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1、第第20講講等腰三角形等腰三角形 第第20講講 考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)考點(diǎn)1 1 等腰三角形的概念與性質(zhì)等腰三角形的概念與性質(zhì) 定義定義有有_相等的三角形是等腰三角形相等的兩相等的三角形是等腰三角形相等的兩邊叫腰，第三邊為底邊叫腰，第三邊為底性質(zhì)性質(zhì)軸對(duì)軸對(duì)稱(chēng)性稱(chēng)性等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有_條條對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)軸定理定理1等腰三角形的兩個(gè)底角相等等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)稱(chēng)為：簡(jiǎn)稱(chēng)為：_)定理定理2等腰三角形頂角的平分線、底邊上等腰三角形頂角的平分線、底邊上的的_和底邊上的高互相重合，和底邊上的高互相重合，簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng)“三線合一三線合一”兩邊兩邊 一一 等邊對(duì)
2、等角等邊對(duì)等角 中線中線第第20講講 考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)聚焦拓展拓展(1)(1)等腰三角形兩腰上的高相等等腰三角形兩腰上的高相等(2)(2)等腰三角形兩腰上的中線相等等腰三角形兩腰上的中線相等(3)(3)等腰三角形兩底角的平分線相等等腰三角形兩底角的平分線相等(4)(4)等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂?shù)妊切我谎系母吲c底邊的夾角等于頂角的一半角的一半(5)(5)等腰三角形頂角的外角平分線與底邊平行等腰三角形頂角的外角平分線與底邊平行(6)(6)等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高和等于一腰上的高(7)(7)等腰三角形底邊延長(zhǎng)線上任意
3、一點(diǎn)到兩腰距等腰三角形底邊延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)到兩腰距離之差等于一腰上的高離之差等于一腰上的高第第20講講 考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)考點(diǎn)2 2 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 定理定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)寫(xiě)成：簡(jiǎn)寫(xiě)成：_)拓展拓展(1)一邊上的高與這邊上的中線重合的三角形是一邊上的高與這邊上的中線重合的三角形是等腰三角形等腰三角形(2)一邊上的高與這邊所對(duì)的角的平分線重合的一邊上的高與這邊所對(duì)的角的平分線重合的三角形是等腰三角形三角形是等腰三角形(3)一邊上的中線與這邊所對(duì)的角的平分線重合一邊上的中線與這邊所
4、對(duì)的角的平分線重合的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊考點(diǎn)考點(diǎn)3 3 等邊三角形等邊三角形 第第20講講 考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)聚焦定義定義三邊相等的三角形是等邊三角形三邊相等的三角形是等邊三角形性質(zhì)性質(zhì)等邊三角形的各角都等邊三角形的各角都_，并且每一個(gè)，并且每一個(gè)角都等于角都等于_等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有_條對(duì)條對(duì)稱(chēng)軸稱(chēng)軸判定判定(1)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形(2)有一個(gè)角等于有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等的等腰三角形是等邊三角形邊三角形相等相等 60 3 考點(diǎn)考點(diǎn)4 4 線段的垂直平分線線段的垂直平分線 第
5、第20講講 考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)聚焦定義定義經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)與這條線段垂直的直線叫做這經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)與這條線段垂直的直線叫做這條線段的垂直平分線條線段的垂直平分線性質(zhì)性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離距離_判定判定與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的段的_上上實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)構(gòu)成構(gòu)成線段的垂直平分線可以看作到線段兩個(gè)端點(diǎn)線段的垂直平分線可以看作到線段兩個(gè)端點(diǎn)_的所有點(diǎn)的集合的所有點(diǎn)的集合相等相等 垂直平分線垂直平分線 距離相等距離相等 第第20講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例 類(lèi)型之一等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)
