在曲面上則稱方程為曲面的方程，而稱曲面為此方程的圖形（圖8-24） 圖8-24 圖8-25下面我們在直角

33、坐標(biāo)系下，舉例說明怎樣從曲面上的點的特征性質(zhì)來導(dǎo)出曲面的方程.例1 求聯(lián)結(jié)兩點A（1,2,3）和B（2，-1,4）的線段的垂直平分面的方程.解 垂直平分面可以看成到兩定點A和B為等距離的動點M（x，y，z）的軌跡.設(shè)M（x，y，z）為所求平面上的任意一點，根據(jù)點M的特性|AM|=|BM|，而 所以,化簡得 這就是所求的垂直平分面的方程.例2 設(shè)球面的中心是點，半徑為的球面方程(圖8-25).解 定點為，定長為，設(shè)是球面上任一點，則，即，兩邊平方，得 （8-4-1）反之，若的坐標(biāo)滿足方程(6-28)，則總有，所以方程(8-4-1)為是以為球心，以半徑的球面方程特別地，以坐標(biāo)原點為球心，以半徑的球

34、面方程為 將（8-4-1）式展開得,所以，球面方程具有下列兩個特點：（1） 它是之間的二次方程，且方程中缺項；（2） 的系數(shù)相同且不為零。例3 方程表示怎樣的曲面？解 通過配方原方程可以改寫為,所以原方程表示球心在、半徑為的球面.上面幾個例子表明在空間解析幾何中關(guān)于曲面的研究，有下列兩個問題：（1） 已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程（2） 已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究這個關(guān)系式所表示的曲面形狀 下面我們繼續(xù)介紹柱面、旋轉(zhuǎn)曲面與常見的二次曲面.在這些曲面中，有的具有較為突出的幾何特征，有的在方程上表現(xiàn)出特殊的簡單形式，對于前者，我們從圖形出發(fā)，去討論曲面的方程；而對于后者，我們將從它的方程去研究它

35、的圖形.4.2柱面用直線沿空間一條曲線平行移動所形成的曲面稱為柱面動直線稱為柱面的母線，定曲線稱為柱面的準(zhǔn)線，如圖8-26所示常見的柱面有：圓柱面： (圖8-27),橢圓柱面： (圖8-28),雙曲柱面： (圖8-29),拋物柱面： (圖8-30) 圖8-26 圖8-27 圖8-28 圖8-29 圖8-30注 若曲面方程為，則它一定是母線平行于軸，準(zhǔn)線為平面的一條曲線(在平面直角坐標(biāo)系中的方程為)的柱面類似的，只含而缺的方程和只含而缺的方程分別表示母線平行于y軸和x軸的柱面.如圓柱面：，它就是以平面上的圓作為準(zhǔn)線，以平行于軸的直線作為母線形成的柱面 再如平面表示母線平行于軸,準(zhǔn)線為平面上的直線

36、:平面為特殊的柱面。圖8-314.3 旋轉(zhuǎn)曲面一條平面曲線繞同一平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面曲線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線，定直線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸，簡稱軸前面講過的球面，圓柱面等都是旋轉(zhuǎn)曲面例4 設(shè)母線在平面上，它的平面直角坐標(biāo)方程為證明：繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為證明 設(shè)為旋轉(zhuǎn)曲面上的任一點，并假定點是由曲線上的點繞軸旋轉(zhuǎn)到一定角度而得到的因而，且點到軸的距離與到軸的距離相等而到軸的距離為，到軸的距離為，即又因為在上，因而，將上式代入得，即旋轉(zhuǎn)曲面上任一點的坐標(biāo)滿足方程 . 圖8-32注 此例說明，若旋轉(zhuǎn)曲面的母線在平面上，它在平面直角坐標(biāo)系中的方程為，則要寫出曲線繞軸旋轉(zhuǎn)

37、的旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只需將方程中的換成即可同理，曲線繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為，即將中的換成反之，一個方程是否表示旋轉(zhuǎn)曲面，只需看方程中是否含有兩個變量的平方和如在平面內(nèi)的橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為，該曲面稱為旋轉(zhuǎn)橢球面 例5 將坐標(biāo)面上的雙曲線=1分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周,求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解 繞x軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面: . 繞z軸旋轉(zhuǎn)生成旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面: 例6 直線繞另一條與相交的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面叫圓錐面兩直線的交點為 圓錐面的頂點，兩直線的夾角叫圓錐面的半頂角試建立頂點在坐標(biāo)原點，旋轉(zhuǎn)軸為軸，半頂角為的圓錐面方程解 面上直線方程為,因為旋轉(zhuǎn)軸為z軸，所以只要

