中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件 第24課 矩形、菱形與正方形

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1、第第24課矩形、菱形與正方形課矩形、菱形與正方形 基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)1有一個(gè)角是有一個(gè)角是 的平行四邊形是矩形矩形的四個(gè)角都的平行四邊形是矩形矩形的四個(gè)角都是是 ，對角線，對角線 矩形的判定方法：矩形的判定方法： (1)(1)有三個(gè)角是有三個(gè)角是 的四邊形；的四邊形； (2)(2)是平行四邊形且有一個(gè)角是是平行四邊形且有一個(gè)角是 ； (3)(3) 的平行四邊形；的平行四邊形； (4)(4) 的四邊形的四邊形要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理直角直角直角直角相等且互相平分相等且互相平分直角直角直角直角對角線相等對角線相等對角線相等且互相平分對角線相等且互相平分2有一組有一組 的平行四邊形叫做菱形菱

2、形的四條的平行四邊形叫做菱形菱形的四條邊都邊都 ，對角線，對角線 ，且每一條對角，且每一條對角線線 菱形的判定方法：菱形的判定方法： (1)四條邊都四條邊都 ； (2)有一組有一組 的平行四邊形；的平行四邊形； (3)對角線對角線 的平行四邊形；的平行四邊形； (4)對角線對角線 的四邊形的四邊形鄰邊相等鄰邊相等相等相等互相垂直平分互相垂直平分平分一組對角平分一組對角相等相等鄰邊相等鄰邊相等互相垂直互相垂直互相垂直平分互相垂直平分3有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形正方形的四個(gè)角都是形正方形的四個(gè)角都是 ，四條邊都，四條邊都

3、，兩條對角，兩條對角線線 ，并且，并且 每一條對角線每一條對角線 正方形的判定方法：正方形的判定方法： (1)(1)鄰邊相等的鄰邊相等的 ； (2)(2)有一角是直角的有一角是直角的 直角直角相等相等互相垂直平分互相垂直平分平分一組對角平分一組對角相等相等矩形矩形菱形菱形 難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源 平行四邊形與矩形、菱形、正方形的聯(lián)系與區(qū)別平行四邊形與矩形、菱形、正方形的聯(lián)系與區(qū)別 以平行四邊形為基礎(chǔ)，從邊、角、對角線等不同角度進(jìn)行演變，我以平行四邊形為基礎(chǔ)，從邊、角、對角線等不同角度進(jìn)行演變，我們可得出矩形、菱形、正方形這些特殊的平行四邊形，它們之間既有聯(lián)們可得出矩形、菱形、正方形這

4、些特殊的平行四邊形，它們之間既有聯(lián)系又有區(qū)別系又有區(qū)別 矩形判定方法的使用：在平行四邊形的基礎(chǔ)上，增加矩形判定方法的使用：在平行四邊形的基礎(chǔ)上，增加“一個(gè)角是直一個(gè)角是直角角”或或“對角線相等對角線相等”的條件可為矩形；若在四邊形的基礎(chǔ)上，則需有的條件可為矩形；若在四邊形的基礎(chǔ)上，則需有三三個(gè)角是直角個(gè)角是直角( (第四個(gè)角必是直角第四個(gè)角必是直角) )則可判定為矩形則可判定為矩形 菱形判定方法的使用：在平行四邊形的基礎(chǔ)上，增加菱形判定方法的使用：在平行四邊形的基礎(chǔ)上，增加“一組鄰邊相一組鄰邊相等等”或或“對角線互相垂直對角線互相垂直”的條件可為菱形；若在四邊形的基礎(chǔ)上，需的條件可為菱形；若在

5、四邊形的基礎(chǔ)上，需有有四邊相等則可判定為菱形四邊相等則可判定為菱形 正方形的判定可簡記為：菱形矩形正方形，其證明思路有兩個(gè)：正方形的判定可簡記為：菱形矩形正方形，其證明思路有兩個(gè)：先證四邊形是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等先證四邊形是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等( (即矩形即矩形) )；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直( (即即菱形菱形) )基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測1(2011烏蘭察布烏蘭察布)如圖，已知矩形如圖，已知矩形ABCD ，一條直線將該矩形，一條直線將該矩形 ABCD 分割成兩個(gè)多邊形，