6、用類(lèi)型之一等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用 命題角度：命題角度：1. 等腰三角形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；2. 等腰三角形等腰三角形“三線合一三線合一”的性質(zhì)；的性質(zhì)；3. 等腰三角形兩腰上的高等腰三角形兩腰上的高(中線中線)、兩底角的平分線的性質(zhì)、兩底角的平分線的性質(zhì). 例例1 如圖如圖201，在等腰三角形，在等腰三角形ABC中，中，ABAC，AD是是BC邊上的中線，邊上的中線，ABC的平分線的平分線BG，交，交AD于點(diǎn)于點(diǎn)E，EFAB，垂足為，垂足為F.求證：求證：EFED.圖圖201第第20講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例解析解析 根據(jù)等腰三角形三線合一，確定根據(jù)等腰三角形三線合一，確定ADBC，又因?yàn)?，?/p>
7、因?yàn)镋FAB，然后根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相，然后根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等證出結(jié)論等證出結(jié)論證明：證明：ABAC，AD是是BC邊上的中線，邊上的中線，ADBC.BG平分平分ABC，EFAB，EFED.第第20講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例 (1)(1)利用線段的垂直平分線進(jìn)行等線段轉(zhuǎn)換，進(jìn)而進(jìn)利用線段的垂直平分線進(jìn)行等線段轉(zhuǎn)換，進(jìn)而進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換行角度轉(zhuǎn)換 (2) (2)在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊與等邊對(duì)等角進(jìn)在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊與等邊對(duì)等角進(jìn)行互相轉(zhuǎn)換行互相轉(zhuǎn)換 類(lèi)型之二等腰三角形判定類(lèi)型之二等腰三角形判定 命題角度：命題角度：等腰三角形的判定等腰三角形的判定第第20
8、講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例圖圖202 例例2 2011揚(yáng)州揚(yáng)州 已知：如圖已知：如圖202，銳角，銳角ABC的兩條的兩條高高BD、CE相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O，且，且OBOC.(1)求證：求證：ABC是等腰三角形；是等腰三角形；(2)判斷點(diǎn)判斷點(diǎn)O是否在是否在BAC的平分線上，并說(shuō)明理由的平分線上，并說(shuō)明理由 第第20講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例解析解析 (1)利用利用BDC CEB 證明證明DCBEBC；(2)連接連接AO，通過(guò)，通過(guò)HL證證明明ADO AEO，從而得到，從而得到DAOEAO，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等，證明結(jié)論離相等，證明結(jié)論解：解：(1)證明：證明：
9、OBOC，OBCOCB.BD、CE是兩條高，是兩條高，BDCCEB90.又又BCCB，BDC CEB (AAS)DBCECB, ABAC.ABC是等腰三角形是等腰三角形第第20講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例(2)點(diǎn)點(diǎn)O是在是在BAC的平分線上的平分線上連接連接AO.BDC CEB，DCEB.OBOC， ODOE.又又BDCCEB90，AOAO，ADO AEO(HL)DAOEAO. 點(diǎn)點(diǎn)O是在是在BAC的平分線上的平分線上第第20講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例要證明一個(gè)三角形是等腰三角形，必須得到兩邊相等，要證明一個(gè)三角形是等腰三角形，必須得到兩邊相等，而得到兩邊相等的方法主要有而得到兩邊相等的方法主要有(1)
10、(1)通過(guò)等角對(duì)等邊得兩邊通過(guò)等角對(duì)等邊得兩邊相等；相等；(2)(2)通過(guò)三角形全等得兩邊相等；通過(guò)三角形全等得兩邊相等；(3)(3)利用垂直平利用垂直平分線的性質(zhì)得兩邊相等分線的性質(zhì)得兩邊相等 類(lèi)型之三類(lèi)型之三 等腰三角形的多解問(wèn)題等腰三角形的多解問(wèn)題 例例3 3 20122012廣安廣安 已知等腰已知等腰ABC中，中，ADBC于點(diǎn)于點(diǎn)D，且且AD0.5 BC，則，則ABC底角的度數(shù)為底角的度數(shù)為()A45 B75C45或或75 D60第第20講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例命題角度：命題角度：1. 遇到等腰三角形的問(wèn)題時(shí)，注意邊有腰與底之分，角遇到等腰三角形的問(wèn)題時(shí)，注意邊有腰與底之分，角有底角和頂
