高三數(shù)學總復習 （回顧+突破+鞏固+提升作業(yè)） 第八章 第二節(jié) 兩條直線的位置關(guān)系課件 文

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1、第二節(jié) 兩條直線的位置關(guān)系1.1.兩條直線的平行、垂直與其斜率大小間的關(guān)系兩條直線的平行、垂直與其斜率大小間的關(guān)系（1 1）兩條直線平行）兩條直線平行對于兩條不重合的直線對于兩條不重合的直線l1 1, ,l2 2, ,其斜率分別為其斜率分別為k k1 1,k,k2 2，則有，則有l(wèi)1 1l2 2_；當直線當直線l1 1, ,l2 2的斜率都不存在時，的斜率都不存在時，l1 1與與l2 2的關(guān)系為的關(guān)系為_._.k k1 1=k=k2 2平行平行（2 2）兩條直線垂直）兩條直線垂直如果兩條直線如果兩條直線l1 1, ,l2 2的斜率存在，設(shè)為的斜率存在，設(shè)為k k1 1,k,k2 2，則則l1

2、1l2 2_；如果如果l1 1, ,l2 2中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0 0時，時，l1 1與與l2 2的關(guān)系為的關(guān)系為_._.k k1 1k k2 2=-1=-1垂直垂直2.2.兩條直線的交點兩條直線的交點唯一解無解有無數(shù)組解3.3.三種距離三種距離點點A A（x x1 1,y,y1 1）,B(x,B(x2 2,y,y2 2) )之間之間的距離的距離|AB|=|AB|=_點點P(xP(x0 0，y y0 0) )到直到直l: :Ax+By+CAx+By+C=0=0的距離的距離d= _d= _兩條平行線兩條平行線Ax+By+CAx+

3、By+C1 1=0=0與與Ax+By+CAx+By+C2 2=0=0間的距離間的距離d= _d= _222121xxyy0022AxByCAB1222CCAB判斷下面結(jié)論是否正確（請在括號中打判斷下面結(jié)論是否正確（請在括號中打“”或或“”）. .（1 1）當直線）當直線l1 1和和l2 2斜率都存在時，一定有斜率都存在時，一定有k k1 1=k=k2 2l1 1l2 2. . ( ) ( )(2)(2)如果兩條直線如果兩條直線l1 1與與l2 2垂直，則它們的斜率之積一定等于垂直，則它們的斜率之積一定等于-1.-1. ( ) ( )（3 3）若兩直線的方程組成的方程組有解，則兩直線相交）若兩直

4、線的方程組成的方程組有解，則兩直線相交. . ( ) ( )（4 4）點）點P P（x x0 0,y,y0 0）到直線）到直線y=kx+by=kx+b的距離為的距離為 ( )( )02|kxb|.1k（5 5）直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線）直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離的距離.( ).( )（6 6）若點）若點A A，B B關(guān)于直線關(guān)于直線l:y:y=kx+b(k0)=kx+b(k0)對稱，則直線對稱，則直線ABAB的斜的斜率等于率等于 且線段且線段ABAB的中點在直線的中點在直線l上上.( ).( )1k，【解析【解析】（1 1）錯誤）錯誤. .當

5、當k k1 1=k=k2 2時，時，l1 1與與l2 2可能重合可能重合. .（2 2）錯誤）錯誤. .如果兩條直線如果兩條直線l1 1, ,l2 2中的一條與中的一條與x x軸平行（或重合），軸平行（或重合），另一條與另一條與x x軸垂直（也即與軸垂直（也即與y y軸平行或重合），即兩條直線中一軸平行或重合），即兩條直線中一條的傾斜角為條的傾斜角為0 0，另一條的傾斜角為，另一條的傾斜角為9090，從而一條直線的斜，從而一條直線的斜率為率為0 0，另一條直線的斜率不存在，但這兩條直線互相垂直，另一條直線的斜率不存在，但這兩條直線互相垂直. .（3 3）錯誤，當方程組有唯一解時兩條直線相交，若

6、方程組有無）錯誤，當方程組有唯一解時兩條直線相交，若方程組有無窮多個解，則兩條直線重合窮多個解，則兩條直線重合. .（4 4）錯誤，應用點到直線的距離公式時必須將直線方程化為）錯誤，應用點到直線的距離公式時必須將直線方程化為一般式，即本問題的距離為一般式，即本問題的距離為（5 5）正確，因為最小值就是由該點向直線所作的垂線段的）正確，因為最小值就是由該點向直線所作的垂線段的長，即點到直線的距離長，即點到直線的距離. .（6 6）正確，因為線段）正確，因為線段ABAB被直線被直線l垂直平分垂直平分. .答案：答案：(1)(1) (2) (2) （3 3） （4 4） （5 5） （6 6）002

7、kxyb.1k1.1.已知點已知點(a,2)(a,2)（a a0 0）到直線）到直線l：x-y+3=0 x-y+3=0的距離為的距離為1 1，則，則a a等于等于( )( )【解析【解析】選選C.C.由由 且且a a0 0，得，得A2B 22C21D21（ ） （ ）（ ） （ ）a2312a21.2.2.若三條直線若三條直線y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一點，則點相交于同一點，則點（m,nm,n）可能是）可能是( )( )（A A）（）（1 1，-3-3） （B B）（）（3 3，-1-1）（C C）（）（-3-3，1 1） （D D