38、將方程中的y改成，便得到這個圓錐面方程 .或，其中.顯然圓錐面上任一點M的坐標(biāo)一定滿足錐面方程.如果點M不住圓錐面上，那么直線OM與z軸的夾角就不等于，于是點M的坐標(biāo)就不滿足此方程. 4.4 二次曲面 我們把三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.適當(dāng)選取坐標(biāo)系，可得到它們的標(biāo)準(zhǔn)方程.下面就它們的標(biāo)準(zhǔn)方程來討論幾種常見的二次曲面的形狀.二次曲面有九種，選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，可以得到它們的標(biāo)準(zhǔn)方程.前面我們已經(jīng)有了三種二次曲面，橢圓柱面 ，雙曲柱面，拋物面下面我們討論另外6種二次曲面的形狀.1. 橢圓錐面 由方程所確定的曲面稱為橢圓錐面,圖像如右圖2橢球面由方程 ()所確定的曲面稱為橢球面，稱為橢球面

39、的半軸，此方程稱為橢球面的標(biāo)準(zhǔn)方程橢球面的形狀如圖8-33圖8-333雙曲面由方程 () (8-4-2)所確定的曲面稱為單葉雙曲面（圖8-34）由方程 () (8-4-3)所確定的曲面稱為雙葉雙曲面（圖8-35）注 方程和也都是單葉雙曲面注 方程和也都是雙葉雙曲面 圖8-33 圖8-354拋物面由方程 () (8-4-4)所確定的曲面稱為橢圓拋物面由方程 () (8-4-5)所確定的曲面稱為雙曲拋物面用截痕法可得到它們的圖形分別如圖(8-33)與(8-34)所示注 雙曲拋物面的圖形形狀很象馬鞍，因此也稱馬鞍面 圖8-34 圖8-35習(xí)題8-41 建立以點為球心，且過原點的球面方程.2 方程表示

40、什么曲面？3 一動點與點的距離為與平面的距離的一半，試求其所生成的軌跡，并確定它為何種二次曲面.4 將面上的拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)，求出旋轉(zhuǎn)后所得的曲面方程.5. 將坐標(biāo)面上的圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.6. 將坐標(biāo)面上的雙曲線分別繞軸，軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.7說明下列二次曲面的名稱，若它們是旋轉(zhuǎn)曲面，那么，是怎樣生成的？8指出下列方程在平面解析幾何和空間解析幾何中所表示的不同意義.（1）（2）；（3）；（4）。9指出下列各方程在空間解析幾何中所表示的幾何圖形，并作出它們的草圖.第5節(jié) 空間曲線及其方程5.1空間曲線的一般方程空間曲線可看作兩曲面的交線，設(shè) 和 是兩曲面的方程

41、，它們的交線為.曲線上的任何點的坐標(biāo)應(yīng)同時滿足這兩個曲面方程，因此，應(yīng)滿足方程組，(8-5-1)反過來，如果點不在曲線上，那么它不可能同時兩曲面上.所以，它的坐標(biāo)不滿足方程組(1).由上述兩點可知：曲線可由方程組(8-5-1)表示.圖8-36方程組(8-5-1)稱作空間曲線的一般方程.例1 方程組 表示怎樣的曲線？解 表示圓柱面，表示平面，所以方程組就表示圓柱面與平面的交線，即橢圓. 例2 討論方程組表示的曲線.解 該方程組表示上半球面與圓柱面的交線C，如下圖 5.2空間曲線的參數(shù)方程 對于空間曲線，若上的動點的坐標(biāo)可表示成為參數(shù)的函數(shù)(8-5-2)隨著的變動可得到曲線上的全部點，方程組(8-

42、5-2)叫做空間曲線參數(shù)方程.例3 將空間曲線 表示成參數(shù)方程.解 由方程組消去得 化簡整理得 由于在此橢圓柱面上，故的方程可用如下形式來表示(1)如果我們以作為參數(shù)，即令 ,則 ， .從而得到曲線的參數(shù)方程 (2)如果令，由橢球柱面方程有 ，而,則曲線又可表示成為5.3 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線的一般方程為,(8-5-3)下面，我們來研究由方程組(8-5-3)消去變量之后所得到的方程,(8-5-4)因(8-5-4)是由(8-5-3)消去后所得，則當(dāng)坐標(biāo) 適合方程組(8-5-3)時，前兩個坐標(biāo)必定適合方程(8-5-4)，即曲線上的所有點都在由(8-5-4)表示的曲面上.而方程(8-5