6、若這兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和分別為分割成兩個(gè)多邊形，若這兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和分別為 M 和和 N ，則，則 MN 不可能是不可能是() A360 B540 C720 D630 答案答案D 解析當(dāng)直線將矩形分割成兩個(gè)三角形時(shí)，有解析當(dāng)直線將矩形分割成兩個(gè)三角形時(shí)，有MN180，MN360；當(dāng)直線將矩形分割成一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形；當(dāng)直線將矩形分割成一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形時(shí)，不妨設(shè)時(shí)，不妨設(shè)M180，N360，則，則MN540；當(dāng)直線；當(dāng)直線將矩形分割成兩個(gè)四邊形，有將矩形分割成兩個(gè)四邊形，有MN360，則，則MN720.所以所以MN不可能是不可能是630.2( (2011大理大理) )用兩塊邊長為用兩塊

7、邊長為a的等邊三角形紙片拼成的四邊的等邊三角形紙片拼成的四邊形是形是( () ) A等腰梯形等腰梯形 B菱形菱形 C矩形矩形 D正方形正方形 答案答案B 解析兩個(gè)等邊三角形可拼成菱形解析兩個(gè)等邊三角形可拼成菱形3(2011天津天津)如圖，將正方形紙片如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使邊折疊，使邊AB、CB均落在對角線均落在對角線BD上，得折痕上，得折痕BE、BF，則，則EBF的大的大小為小為() A15 B30 C45 D60 答案答案C4(2011茂名茂名)如圖，兩條筆直的公路如圖，兩條筆直的公路l1、l2相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O，村莊，村莊C的的村民在公路的旁邊建三個(gè)加工廠村民在公路的旁邊建三個(gè)

8、加工廠A、B、D，已知，已知 ABBC CDDA5公里，村莊公里，村莊C到公路到公路l1的距離為的距離為4公里，則村莊公里，則村莊C到到公路公路l2的距離是的距離是() A3公里公里 B4公里公里 C5公里公里 D6公里公里 答案答案B 解析連接解析連接AC，因?yàn)?，因?yàn)锳BBCCDDA，所以四邊形，所以四邊形ADCD是是菱形，菱形，CA平分平分DAB，點(diǎn)，點(diǎn)C到到l1的距離等于點(diǎn)的距離等于點(diǎn)C到到l2的距離，故的距離，故選選B.答案答案A題型分類題型分類 深度剖析深度剖析【例【例 1】如圖，四邊形】如圖，四邊形ABCD是矩形，是矩形，E是是AB上一點(diǎn)，且上一點(diǎn)，且DEAB，過，過C作作CFDE

9、，垂足為，垂足為F. (1)猜想：猜想：AD與與CF的大小關(guān)系；的大小關(guān)系； (2)請證明上面的結(jié)論請證明上面的結(jié)論題型一矩形題型一矩形解解( (1) )ADCF. ( (2) )在矩形在矩形ABCD中，中， ABCD，且，且ABCD ，A90， CDFAED. 又又DEAB， DECD. CFDE， ADFC90， ADE FCD， ADCF.探究提高探究提高矩形四個(gè)角都是直角，抓住這一特征，證兩矩形四個(gè)角都是直角，抓住這一特征，證兩個(gè)直角三角形全等；矩形的對角線將其分成若干個(gè)特殊個(gè)直角三角形全等；矩形的對角線將其分成若干個(gè)特殊三角形三角形知能遷移知能遷移1(2011濱州濱州)如圖，如圖，A

10、BC中，點(diǎn)中，點(diǎn)O是是AC邊上邊上(端端點(diǎn)除外點(diǎn)除外)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線作直線MNBC.設(shè)設(shè)MN交交BCA的平分線于點(diǎn)的平分線于點(diǎn)E，交，交BCA的外角平分線于點(diǎn)的外角平分線于點(diǎn)F，連接連接AE、AF.那么當(dāng)點(diǎn)那么當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是是矩形？并證明你的結(jié)論矩形？并證明你的結(jié)論解當(dāng)點(diǎn)解當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)的中點(diǎn)( (或或OAOC) )時(shí)，四邊形時(shí)，四邊形AECF是矩形是矩形 證明：證明：CE平分平分BCA， 12. 又又MNBC, 13， 32，EOCO. 同理，同理，F(xiàn)OCO. EOFO. 又又OAOC, 四邊形四邊形AECF是