8、）（）（-1-1，3 3）【解析【解析】選選A. A. m+2n+5=0m+2n+5=0，點（點（m,nm,n）可能是（）可能是（1 1，-3-3）. .y2x,x1,xy3,y2,由得3.3.點（點（a,ba,b）關(guān)于直線）關(guān)于直線x+y+1=0 x+y+1=0的對稱點是的對稱點是( )( )（A A）（）（-a-1,-b-1-a-1,-b-1） （B B）(-b-1,-a-1)(-b-1,-a-1)（C C）(-a,-b) (-a,-b) （D D）(-b,-a)(-b,-a)【解析解析】選選B.B.設(shè)對稱點為（設(shè)對稱點為（x,yx,y），則），則 解得：解得：x=-b-1x=-b-1，y

9、=-a-1.y=-a-1.yb11,xaxayb1022 ，4.4.已知已知A(a,-5)A(a,-5)，B(0,10)B(0,10)，|AB|=17|AB|=17，則，則a=_.a=_.【解析【解析】依題設(shè)及兩點間的距離公式得：依題設(shè)及兩點間的距離公式得： 解得解得a=a=8.8.答案：答案：8 822a05 1017, 5.5.直線直線l的傾斜角為的傾斜角為3030，若直線，若直線l1 1l，則直線，則直線l1 1的斜率的斜率k k1 1=_=_；若直線若直線l2 2l, ,則直線則直線l2 2的斜率的斜率k k2 2=_.=_.【解析【解析】由直線斜率的定義知，直線由直線斜率的定義知，直

10、線l的斜率的斜率l1 1l，k k1 1=k=k=l2 2l,k,k2 2k=-1,k=-1,答案：答案：3ktan 30.3 3.321k3.k 333 6.6.平行線平行線l1 1：3x-2y-5=03x-2y-5=0與與l2 2: : 之間的距離為之間的距離為_._.【解析【解析】直線直線l2 2可化為：可化為： 由平行線間的距離公式由平行線間的距離公式得：得：答案：答案：33yx2433x2y02 ，2235132d.232 （）132考向考向 1 1 兩條直線平行、垂直的關(guān)系兩條直線平行、垂直的關(guān)系【典例【典例1 1】（1 1）（）（20122012浙江高考）設(shè)浙江高考）設(shè)aRaR,

11、 ,則則“a=1”a=1”是是“直直線線l1 1：ax+2y-1=0ax+2y-1=0與直線與直線l2 2：x+(a+1)y+4=0 x+(a+1)y+4=0平行平行”的的( )( )（A A）充分不必要條件）充分不必要條件（B B）必要不充分條件）必要不充分條件（C C）充分必要條件）充分必要條件（D D）既不充分也不必要條件）既不充分也不必要條件（2 2）（）（20132013寶雞模擬）已知直線寶雞模擬）已知直線l1 1:(k-3)x+(5-k)y+1=0:(k-3)x+(5-k)y+1=0與直與直線線l2 2:2(k-3)x-2y+3=0:2(k-3)x-2y+3=0垂直，則垂直，則k

12、k的值是的值是( )( )(A)1(A)1或或3 (B)13 (B)1或或5 5(C)1(C)1或或4 (D)14 (D)1或或2 2（3 3）已知）已知A A（-4-4，3 3），），B B（2 2，5 5），），C C（6 6，3 3），），D D（-3-3，0 0）四點，若順次連接四點，若順次連接A A，B B，C C，D D四點，試判定圖形四點，試判定圖形ABCDABCD的形狀的形狀. .【思路點撥【思路點撥】（1 1）先求出兩條直線平行的條件，再判斷）先求出兩條直線平行的條件，再判斷a=1a=1能能否保證否保證l1 1l2 2. .（2 2）根據(jù)兩直線垂直的條件構(gòu)建關(guān)于）根據(jù)兩直線垂

13、直的條件構(gòu)建關(guān)于k k的方程求解的方程求解. .(3)(3)分別求出四邊形分別求出四邊形ABCDABCD四條邊所在直線的斜率，再分別驗證四條邊所在直線的斜率，再分別驗證對邊是否平行，鄰邊是否垂直，進行判斷對邊是否平行，鄰邊是否垂直，進行判斷. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】（1 1）選）選A.A.若兩直線平行即若兩直線平行即l1 1l2 2，則，則a(a+1)-a(a+1)-2 21=0,1=0,解得解得a=-2a=-2或或a=1,a=1,而當而當a=1a=1時，時，l1 1l2 2, ,所以所以“a=1”a=1”是是“直線直線l1 1與直線與直線l2 2平行平行”的充分不必要條件的充分不必要條件.

14、 .（2 2）選）選C.C.因為直線因為直線(k-3)x+(5-k)y+1=0(k-3)x+(5-k)y+1=0和直線和直線2(k-3)x-2y+3=02(k-3)x-2y+3=0垂直，所以有垂直，所以有2 2（k-3k-3）2 2-2(5-k)=0-2(5-k)=0，即，即k k2 2-5k+4=0-5k+4=0，解得，解得k=1k=1或或4.4.（3 3）A A，B B，C C，D D四點在坐標平面內(nèi)的位置如圖：四點在坐標平面內(nèi)的位置如圖：由斜率公式可得由斜率公式可得k kABAB=k=kCDCD, ,由圖可知由圖可知ABAB與與CDCD不重合，不重合，ABCDADBC531k,24303