43、-4)表示一個母線平行于軸的柱面，因此，此柱面必定包含曲線.以曲線為準(zhǔn)線，母線平行于軸的柱面叫做關(guān)于面的投影柱面；投影柱面與面的交線叫做空間曲線在面上的投影曲線，該曲線的方程可寫成.同理，消去方程組( 8-5-3) 中的變量 或 ，再分別與 或 聯(lián)立，我們便得到了空間曲線在或 面上的投影曲線方程. 或 .例4 已知求它們的交線在面上的投影曲線方程.解 先求包含曲線且母線平行于軸的柱面，從方程組中消去，有,這便是所要求的柱面方程，即一個準(zhǔn)線為坐標(biāo)面上的拋物線，母線平行于軸的拋物柱面.于是，曲線在面上的投影曲線為. 在重積分和曲面積分的計算中，往往需要確定一個立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影，這時要利用

44、投影柱面和投影曲線. 有時，我們需要確定一個空間立體（或空間曲面）在坐標(biāo)面上的投影，一般來說，這種投影往往是一個平面區(qū)域，因此，我們稱它為空間立體（或空間曲面）在坐標(biāo)面的投影區(qū)域.投影區(qū)域可以利用投影柱面與投影曲線來確定.例5 求上半球面 和錐面 所圍成的空間立體在面上的投影區(qū)域.解 上半球面與錐面的交線C為由方程組消去變量，有這是母線平行于軸的投影柱面，空間立體恰好鑲在該柱體內(nèi)，該柱體在面的交線所包圍的區(qū)域正好是在面上的投影區(qū)域.投影柱面在面上的交線為這是一個圓，它所包圍的區(qū)域為.習(xí)題8-51. 指出下列方程組在平面解析幾何中與在空間解析幾何中分別表示什么圖形：（1） ； （2）；（3）2求

45、曲線在坐標(biāo)面上的投影方程.3.求拋物面與平面的截線在三個坐標(biāo)面上的投影曲線方程.4.分別求母線平行于軸及軸而且通過曲線的柱面方程.5.求橢圓拋物面與拋物柱面的交線關(guān)于面的投影柱面和在面上的投影曲線方程.6求空間區(qū)域與的公共部分在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域.7畫出旋轉(zhuǎn)拋物面（）在三個坐標(biāo)面上的投影.8.將下列曲線的一般式方程化為參數(shù)方程：9. 求螺旋線在坐標(biāo)面上的投影.第6節(jié) 空間曲線和曲面的應(yīng)用及舉例6.1空間曲線的應(yīng)用及舉例6.1.1.螺旋線 例1 如果空間一點在圓柱面上以角速度繞軸旋轉(zhuǎn)，同時又以線速度沿平行于軸的正方向上升(其中：，均為常數(shù))，那未點的軌跡叫做螺旋線，試建立其參數(shù)方程. 解 取時間

46、為參數(shù).設(shè)當(dāng) 時，動點與軸上的點 重合，經(jīng)過時間，動點由運(yùn)動到. 記在面上的投影為，它的坐標(biāo)為由于動點在圓柱面上以角速度繞軸旋轉(zhuǎn)，經(jīng)過時間，從而 .又由于動點同時以線速度沿平行于軸正方向上升，所以.因此，螺旋線的參數(shù)方程為,或令，則方程形式可化為.螺旋線有一個重要性質(zhì)：當(dāng)從變到時，由變到；這表明當(dāng)轉(zhuǎn)過角時，點沿螺旋線上升了高度；特別地，當(dāng)轉(zhuǎn)過一周，即時，點就上升固定的高度為，這個高度在工程技術(shù)上叫螺距.螺旋線有廣泛的應(yīng)用，如：平頭螺絲釘圓柱螺旋線、圓錐對數(shù)螺旋天線、植物中的對數(shù)螺旋線現(xiàn)象.6.1.2 擺線例2 一個圓在一直線上無滑動地滾動，求圓周上一定點的軌跡該定點的軌跡為旋輪線或擺線（cyc

