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1、考綱要求高考展望掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題解三角形可以看成是三角恒等變換的延續(xù)和應用，用到三角恒等變換的基本方法，同時它是對正、余弦定理，三角形面積公式等的綜合應用由于近年高考命題強調以能力立意，加強對知識綜合性和應用性的考查，故三角形問題常常與其他數(shù)學知識相聯(lián)系，既考查解三角形的知識與方法，又考查運用三角公式進行恒等變換的技能及三角函數(shù)的應用意識預計2012年的高考，一是在小題里考查三角形內的數(shù)值關系問題，二是以解答題形式考查三角形中正、余弦定理和三角恒等變形、向量等知識的綜合運用，三是
2、利用解三角形解決測量長度、高度、角度等實際問題.2221. A 60B 45135C 120D 30ABCacbabC在中，若，則角 為 或A2221cos26.220abcabCabaCbC由余弦定理得，又角解析：所以是三角形的內角，2.86075 32A. 4 2B. 4 3C. 4 6D.3ABCaBCb 在中，則 等于C607545 .sinsin8sin604.sin45BCAbaBAb 解析：由，得由正弦定理得，則22223.sinsin2cos cos ABCDABCbCcBbcBCABC在中，若，則是銳角三角形直角三角形鈍角三角形等邊三角形B22222224sinsin4sin
3、sin8sinsincoscos .sinsin0sinsincoscoscos0.022RCBRCBRBCBCBCBCBCBCBCBCAABC由正弦定理得因為，所以，即因為 ，所以，故，即為直角解析：三角形14.3cos2.ABCaAABC 在中，若，則的外接圓的半徑是1 cos23sin.32.22.AAABCAABCRaRsinAR 因為，且 是的內角，所以設的外接圓的半徑為由正弦定理，得，所以半徑解為析：335.232 .ABCbcA 已知的面積為 ，且，則1 sin23132 3 sinsin.222.60120ABCSbcAAAAAABC因為，所以，所以又角解析：或是的內角，所以6
4、0120或三角形解的個數(shù)的判定 182444()A.:BD.1.C.ABCabA在中，若，則此三角形解的情況為 無解兩解一解例題不能確定2 sinsin44sin4524212 2824nB1sibAbbbAab 因為，所以，所以此三角形有兩解解析：答案： ()ABCabaA AABC反思小在中，已知兩邊 、 和其中一邊 的對角為銳角，則的解的結：情況如下：sinsinsinabAabAbAabab無解一解兩解 一解.8010045 A.B.C.D.ABCABCabcabA在中，角 、 、 所對的邊分別為、 、 若，拓展練習：，則此三角形解的情況為無解一解兩解一解或無解 sin100 sin4
5、550 280100siCn.bAbAab 因為，所以，則此三角形有兩解解，析：故選正弦定理與余弦定理 2 sin .13 32722ABCabcABCacACcABCab在銳角中， 、 、 分別為角 、 、 所對的邊，且確定角 的大??；若，且的面積為，求例題 ：的值 2 132 sin.sin33sin0.3sin.2asinAsinAacAcCACABCC由及正弦定理，得因為，所以因為是銳角三角形，所以解析： 22222227313 3sin6.2322cos737.3.12. 575abcCababababababababab因為，故由面積公式得，即由余弦定理得，即由變形得將代入故方得，
6、法 ：222242221.7136613360549.0023322.abababababbaaaaabaabbab前同方法聯(lián)立得，消去 并整理得，解得或又，所以或，故方法 ：()()解三角形時，正弦定理可用于解決角角邊、角邊角、邊邊角 這種情況要討論解的情況 ；余弦定理多用于解決邊角邊、邊邊邊、邊邊角 建立方程求解 并注意在三角形中，已知余弦值則角唯一確定，而已知正弦值時角未能唯反思小結：一確定 22 3202cos1.12ABCBCaACbabxxABCAB拓展練習：在中， 、 是方程的兩個根，且求：角 的大?。坏拈L度 2222222221coscos1cos.22 3222cos2cos
7、120(2 3)21201010.CABABababABACBCAC BCCabaCAbababababB 因為，所以由題設知，所以，所以解析：判斷三角形的形狀2 cos()AB3CDABCabcABCabC在中， ， ， 分別為角 ， ， 的對邊若，則此三角形一定是 等腰直角三角形直角三角例題形等腰三角形等腰或直：角三角形222222222222 sin2 2 sincos .sin2sin cossin coscos sin0sin0.C.0.12abcababaabcbcABCRARBCABCBCBCBCBCBCBCABCBCBCBC由余弦定理得，則，即，所以為等腰三角形，由正弦定理將原
8、式化為由，有，展開得解，即因為 、 為三角形的內角，則，方法 ：所以，即析：方法 ：選ABC為等腰故可得三角形 “”“”判斷三角形的形狀，應圍繞三角形的邊角關系進行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形要特別注意 等腰直角三角形 與 等腰三角形或直角三角形的區(qū)別依據(jù)已知條件中的邊角關系判斷時，主要有如下兩反思小結：條途徑： 12ABC利用正、余弦定理把已知條件轉化為邊邊關系，過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀；利用正、余弦定理把已知條件轉化為內角的三角函數(shù)間的關系，通過三角恒等變換，得出內角的關系，從而判斷出三角形的形狀此時要注意應用