15、1k,36303k3,34351k622 ，ABCD.ABCD.由由k kADADkkBCBC, ,ADAD與與BCBC不平行不平行. .又又k kABABk kADAD= (-3)=-1,= (-3)=-1,ABADABAD，故四邊形故四邊形ABCDABCD為直角梯形為直角梯形. .13【拓展提升【拓展提升】兩直線平行、垂直的兩大類型及判斷方法兩直線平行、垂直的兩大類型及判斷方法（1 1）已知兩直線的斜率存在）已知兩直線的斜率存在兩直線平行兩直線平行兩直線的斜率相等且在坐標軸上的截距不等；兩直線的斜率相等且在坐標軸上的截距不等；兩直線垂直兩直線垂直兩直線的斜率之積等于兩直線的斜率之積等于-1

16、.-1.（2 2）已知兩直線的一般方程）已知兩直線的一般方程可利用直線方程求出斜率，然后判斷平行或垂直，或利用以下可利用直線方程求出斜率，然后判斷平行或垂直，或利用以下方法求解：方法求解：直線方程直線方程l1 1:A:A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0(A=0(A1 1，B B1 1不同時為不同時為0)0)l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0(A=0(A2 2，B B2 2不同時為不同時為0)0)l1 1與與l2 2垂直垂直的充要條件的充要條件A A1 1A A2 2+B+B1 1B B2 2=0=0直線方程直線方程l1 1:A:A1 1x+Bx+B1

17、1y+Cy+C1 1=0(A=0(A1 1，B B1 1不同時為不同時為0)0)l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0(A=0(A2 2，B B2 2不同時為不同時為0)0)l1 1與與l2 2平行平行的充分條件的充分條件l1 1與與l2 2相交相交的充分條件的充分條件l1 1與與l2 2重合重合的充分條件的充分條件111222222ABC(A B C0)ABC112222AB(A B0)AB111222222ABC(A B C0)ABC【變式訓練【變式訓練】（1 1）若直線）若直線l過點過點(-1,2)(-1,2)且與直線且與直線2x-3y+4=02x-3y+4=0垂

18、垂直，則直線直，則直線l的方程為的方程為_._.【解析【解析】方法一：直線方法一：直線2x-3y+4=02x-3y+4=0的斜率為的斜率為設(shè)所求直線的斜率為設(shè)所求直線的斜率為kk，所求直線與直線所求直線與直線2x-3y+4=02x-3y+4=0垂直，垂直，k kk k=-1,=-1,所求直線方程為所求直線方程為即即3x+2y-1=0.3x+2y-1=0.2k,33k2 ，3y2x1 ,2 方法二：由已知方法二：由已知, ,設(shè)所求直線設(shè)所求直線l的方程為：的方程為：3x+2y+C=0.3x+2y+C=0.又又l過點過點(-1,2),3(-1,2),3(-1)+2(-1)+22+C=0,2+C=0

19、,得得:C=-1,:C=-1,所以所求直線方程為所以所求直線方程為3x+2y-1=0.3x+2y-1=0.答案：答案：3x+2y-1=03x+2y-1=0（2 2）已知）已知ABCABC的三個頂點坐標為的三個頂點坐標為A A（2 2，4 4），），B B（1 1，-2-2），），C C（-2-2，3 3），則），則BCBC邊上的高邊上的高ADAD所在直線的斜率為所在直線的斜率為_._.【解析【解析】 又又BCAD,BCAD,答案答案：BC325k,2 13 ADBC13k.k5 35考向考向 2 2 直線的交點直線的交點【典例【典例2 2】求經(jīng)過直線求經(jīng)過直線l1 1:3x+2y-1=0:3x

20、+2y-1=0和和l2 2:5x+2y+1=0:5x+2y+1=0的交點，且的交點，且垂直于直線垂直于直線l3 3:3x-5y+6=0:3x-5y+6=0的直線的直線l的方程的方程. .【思路點撥【思路點撥】可先求出兩條直線的交點坐標，再用點斜式求解；可先求出兩條直線的交點坐標，再用點斜式求解；也可用與直線垂直的直線系方程或過兩條直線交點的直線系方也可用與直線垂直的直線系方程或過兩條直線交點的直線系方程求解程求解. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】解方程組解方程組 得得l1 1，l2 2的交點坐標為的交點坐標為（-1-1，2 2），），方法一：由方法一：由l3 3的斜率的斜率 求出求出l的斜率為的斜率

21、為于是由直線的點斜式方程求出于是由直線的點斜式方程求出l： 即即5x+3y-1=0.5x+3y-1=0.3x2y 105x2y10 ，3553 ，5y2x13 ，方法二：由于方法二：由于ll3 3，故，故l是直線系是直線系5x+3y+C=05x+3y+C=0中的一條，而中的一條，而l過過l1 1，l2 2的交點（的交點（-1-1，2 2），），故故5 5(-1)+3(-1)+32+C=02+C=0，由此求出，由此求出C=-1C=-1，故故l的方程為的方程為5x+3y-1=0.5x+3y-1=0.方法三：由于方法三：由于l過過l1 1，l2 2的交點，故的交點，故l是直線系是直線系3x+2y-1

22、+(5x+2y+1)=03x+2y-1+(5x+2y+1)=0中的一條，中的一條，將其整理，得（將其整理，得（3+53+5）x+x+（2+22+2）y+(-1+)=0.y+(-1+)=0.其斜率其斜率 解得解得代入直線系方程即得代入直線系方程即得l的方程為的方程為5x+3y-1=0.5x+3y-1=0.355223 ，15 ，【拓展提升【拓展提升】1.1.兩直線交點的求法兩直線交點的求法求兩直線的交點坐標，就是解由兩直線方程組成的方程組，以求兩直線的交點坐標，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為坐標的點即為交點方程組的解為坐標的點即為交點. .2.2.常見的三大直線系方程常見的三大直