11、角之分；有底角和頂角之分；2. 遇到高線的問(wèn)題要考慮高在形內(nèi)和形外兩種情況遇到高線的問(wèn)題要考慮高在形內(nèi)和形外兩種情況C 第第20講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例第第20講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例 因?yàn)榈妊切蔚倪呌醒c底之分，角有底角和頂因?yàn)榈妊切蔚倪呌醒c底之分，角有底角和頂角之分，等腰三角形的高線要考慮高在形內(nèi)和形外兩種角之分，等腰三角形的高線要考慮高在形內(nèi)和形外兩種情況故當(dāng)題中條件給出不明確時(shí)，要分類(lèi)討論進(jìn)行解情況故當(dāng)題中條件給出不明確時(shí)，要分類(lèi)討論進(jìn)行解題，才能避免漏解情況題，才能避免漏解情況 類(lèi)型之四等邊三角形的判定與性質(zhì)類(lèi)型之四等邊三角形的判定與性質(zhì) 例例4 4 2011紹興紹興 數(shù)學(xué)課上
12、，李老師出示了如下框中數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下框中的題目的題目在等邊三角形在等邊三角形ABC中，點(diǎn)中，點(diǎn)E在在AB上，點(diǎn)上，點(diǎn)D在在CB的延長(zhǎng)的延長(zhǎng)線上，且線上，且EDEC，如圖，如圖203.試確定線段試確定線段AE與與DB的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由第第20講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例命題角度：命題角度：等邊三角形的判定與性質(zhì)的綜合等邊三角形的判定與性質(zhì)的綜合圖圖203第第20講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：(1)特殊情況，探索結(jié)論特殊情況，探索結(jié)論當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)E為為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖的中點(diǎn)時(shí)，如圖204，確定線段，確
13、定線段AE與與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)論：的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)論：AE_DB(填填“”“”“”或或“”)理由如下理由如下：如圖：如圖204，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作作EFBC，交，交AC于點(diǎn)于點(diǎn)F.(請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程)(3)拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題在等邊三角形在等邊三角形ABC中，點(diǎn)中，點(diǎn)E在直線在直線AB上，點(diǎn)上，點(diǎn)D在直線在直線BC上，且上，且EDEC.若若ABC的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為1，AE2，求，求CD的長(zhǎng)的長(zhǎng)(請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)果請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)果) (3)1或或3.第第20講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例方法一：等邊三角形方法一：等邊三角形ABCABC中，中，ABC
14、ABCACBACBBACBAC6060，ABABBCBCACAC. .EFEFBCBC，AEFAEFAFEAFE6060BACBAC，AEFAEF是等邊三角形，是等邊三角形，AEAEAFAFEFEF，ABABAEAEACACAFAF，即，即BEBECFCF. .又又ABCABCEDBEDBBEDBED6060，ACBACBECBECBFCEFCE6060，且且EDEDECEC，EDBEDBECBECB，BEDBEDFCEFCE. .又又DBEDBEEFCEFC120120，DBEDBEEFCEFC，DBDBEFEF，AEAEBDBD. .第第20講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例方法二：在等邊三角形方法二
15、：在等邊三角形ABCABC中，中，ABCABCACBACB6060，ABDABD120120. .ABCABCEDBEDBBEDBED，ACBACBECBECBACEACE，EDEDECEC，EDBEDBECBECB，BEDBEDACEACE. .FEFEBCBC，AEFAEFAFEAFE6060BACBAC，AEFAEF是正三角形，是正三角形，EFCEFC180180ACBACB120120ABDABD. .EFCEFCDBEDBE，DBDBEFEF，而由而由AEFAEF是正三角形可得是正三角形可得EFEFAEAE. .AEAEDBDB. . 第第20講講 歸類(lèi)示例歸類(lèi)示例 等邊三角形中隱含著三邊相等和三個(gè)角都等于等邊三角形中隱含著三邊相等和三個(gè)角都等于6060的結(jié)論，所以要充分利用這些隱含條件，證明全等或者的結(jié)論，所以要充分利用這些隱含條件，證明全等或者構(gòu)造全等構(gòu)造全等
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