9、這個結論，并優(yōu)先考查最大角在這兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應移項提取公因式，以免漏解sinsinsin3 4 30 ABCDABCABCABC在中，若 ，則是銳角三角形直角三角形鈍角三角形等拓展練習：邊三角形C2222 sin2 sin2 sin3 430.3430cos02RA RB RCa b ccatbtctabcCabABC由正弦定理得 ，易得最大邊為設，則，故為鈍角解析：三角形正弦定理余弦定理面積公式的靈活應用 2.74sincos257.2212ABCA B Ca b cA BCa bcCABC 例題4 在中，角 、 、 的對邊分別為 、已知，求角 的大?。磺螅旱?/p>
10、面積 2222118074sincos22274coscos2221 cos742cos12214cos4cos10cos.201860 .0ABCABCCCCCCCCCC 因為，故由，得，所以，整理，得，解得，所以解為：因析 22222222cos7732536.31sin2113sin36.22232ABCcababCababababababCSabC由余弦定理得，即，所以，得又由知，所以 本題將三角恒等變換、求值與解三角形綜合一起考查，這是近幾年高考的一種命題趨勢，注意綜合運用應用正弦定理進行邊角互化，利用三角公式進行角的統(tǒng)一，達到化簡的目的在解三角形中，利用正、余弦定理進行邊角轉化是解
11、題的基本方法在三角函數(shù)的化簡、求值中，常要重視角的統(tǒng)一，函數(shù)的統(tǒng)一，降次思想反思小結：的應用 .16 3ABCABCabcABCbAxacf xxf x 在中，角 、 、 所對的邊分別是、 、 若 、 、 成等差數(shù)拓展練習列，記角，當， 時，求：的取值范圍2.2.331sinsinsin11sinsinsinsin33ABCBACABCABCBACabcABCbABCacAC由 、 、 成等差數(shù)列，得因為在中，于是解得，從而因為在中，所以解析： 2 32sinsin()332 322(sinsincoscossin)3333sincos2sin()62sin()6326333 262AAAAA
12、AAAf xxxxf xf x，即由，得，于是，即的取值范圍為， 112 sin2 sin2 sinsinsinsin222sinsinsin.aRAbRBcRCabcABCRRRab cABC正弦定理：變形公式：化邊為角：，；化角為邊：，； 2 基本題型：已知一邊兩角，解三角形：先由內角和定理求第三角，再用正弦定理，有解時只有一解已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形：先由正弦定理求另一邊的對角，再由內角和定理與正弦定理求其余的邊與角在已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務必注意可能有兩解22.111sinsinsin2222sin sin sin.43222222SabCbc
13、AcaBabcSRABCRABCABCCABCABCAB三角形面積公式：；.三角形內角和定理：在中， 41sinsincoscostantan2 sincoscossin2222tantantantantantan3coscossinsinABCABCABCABCABCABCABCABCABCbaCcAABCABAB .三角形中的基本關系：在中：，；，；在中,，在中,， 2222222225cos21cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab余弦定理：變形： 2 基本題型：已知三邊，解三角形：由余弦定理和內角和定理求角，在有解時只有一解已知兩邊及夾角，解三角形：先由余弦定理求第三邊，
14、再由正弦定理與內角和定理求角，有一解已知兩邊和其中一邊的對角，可建立方程求解，并注意到在三角形中，已知余弦值則角唯一確定，所以這種方法可避免討論 2222222223.61sinsinsincos.222CabcCabcCabcABCABCABCABC余弦定理是勾股定理的推廣：判斷 為銳角， 為直角，為鈍角特別提醒： 求解三角形中的問題時，一定要注意這個特殊性：，求解三角形中含有邊角混合關系的問題時，常運用正弦定理、余弦定理實現(xiàn)邊角互化1.1()A 2sin2cos2 B sincos3 C 3sinc(2010)os1D 2sincos1某班設計了一個八邊形的班徽，如圖所示，它由腰長為 ，頂
15、角為 的四個等腰三角形及其底邊構成的正方形所組成該八邊形的面積為 .北京卷22141 1 sin2sin .2112 1 1 cos22cos22cos .2sin2 oA c s2. 四個等腰三角形的面積之和為由余弦定理可得正方形的邊長為，故正方形的面積為所以所求八邊形的面積為解析：答案：1.32135 .2_().2010ABCDBCBCBDADADBACABBD在中， 為邊上一點，若，則全國新課標卷12222222222 .222cos13524222 2cos 4522212025.25.25ABxBDyDCyACxxyyxyyxyyxyyyyBD設，則，由余弦定理得即解析：答由故案：，解得(2010)2.120()A.B.C.D.ABCABCabcCcaabababab在中，角 ， ， 所對的邊長分別為 ， ， 若，則 與 的大小關系湖南卷不能確定A22222222120212cos22()2.0A00.CcacababCaabababababababababababab因為，所以，即，所以，所以因為，所以，所以解析：答案：本節(jié)內容的高考試題主要考查運用正、余弦定理解三角形的能力.注意數(shù)形結合,合理選擇正、余選題感悟：弦定理
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