23、線系方程（1 1）與直線）與直線Ax+By+CAx+By+C=0=0平行的直線系方程是平行的直線系方程是Ax+By+mAx+By+m=0=0（mRmR且且mCmC）. .（2 2）與直線）與直線Ax+By+CAx+By+C=0=0垂直的直線系方程是垂直的直線系方程是Bx-Ay+mBx-Ay+m=0=0（mRmR）. .（3 3）過直線）過直線l1 1:A:A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0與與l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0的交點的直線系的交點的直線系方程為方程為A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+(A+(A2 2x+Bx+B2

24、 2y+Cy+C2 2)=0)=0（RR），但不包括），但不包括l2 2. .【變式訓練【變式訓練】（1 1）（）（20132013黃山模擬）已知直線方程為黃山模擬）已知直線方程為(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0，求證：無論，求證：無論a a為何實數(shù)值，直線必為何實數(shù)值，直線必過定點，并求出該定點的坐標過定點，并求出該定點的坐標. .【解析【解析】原方程可化為原方程可化為x-2y+5+a(2x+3y-18)=0 x-2y+5+a(2x+3y-18)=0，它表示過直線它表示過直線x-2y+5=0 x-2y+5=0與直線與直線2x+3y-

25、18=02x+3y-18=0交點的直線系方程，交點的直線系方程，無論無論a a取何值它都過兩直線的交點，取何值它都過兩直線的交點， 所以直線過定點（所以直線過定點（3 3，4 4）. .x2y50,x3,2x3y 180,y4.由解得（2 2）當）當m m為何值時，三條直線為何值時，三條直線l1 1：4x+y-3=04x+y-3=0，l2 2：x+yx+y=0,=0,l3 3：2x-3my-4=02x-3my-4=0能圍成一個三角形能圍成一個三角形? ?【解析【解析】三條直線能圍成三角形即三條直線兩兩相交且不共點三條直線能圍成三角形即三條直線兩兩相交且不共點. .24123mm0mm.2631

26、3m ，當時，有解得：且，又因為又因為l1 1：4x+y-3=04x+y-3=0與與l2 2：x+yx+y=0=0的交點為的交點為(1,-1)(1,-1)，所以所以2+3m-402+3m-40，解得，解得 當當m=0m=0時，時，l3 3:2x-4=0,:2x-4=0,l1 1:4x+y-3=0,:4x+y-3=0,l2 2:x+y=0,:x+y=0,l1 1與與l3 3的交點為的交點為(2,-5)(2,-5)，l1 1與與l2 2的交點為的交點為(1,-1),(1,-1),l2 2與與l3 3的交點為的交點為(2,-2)(2,-2)，能構(gòu)成三角形，符合題意能構(gòu)成三角形，符合題意. .綜上可知

27、：綜上可知：2m.3122m,mm.633 且且考向考向 3 3 三種距離公式的應用三種距離公式的應用【典例【典例3 3】（1 1）（）（20132013南昌模擬）在南昌模擬）在OABOAB中，中，O O為坐標原點，為坐標原點，A A（1 1，coscos ），），B(sinB(sin ，1)1)，則，則OABOAB的面積的取值范圍的面積的取值范圍是是( )( )1 3A01B2 21 31 3CD4 24 4（ ）（ ， （ ） ，（ ） ， （ ） ，（2 2）圓）圓C C：x x2 2+y+y2 2=4=4上的點到直線上的點到直線l:3x+4y-20=0:3x+4y-20=0距離的最大值

28、為距離的最大值為_._.（3 3）已知直線）已知直線l1 1:mx+8y+n=0:mx+8y+n=0與與l2 2:2x+my-1=0:2x+my-1=0互相平行，且互相平行，且l1 1, ,l2 2之間的距離為之間的距離為 求直線求直線l1 1的方程的方程. .5，【思路點撥【思路點撥】（1 1）利用兩點間距離公式求出）利用兩點間距離公式求出|OA|OA|，再利用點，再利用點到直線的距離公式求出點到直線的距離公式求出點B B到直線到直線OAOA的距離的距離d.d.則將則將S SOABOAB表示成表示成的函數(shù)再求范圍的函數(shù)再求范圍. .（2 2）利用幾何性質(zhì)，只需先求圓心到直線）利用幾何性質(zhì)，只

29、需先求圓心到直線l的距離，再加上半的距離，再加上半徑即得徑即得. .（3 3）先由）先由l1 1l2 2, ,求出求出m m的值，再根據(jù)的值，再根據(jù)l1 1, ,l2 2之間的距離為之間的距離為 求出求出n n的值，即得的值，即得l1 1的方程的方程. .5，【規(guī)范解答【規(guī)范解答】（1 1）選）選D.D.由兩點間距離公式得由兩點間距離公式得又直線又直線OAOA的斜率的斜率直線直線OAOA的方程為的方程為y=xcosy=xcos ，即，即xcos -yxcos -y=0=0，點點B B（sin sin ，1 1）到直線）到直線OAOA的距離的距離2OAcos1 ，OAcos 0kcos 1 0，

