黑龍江省虎林高級中學(xué)高三數(shù)學(xué) 第三講 二維形式的柯西不等式（第1課時）課件 新人教A版選修45

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1、.,.,高數(shù)學(xué)素質(zhì)高數(shù)學(xué)素質(zhì)提提感受數(shù)學(xué)的美妙感受數(shù)學(xué)的美妙明方法及其應(yīng)用明方法及其應(yīng)用學(xué)意義、幾何背景、證學(xué)意義、幾何背景、證的數(shù)的數(shù)等式等式不不我們可以領(lǐng)略這些我們可以領(lǐng)略這些通過本講的學(xué)習(xí)通過本講的學(xué)習(xí)樣的不等式樣的不等式屬于這屬于這與排序不等式就與排序不等式就柯西不等式柯西不等式們稱它們?yōu)榻?jīng)典不等式們稱它們?yōu)榻?jīng)典不等式人人的不等式的不等式而且具有重要應(yīng)用價值而且具有重要應(yīng)用價值發(fā)現(xiàn)一些不僅形式優(yōu)美發(fā)現(xiàn)一些不僅形式優(yōu)美數(shù)學(xué)研究中數(shù)學(xué)研究中式式柯柯西西不不等等式式與與排排序序不不等等第第三三講講二二維維形形式式的的柯柯西西不不等等式式一一 ?,.,.,的的不不等等關(guān)關(guān)系系嗎嗎研研究究一一下

2、下關(guān)關(guān)于于它它的的推推導(dǎo)導(dǎo)過過程程你你能能類類比比有有關(guān)關(guān)并并且且形形式式上上也也與與平平方方和和數(shù)數(shù)它它涉涉及及到到四四個個實(shí)實(shí)為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)積積現(xiàn)現(xiàn)在在考考慮慮乘乘與與乘乘積積的的大大小小關(guān)關(guān)系系方方和和它它反反映映了了兩兩個個實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)的的平平熟熟悉悉的的不不等等式式是是我我們們非非常常為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)探探究究abbadcbadcbabaabba2222222222 .,222222222222cbdadbcadcba 得展開這個乘積 ,2222222222bcadbdaccbdadbca 由于 ,222222bcadbdacdcba 即 .,2222220bdacdcbabcad 因此而.,式

3、的含義式的含義習(xí)會進(jìn)一步認(rèn)識二維形習(xí)會進(jìn)一步認(rèn)識二維形通過后面的學(xué)通過后面的學(xué)項式項式式中每個括號內(nèi)都是兩式中每個括號內(nèi)都是兩 .,.,柯柯西西不不等等式式即即二二維維形形式式的的的的最最簡簡形形式式它它是是作作用用在在數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)和和物物理理中中有有重重要要而而且且具具有有簡簡潔潔、對對稱稱的的美美感感形形式式上上規(guī)規(guī)律律明明顯顯不不僅僅排排列列個個實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)的的特特定定數(shù)數(shù)量量關(guān)關(guān)系系式式反反映映了了inequalityCauchy4柯柯西西不不等等式式于于是是我我們們有有式式中中的的等等號號成成立立時時當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)從從上上面面的的探探究究過過程程可可以以.,0 bcad .,等等號

4、號成成立立時時當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)則則都都是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)若若二二維維形形式式的的柯柯西西不不等等式式定定理理bcadbdacdcbadcba 222221?的證明嗎的證明嗎你能簡明地寫出定理你能簡明地寫出定理思考思考1容易得出等式根據(jù)二維形式的柯西不, 22222222dcbadcba |,|bdacbdac 2. |bdacdbca 2222|dcba 2222dcba:,以下不等式成立對于任何實(shí)數(shù)所以dcba, |bdacdcba 2222. |bdacdcba 2222?,.成立成立述不等式中的等號何時述不等式中的等號何時上上請同學(xué)考慮請同學(xué)考慮不等式不等式這也是兩個非常有用的這也是兩個非常有