47、loid）. 解 取直角坐標(biāo)系，設(shè)半徑為a的圓在x軸上滾動，開始時點P恰在原點O（如圖），經(jīng)一段時間的滾動，與直線的切點移到A點，圓心移到C的位置，這時有旋輪線是最速降線，應(yīng)用廣泛，如體育運(yùn)動中滑板、高山滑雪等.6.2曲面的應(yīng)用6.2.1 旋轉(zhuǎn)拋物面的應(yīng)用(1) 應(yīng)用機(jī)理 旋轉(zhuǎn)拋物面可將平行于主光軸(對稱軸)的光線匯聚于其焦點處；反之，也可將放置在焦點處的光源產(chǎn)生的光線反射成平行光束并使光度增大.(2) 實例聚光太陽能灶 當(dāng)太陽光線照射在呈旋轉(zhuǎn)拋物面形狀的聚光太陽能灶面上時，太陽的輻射能被聚集在一塊小面積的灶具上，在陽光相對充足的天氣，灶具內(nèi)部溫度可達(dá)到280度以上. 探照燈、汽車車燈的反射鏡

48、天文望遠(yuǎn)鏡的反射鏡 它能將來自宇宙的光線聚集在其焦點上，用放大鏡瞄錐此焦點即可得到宇宙的信息.衛(wèi)星天線 在實際應(yīng)用中，衛(wèi)星天線普遍采用旋轉(zhuǎn)拋物面天線. 這種天線在頻率很高的信號的接收和發(fā)射方面扮演著重要角色. 6.2.2. 錐面的應(yīng)用 高等植物的外形、莖干，也有其最佳的形態(tài). 許多樹的樹干，都是底部大，上部小，呈圓錐狀.這是一種沉穩(wěn)的、防倒伏的理想幾何形狀. 比較一下云杉、雪松與許多世界著名2. 錐面的應(yīng)用建筑(如：北京的天壇、西安的大雁塔、荷蘭的Delfut大學(xué)圖書館) 的形態(tài)、布局，是多么相像.6.2.3旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面的應(yīng)用(1)應(yīng)用機(jī)理旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面，又稱為直紋面，它可由直線繞定軸旋轉(zhuǎn)而

49、成.其上有且只有兩族直母線，同族的兩條直母線不相交，不同族的兩條直母線必相交.(2)實例化工廠或熱電廠的冷卻塔的外形常采用旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面，其優(yōu)點是對流快，散熱效能好；此外，利用直紋面的特點，可把編織鋼筋網(wǎng)的鋼筋取為直材，建造出外形準(zhǔn)確、輕巧且非常牢固的冷卻塔.習(xí)題8-61. 把線繞在一個固定圓周上，將線頭拉緊后向反方向旋轉(zhuǎn)，以把線從圓周上解放出來，使放出來的部分成為圓的切線，求線頭的軌跡(圓的漸伸線或稱為切展線).這種曲線在工業(yè)上常被采用為齒廓曲線.2. 一動點到兩定點的距離的乘積等于定值，求此動點的軌跡（卡西尼卵形線）.3. 當(dāng)一圓周沿著一個定圓的外部作無滑動地滾動時，動圓上一點的軌跡叫做外

50、旋輪線，如果我們用與分別表示定圓與動圓的半徑，試導(dǎo)出其參數(shù)方程（時為心臟線）.4. 設(shè)為一圓的直徑，過O任意作一直線OB，與圓上A點的切線相交于B點，設(shè)OB與圓交于另一點M，過M及B作交于P點的直線使MP垂直于OA，BP平行于OA，求P的軌跡（箕舌線）.5. 有一質(zhì)點，沿著已知圓錐面的一條直母線自圓錐的頂點起，作等速直線運(yùn)動，另一方面這一條母線在圓錐面上，過圓錐的頂點繞圓錐的軸作等速轉(zhuǎn)動，這時質(zhì)點咋圓錐面上的軌跡叫做圓錐螺線，求其方程.6. 有兩條互相直交的直線與，其中繞作螺旋運(yùn)動，即一方面繞作等速轉(zhuǎn)動，另一方面又沿著作等速直線運(yùn)動，在運(yùn)動中永遠(yuǎn)保持與直交，這樣由所畫出的曲面叫做螺旋面，求其方程.第7節(jié) MATLAB軟件的應(yīng)用7.1向量的運(yùn)算 下面結(jié)合具體問題介紹向量間的加法、減法、點積、叉積等運(yùn)算及向量的模、向量夾角的求法.注意點積的運(yùn)算符是鍵盤上的小數(shù)點.7.1.1.向量的加減在MATLAB中就是根據(jù)坐標(biāo)分量來定義向量的.例如在MATLAB中實現(xiàn)向量的線性運(yùn)算可以在命令窗口執(zhí)行如下語句：例1 求解以向量為未知元的線性方程組,其中