30、2211sin 2sin cos 12dcos 11cos，2OAB2OAB11sin 2112S|OA| dcos1221cos1113sin2 ,RS.2444又，（2 2）圓）圓C C：x x2 2+y+y2 2=4=4的圓心（的圓心（0 0，0 0）到直線）到直線l:3x+4y-20=0:3x+4y-20=0的的距離距離直線直線l與圓與圓C C相離相離, ,最大值為最大值為4+2=6.4+2=6.答案：答案：6 6223 04 020d4 234 ，（3 3）l1 1l2 2，當當m=4m=4時，直線時，直線l1 1的方程為的方程為4x+8y+n=04x+8y+n=0，把，把l2 2的

31、方程寫成的方程寫成4x+8y-2=04x+8y-2=0， 解得解得n=-22n=-22或或n=18.n=18.所以，所求直線的方程為所以，所求直線的方程為2x+4y-11=02x+4y-11=0或或2x+4y+9=0.2x+4y+9=0.m8n2m1，m4,m4,n2n2. 或n251664，當當m=-4m=-4時，直線時，直線l1 1的方程為的方程為4x-8y-n=04x-8y-n=0，l2 2的方程的方程4x-8y-2=04x-8y-2=0， 解得解得n=-18n=-18或或n=22.n=22.所以，所求直線的方程為所以，所求直線的方程為2x-4y+9=02x-4y+9=0或或2x-4y-

32、11=0.2x-4y-11=0.n25,1664 【互動探究【互動探究】本例題（本例題（2 2）中圓）中圓C C變?yōu)闄E圓變?yōu)闄E圓CC：則最大值如何？則最大值如何？22xy1169 ，【解析【解析】設(shè)與設(shè)與l:3x+4y-20=0:3x+4y-20=0平行且與橢圓相切的直線平行且與橢圓相切的直線l的方程的方程為：為：3x+4y+c=03x+4y+c=0（c-20c-20），）， 消去消去y y得關(guān)于得關(guān)于x x的一元二次方程為的一元二次方程為18x18x2 2+6cx+c+6cx+c2 2-144=0,-144=0,=(6c)=(6c)2 2-4-41818(c(c2 2-144)=0-144)

33、=0，解得解得數(shù)形結(jié)合得最大距離為數(shù)形結(jié)合得最大距離為l:3x+4y-20=0:3x+4y-20=0與與3x+4y =03x+4y =0間的距間的距離，離，223x4yc0 xy1169，由c12 2. 12 22212 2201242.534 （）【拓展提升【拓展提升】三種距離的求法三種距離的求法（1 1）兩點間的距離）兩點間的距離利用兩點間距離公式求解，即利用兩點間距離公式求解，即設(shè)點設(shè)點A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )，特例：特例：ABxABx軸時，軸時，|AB|=|y|AB|=|y1 1-y-y2 2| |；AByABy軸時，軸時，|AB|

34、=|x|AB|=|x1 1-x-x2 2|.|.221212AB(xx )(yy ) .（2 2）點到直線的距離）點到直線的距離可直接利用點到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程可直接利用點到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程必須為一般式必須為一般式. .（3 3）兩平行直線間的距離）兩平行直線間的距離利用利用“化歸化歸”法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離；意一點到另一條直線的距離；利用兩平行線間的距離公式利用兩平行線間的距離公式. .【提醒【提醒】應用兩平行線間的距離公式求距離時應用兩平行線間的距離公式求距離時,

35、 ,要注意兩平行要注意兩平行直線方程中直線方程中x x，y y的系數(shù)必須相等的系數(shù)必須相等. .【變式備選【變式備選】已知點已知點A A（2 2，-1-1），），（1 1）求過點）求過點A A且與原點距離為且與原點距離為2 2的直線的直線l的方程的方程. .（2 2）求過點）求過點A A且與原點距離最大的直線且與原點距離最大的直線l的方程，最大距離是的方程，最大距離是多少？多少？（3 3）是否存在過點）是否存在過點A A且與原點距離為且與原點距離為6 6的直線？若存在，求出的直線？若存在，求出方程；若不存在，請說明理由方程；若不存在，請說明理由. .【解析【解析】（1 1）當斜率不存在時，直線

36、）當斜率不存在時，直線l的方程為的方程為x=2x=2，此時，原點到直線此時，原點到直線l的距離為的距離為2 2，符合題意；，符合題意；當斜率存在時，設(shè)直線當斜率存在時，設(shè)直線l的方程為的方程為y+1=k(x-2)y+1=k(x-2)，即即kx-y-2k-1=0kx-y-2k-1=0，由已知得，由已知得解得解得 此時直線此時直線l的方程為的方程為3x-4y-10=0,3x-4y-10=0,綜上可知：直線綜上可知：直線l的方程為的方程為x=2x=2或或3x-4y-10=0.3x-4y-10=0.22k12,k13k4，（2 2）過點）過點A A且與原點且與原點O O距離最大的直線是過點距離最大的直

37、線是過點A A與與AOAO垂直的直垂直的直線，由線，由lAOAO，得，得k klk kOAOA=-1=-1，所以，所以 由直線的點斜由直線的點斜式得式得y+1=2(x-2)y+1=2(x-2)，即，即2x-y-5=02x-y-5=0，即直線，即直線2x-y-5=02x-y-5=0是過點是過點A A且與且與原點距離最大的直線原點距離最大的直線l的方程，最大距離是的方程，最大距離是（3 3）不存在，理由：由（）不存在，理由：由（2 2）可知，過點）可知，過點A A不存在到原點距離不存在到原點距離超過超過 的直線，因此不存在過點的直線，因此不存在過點A A且與原點距離為且與原點距離為6 6的直線的直