5、用的.,的的幾幾何何意意義義下下面面看看一一看看柯柯西西不不等等式式觀觀的的幾幾何何背背景景往往往往要要借借助助直直簡簡單單的的詮詮釋釋對對一一個個代代數(shù)數(shù)結(jié)結(jié)果果進(jìn)進(jìn)行行最最 .,. 0113為之間的夾角與中有向量標(biāo)系設(shè)在平面直角坐如圖dcbaxOy . |cos|,cos|, 所以我們有義的定內(nèi)積根據(jù)向量數(shù)量積 ba, dc,xyO113 .圖圖,|cos|1 因為. | 所以 得向量的坐標(biāo)表示不等式二維用平面,.|兩邊平方2222dcbabdac .22222dcbabdac 得.,.的坐標(biāo)表示的不等式是向量形式式的柯西不等式形維二由此可知等式這是二維形式的柯西不和如果向量.,|cos|

6、,.,以上不等式取等號共線時和即向量則當(dāng)且僅當(dāng)量都不是零向和如果向量式取等號以上不等則中有零向量10 bcad.,式式西西不不等等式式的的柯柯二二維維形形稱稱之之為為所所以以應(yīng)應(yīng)量量相相對對二二維維向向式式與與使這時存在非零實(shí)數(shù) , k .,.0 kcdkcdbcaddckbak故即.,的向量形式的向量形式式式柯西不等柯西不等叫做叫做所以我們把不等式所以我們把不等式同的意義同的意義有相有相與不等式與不等式不等式不等式從上面的分析可知從上面的分析可知得得綜上所述綜上所述, ., |,等等號號成成立立時時使使或或存存在在實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)是是零零向向量量當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)則則個個向向量量是是兩兩設(shè)設(shè)式式的的向

7、向量量形形式式等等柯柯西西不不定定理理kk 2.,價關(guān)系價關(guān)系兩者的等兩者的等會會從數(shù)形結(jié)合的角度體從數(shù)形結(jié)合的角度體方向的推導(dǎo)方向的推導(dǎo)再進(jìn)行反再進(jìn)行反推導(dǎo)不等式推導(dǎo)不等式試從不等式試從不等式探究探究 .,23322441babababa 證明證明為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)已知已知例例.,雜的計算雜的計算就可以避免繁就可以避免繁式的一致性式的一致性形式與柯西不等形式與柯西不等不等式的不等式的注意到這個注意到這個但是如果但是如果它們它們?nèi)欢俦容^然而再比較開上式的兩邊開上式的兩邊法展法展可以作乘可以作乘雖然雖然分析分析 .,2332222244babbaababa 有根據(jù)柯西不等式證明.,.,工具工具數(shù)學(xué)研

8、究的有力數(shù)學(xué)研究的有力經(jīng)典不等式是經(jīng)典不等式是以以所所可以簡化運(yùn)算可以簡化運(yùn)算又又啟發(fā)證明思路啟發(fā)證明思路既可以既可以典不等式典不等式聯(lián)系經(jīng)聯(lián)系經(jīng)不等式時不等式時在證明在證明本例說明本例說明?,dcba中的中的式式別對應(yīng)柯西不等別對應(yīng)柯西不等個數(shù)分個數(shù)分中哪中哪例例4136頁習(xí)題頁習(xí)題3.1 4.的最大值的最大值求函數(shù)求函數(shù)例例xxy210152 .,.,值值大大等到式求其最等到式求其最就能利用柯西不就能利用柯西不形式形式的的若能化為若能化為析式是兩部分的和析式是兩部分的和這個函數(shù)的解這個函數(shù)的解找不等式取等號的條件找不等式取等號的條件并尋并尋一個常數(shù)一個常數(shù)設(shè)法在不等式一邊得到設(shè)法在不等式一

9、邊得到通常通常題題利用不等式解決極值問利用不等式解決極值問分析分析bdac xxyy 5215051,且函數(shù)的定義域為解 22225125xx . 36427 .,36271275512時函數(shù)取最大值即成立等號時當(dāng)且僅當(dāng) xxx.,題的能力題的能力提高利用柯西不等式解提高利用柯西不等式解子變形的作用子變形的作用可以體會其中式可以體會其中式程程解過解過的求的求回顧例回顧例236頁習(xí)題頁習(xí)題3.1 1 .,等等號號成成立立時時當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)則則都都是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)若若二二維維形形式式的的柯柯西西不不等等式式定定理理bcadbdacdcbadcba 222221 ., |,等等號號成成立立時時使使或或存存在在實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)是是零零向向量量當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)則則個個向向量量是是兩兩設(shè)設(shè)式式的的向向量量形形式式等等柯柯西西不不定定理理kk 2小結(jié)