38、線. .OA1k2k ，l55.55考向考向 4 4 對稱問題對稱問題【典例【典例4 4】已知直線已知直線l：2x-3y+1=02x-3y+1=0，點，點A(-1,-2).A(-1,-2).求：求：（1 1）點）點A A關(guān)于直線關(guān)于直線l的對稱點的對稱點AA的坐標的坐標. .（2 2）直線）直線z:3x-2y-6=0z:3x-2y-6=0關(guān)于直線關(guān)于直線l的對稱直線的對稱直線zz的方程的方程. .（3 3）直線）直線l關(guān)于點關(guān)于點A A的對稱直線的對稱直線l的方程的方程. .【思路點撥【思路點撥】（1 1）設(shè)出對稱點）設(shè)出對稱點AA的坐標，利用線段的坐標，利用線段AAAA被直被直線線l垂直平分

39、，構(gòu)建方程組求解垂直平分，構(gòu)建方程組求解. .（2 2）可設(shè)法找到）可設(shè)法找到zz上兩個點的坐標，再由兩點式求出方程上兩個點的坐標，再由兩點式求出方程. .（3 3）可設(shè)法找到兩個點的坐標，即可求出直線）可設(shè)法找到兩個點的坐標，即可求出直線l的方程的方程. .或或利用對稱性得利用對稱性得ll，利用待定系數(shù)法求直線，利用待定系數(shù)法求直線l的方程，也可的方程，也可在在l上任取一點，利用該點關(guān)于點上任取一點，利用該點關(guān)于點A A的對稱點在直線的對稱點在直線l上即可得上即可得出方程出方程. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】（1 1）設(shè)對稱點）設(shè)對稱點AA的坐標為的坐標為(m,n(m,n) )，由已知可得，由已

40、知可得n221m13m 1n2231022 ，33m33 413A,.413 13n13 ，解得即 （），（2 2）在直線）在直線z z上取一點，如上取一點，如B B（2 2，0 0），則），則B B關(guān)于關(guān)于l的對稱點必的對稱點必在在zz上上. .設(shè)對稱點為設(shè)對稱點為BB（a,ba,b）, ,得得設(shè)設(shè)z z與與l的交點為的交點為N N，a2b0231022b021a23 ，則由，6 30B,.13 13 （）又又zz過過N N點，由兩點式得直線點，由兩點式得直線zz的方程為的方程為2x3y10,N4 3 .3x2y60, 由得 （ ， ）y3x49x46y1020.306341313，即（3

41、3）方法一：在）方法一：在l：2x-3y+1=02x-3y+1=0上任取兩點，上任取兩點，如如M M（1 1，1 1），），N N（4 4，3 3）. .則則M M，N N關(guān)于點關(guān)于點A A的對稱點的對稱點MM，NN均在直線均在直線l上上. .易知易知MM（-3-3，-5-5），），NN（-6-6，-7-7），由兩點式可得），由兩點式可得l的的方程為方程為2x-3y-9=0.2x-3y-9=0.方法二：方法二：ll，可設(shè)可設(shè)l的方程為的方程為2x-3y+c=0(c1).2x-3y+c=0(c1).點點A A到兩直線的距離相等，到兩直線的距離相等，由點到直線的距離公式得由點到直線的距離公式得 得

42、得c=-9c=-9，l的方程為的方程為2x-3y-9=0.2x-3y-9=0.222226c26 12323 ，方法三：設(shè)方法三：設(shè)P P（x,yx,y）是）是l上任一點，則上任一點，則P P（x,yx,y）關(guān)于）關(guān)于點點A A（-1-1，-2-2）的對稱點為）的對稱點為PP（-2-x,-4-y-2-x,-4-y）. .點點PP在直線在直線l上，上，22（-2-x-2-x）-3(-4-y)+1=0.-3(-4-y)+1=0.整理得整理得2x-3y-9=0.2x-3y-9=0.l的方程為的方程為2x-3y-9=0.2x-3y-9=0.【拓展提升【拓展提升】 1.1.中心對稱問題的兩種類型及求解方

43、法中心對稱問題的兩種類型及求解方法（1 1）若點）若點M M（x x1 1,y,y1 1）及）及N N（x x，y y）關(guān)于）關(guān)于P P（a,ba,b）對稱，則由中）對稱，則由中點坐標公式得點坐標公式得 進而求解進而求解. .（2 2）直線關(guān)于點的對稱，主要求解方法是：）直線關(guān)于點的對稱，主要求解方法是：在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關(guān)于已知在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程；點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程；求出一個對稱點，再利用求出一個對稱點，再利用l1 1l2 2，由點斜式得到所求直線方，由點斜式得到所求直線

44、方程程. .11x2axy2by，2.2.軸對稱問題的兩種類型及求解方法軸對稱問題的兩種類型及求解方法（1 1）點關(guān)于直線的對稱：）點關(guān)于直線的對稱：若兩點若兩點P P1 1（x x1 1,y,y1 1）與）與P P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )關(guān)于直線關(guān)于直線l:Ax+By+C:Ax+By+C=0=0對稱，則對稱，則線段線段P P1 1P P2 2的中點在對稱軸的中點在對稱軸l上，而且連接上，而且連接P P1 1P P2 2的直線垂直于對稱的直線垂直于對稱軸軸l，由方程組，由方程組 可得到點可得到點P P1 1關(guān)關(guān)于于l對稱的點對稱的點P P2 2的坐標（的坐標（x x2 2,y,

45、y2 2）（其中）（其中B0B0，x x1 1xx2 2）. .12122121xxyyABC022yyA1xxB （）（），（），（2 2）直線關(guān)于直線的對稱：）直線關(guān)于直線的對稱：一般轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱來解決，有兩種情況：一是已知一般轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱來解決，有兩種情況：一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行. .【變式訓練【變式訓練】在在ABCABC中，中，BCBC邊上的高所在的直線方程為邊上的高所在的直線方程為x-2y+1=0,Ax-2y+1=0,A的平分線所在直線的方程為的平分線所在直線的方程為y=0y=0，若點，若點B

46、B的坐標的坐標為（為（1 1，2 2），求點），求點A A和點和點C C的坐標的坐標. . 【解析【解析】如圖，如圖，A(-1,0).A(-1,0).y=0y=0是是AA的平分線，的平分線，y0,x2y10 x1,y0 由，得，點點B B關(guān)于關(guān)于y=0y=0的對稱點的對稱點BB（1 1，-2-2）在直線）在直線ACAC上，上，直線直線ACAC的方程為的方程為 即即y=-x-1.y=-x-1.又又BCBC的方程為的方程為y-2=-2(x-1)y-2=-2(x-1)，即，即y=-2x+4.y=-2x+4.點點C C（5 5，-6-6）. .綜上，點綜上，點A A的坐標為（的坐標為（-1-1，0 0

47、），點），點C C的坐標為（的坐標為（5 5，-6-6）. .y21x11 1 ，yx1,x5,y2x4y6. 由解得，【創(chuàng)新體驗【創(chuàng)新體驗】“距離距離”創(chuàng)新問題創(chuàng)新問題【典例【典例】（20132013蚌埠模擬）已知點蚌埠模擬）已知點A A（0 0，2 2），），B B（2 2，0 0）. .若點若點C C在函數(shù)在函數(shù)y=xy=x2 2的圖像上，則使得的圖像上，則使得ABCABC的面積為的面積為2 2的點的點C C的的個數(shù)為個數(shù)為( )( )（A A）4 4 （B B）3 3 （C C）2 2 （D D）1 1【思路點撥【思路點撥】找找準準創(chuàng)創(chuàng)新新點點使得使得ABCABC的面積為的面積為2 2

48、的點的點C C的個數(shù)的個數(shù)尋尋找找突突破破口口（1 1）根據(jù)點）根據(jù)點C C在在y=xy=x2 2的圖像上，設(shè)出點的圖像上，設(shè)出點C C的坐標的坐標（t,tt,t2 2）（2 2）根據(jù)）根據(jù)S SABCABC=2=2，利用點，利用點C C到直線到直線ABAB的距離公式，的距離公式，構(gòu)建關(guān)于構(gòu)建關(guān)于t t的方程的方程（3 3）將判斷點）將判斷點C C個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為判斷關(guān)于個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為判斷關(guān)于t t的方程的方程解的個數(shù)問題求解解的個數(shù)問題求解【規(guī)范解答【規(guī)范解答】選選A.A.設(shè)點設(shè)點C(t,tC(t,t2 2) )，直線，直線ABAB的方程是的方程是x+y-2=0 x+y-2=0， 由于由于AB

49、CABC的面積為的面積為2 2，則這個三角形中，則這個三角形中ABAB邊上的邊上的高高h h滿足方程滿足方程 即即 由點到直線的距離公式得由點到直線的距離公式得 即即|t|t2 2+t-2|=2+t-2|=2，即，即t t2 2+t-2=2+t-2=2或者或者t t2 2+t-2=-2.+t-2=-2.因因為這兩個方程各有兩個不相等的實數(shù)根，故這樣的點為這兩個方程各有兩個不相等的實數(shù)根，故這樣的點C C有有4 4個個. .AB2 2.12 2h22 ，h2.2tt222，【思考點評【思考點評】1.1.方法感悟：本題充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想和函數(shù)方程思想方法感悟：本題充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想和函

50、數(shù)方程思想在解題中的應用，即通過轉(zhuǎn)化將點在解題中的應用，即通過轉(zhuǎn)化將點C C的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于點的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于點C C的橫坐標方程解的個數(shù)問題求解，這種將的橫坐標方程解的個數(shù)問題求解，這種將“形形”轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“數(shù)數(shù)”的思想方法值得我們仔細體會的思想方法值得我們仔細體會. .2.2.技巧提升：對于技巧提升：對于“距離距離”類創(chuàng)新問題，常見的類型有求有關(guān)類創(chuàng)新問題，常見的類型有求有關(guān)長度或三角形面積的最值問題，或知長度、三角形面積情況探長度或三角形面積的最值問題，或知長度、三角形面積情況探究點的個數(shù)以及與圓位置有關(guān)的問題等，常用的思想方法有數(shù)究點的個數(shù)以及與圓位置有關(guān)的問題等，常用的思想

51、方法有數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸及函數(shù)與方程思想形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸及函數(shù)與方程思想. . “ “距離距離”的創(chuàng)新問題雖然問法新穎，但考查的還是距離公的創(chuàng)新問題雖然問法新穎，但考查的還是距離公式的應用，解題的關(guān)鍵是將所求問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題求解式的應用，解題的關(guān)鍵是將所求問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題求解. .1.1.（20132013馬鞍山模擬）馬鞍山模擬）“ ”“ ”是直線是直線l1 1:(m+2)x+3my+1=0:(m+2)x+3my+1=0與直線與直線l2 2:(m-2)x+(m+2)y-3=0:(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直的相互垂直的( )( )(A)(A)充分必要條件充分必要條件(B

52、)(B)充分不必要條件充分不必要條件(C)(C)必要不充分條件必要不充分條件(D)(D)既不充分又不必要條件既不充分又不必要條件1m2【解析【解析】選選B.B.若兩直線垂直，則（若兩直線垂直，則（m+2m+2）(m-2)+3m(m-2)+3m（m+2m+2）=0=0，解得解得則則 可得可得l1 1l2 2，但，但: :l1 1l2 2不一定有不一定有故選故選B.B.1mm22 或，1m21m2，2.2.（20132013西安模擬）若直線西安模擬）若直線l與直線與直線y=1y=1和和x-y-7=0 x-y-7=0分別交于分別交于點點M M，N N，且，且MNMN的中點為的中點為P P（1 1，-

53、1-1），則直線），則直線l的斜率等于的斜率等于( )( )【解析【解析】選選B.B.設(shè)設(shè)l與與y=1y=1交于點交于點M M（m,1m,1），），l與與x-y-7=0 x-y-7=0交于點交于點N N（n+7n+7，n n）. .由中點坐標公式得由中點坐標公式得m=-2,n=-3m=-2,n=-3，即，即M M（-2-2，1 1），），2233ABCD3322（ ） （ ） （ ） （ ）PM2k.3 3.(20133.(2013渭南模擬渭南模擬) )過點過點A A（1 1，2 2）且與原點距離最大的直線）且與原點距離最大的直線方程為方程為( )( )（A A）x+2y-5=0 x+2y-5

54、=0 （B B）2x+y-4=02x+y-4=0（C C）x+3y-7=0 x+3y-7=0 （D D）3x+y-5=03x+y-5=0【解析【解析】選選A.A.所求直線過點所求直線過點A A且與且與OAOA垂直時滿足條件，而垂直時滿足條件，而k kOAOA=2=2，故所求直線的斜率為，故所求直線的斜率為 所以所求直線方程為所以所求直線方程為 即即x+2y-5=0.x+2y-5=0.12 ，1y2x1 ,2 4.4.（20132013合肥模擬）如圖，已知合肥模擬）如圖，已知A A（4 4，0 0），），B B（0 0，4 4），從），從點點P P（2 2，0 0）射出的光線經(jīng)直線）射出的光線經(jīng)

55、直線ABAB反射后再射到直線反射后再射到直線OBOB上，最上，最后經(jīng)直線后經(jīng)直線OBOB反射后又回到反射后又回到P P點，則光線所經(jīng)過的路程是點，則光線所經(jīng)過的路程是( )( )（A A） （B B）6 6（C C） （D D）2 103 32 5【解析【解析】選選A.A.由題意知點由題意知點P P關(guān)于直線關(guān)于直線ABAB的對稱點為的對稱點為D D（4 4，2 2），），關(guān)于關(guān)于y y軸的對稱點為軸的對稱點為C C（-2-2，0 0），），則光線所經(jīng)過的路程的長為則光線所經(jīng)過的路程的長為故選故選A.A.CD2 10.5.5.（20132013撫州模擬）已知撫州模擬）已知 (a(a0,b0,b0

56、)0)，則點，則點（0,b0,b）到直線）到直線x-2y-a=0 x-2y-a=0的距離的最小值為的距離的最小值為_._.【解析【解析】點（點（0,b0,b）到直線）到直線x-2y-a=0 x-2y-a=0的距離為的距離為當當a a2 2=2b=2b2 2且且a+b=aba+b=ab，即，即 時取等號時取等號. .答案：答案：111aba2bd511112ba13 52 10a2b332 2,abab5555（）（）22a12,b2 3 52 1051.1.已知直線已知直線ax-by-2=0ax-by-2=0與曲線與曲線y=xy=x3 3在點在點P P（1 1，1 1）處的切線互相）處的切線互

57、相垂直，則垂直，則 為為( )( )【解析【解析】選選D.D.由由y=xy=x3 3得得y=3xy=3x2 2, ,所以曲線所以曲線y=xy=x3 3在點在點P P（1 1，1 1）處的切線斜率為）處的切線斜率為k=3k=31 12 2=3.=3.又其與直線又其與直線ax-by-2=0ax-by-2=0垂直，垂直，所以有所以有 得得ab 1221ABCD3333 a31b ，a1.b3 2.2.設(shè)兩條直線的方程分別為設(shè)兩條直線的方程分別為x+y+ax+y+a=0,x+y+b=0=0,x+y+b=0，已知，已知a,ba,b是方程是方程x x2 2+x+c=0+x+c=0的兩個實根，且的兩個實根，且 求這兩條直線之間的距離求這兩條直線之間的距離的最大值和最小值的最大值和最小值. .【解析【解析】a,ba,b是方程是方程x x2 2+x+c=0+x+c=0的兩個實根，的兩個實根，a+ba+b=-1,ab=c,=-1,ab=c,(a-b)(a-b)2 2=(a+b)=(a+b)2 2-4ab=1-4c.-4ab=1-4c.又又兩直線間的距離兩直線間的距離兩直線間的距離的最大值為兩直線間的距離的最大值為 最小值為最小值為10c8，ab14c1d0c282（），12d22，2,21.2