11、平行四邊形是平行四邊形 12，45， 1524. 又又1524180， 2490. AECF是矩形是矩形題型二菱形題型二菱形【例【例 2】如圖，四邊形】如圖，四邊形ABCD是菱形，是菱形，DEAB交交BA的延的延長線于長線于E，DFBC，交，交BC的延長線于的延長線于F.請你猜想請你猜想DE與與DF的大小有什么關(guān)系？并證明你的猜想的大小有什么關(guān)系？并證明你的猜想 解解DEDF. 證明：連接證明：連接BD， 在菱形在菱形ABCD中，中， BD平分平分ABC， DEAB，DFBC， DEDF.探究提高探究提高此題可以證明此題可以證明ADE CDF，得，得DEDF；或；或者連接者連接BD，由，由“角

12、平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”證明證明DEDF.知能遷移知能遷移2( (2011濟(jì)寧濟(jì)寧) )如圖，在平行四邊形如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線中，對角線AC、BD相交于相交于O，過點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線作直線EFBD，分別交，分別交AD、BC于于點(diǎn)點(diǎn)E和點(diǎn)和點(diǎn)F，求證：四邊形，求證：四邊形BEDF是菱形是菱形解證明：解證明：四邊形四邊形ABCD是平行四邊形，是平行四邊形， ADBC，OBOD， EDOFBO, OEDOFB， OED OFB， DEBF. 又又EDBF， 四邊形四邊形BEDF是平行四邊形是平行四邊形 EFBD， 平行四邊形平行四邊形BEDF是菱

13、形是菱形題型三正方形題型三正方形【例【例 3】(2010青海青海)如圖，正方形如圖，正方形ABCD的對角線的對角線AC和和BD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O，O又是正方形又是正方形A1B1C1O的一個(gè)頂點(diǎn)，的一個(gè)頂點(diǎn)，OA1交交AB于點(diǎn)于點(diǎn)E，OC1交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)F. (1)(1)求證：求證：AOE BOF； (2)(2)如果兩個(gè)正方形的邊長都為如果兩個(gè)正方形的邊長都為a，那么正方形，那么正方形A1B1C1O繞繞 O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積等于多少？為點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積等于多少？為 什么？什么？解題示范解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！探究提高探究

14、提高正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形及菱形的正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形及菱形的一切性質(zhì)，它們之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，其各自的性質(zhì)和一切性質(zhì)，它們之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，其各自的性質(zhì)和判定是中考的熱點(diǎn)判定是中考的熱點(diǎn)知能遷移知能遷移3(2011舟山舟山)以四邊形以四邊形ABCD的邊的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向?yàn)樾边叿謩e向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連結(jié)這四個(gè)，順次連結(jié)這四個(gè)點(diǎn)，得四邊形點(diǎn)，得四邊形EFGH. (1)如圖如圖1，當(dāng)四邊形，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方

15、形；是正方形；如圖如圖2，當(dāng)四邊形，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，請判斷：四邊形為矩形時(shí)，請判斷：四邊形EFGH的形狀的形狀(不要求不要求證明證明)； (2)如圖如圖3，當(dāng)四邊形，當(dāng)四邊形ABCD為一般平行四邊形時(shí)，設(shè)為一般平行四邊形時(shí)，設(shè)ADC(090). 試用含試用含的代數(shù)式表示的代數(shù)式表示HAE； 求證：求證：HEHG； 四邊形四邊形EFGH是什么四邊形？并說明理由是什么四邊形？并說明理由. 解解(1)(1)四邊形四邊形EFGH是正方形是正方形 (2)(2)HAE90. 證明：在證明：在 ABCD中，中，ABCD， BAD180ADC180. HAD和和EAB都是等腰直角三角形，都是等腰直角

16、三角形， HADEAB45， HAE360HADEABBAD 3604545(180)90.四邊形四邊形EFGH是正方形理由如下：是正方形理由如下： 由由同理可得：同理可得：GHGF，F(xiàn)GFE. HEHG(已證已證)， GHGFEHFE，四邊形四邊形EFGH是菱形是菱形 HAE HDG(已證已證)， DHGAHE. 又又AHDAHGDHG90， EHGAHGAHE90， 菱形菱形EFGH是正方形是正方形題型四特殊平行四邊形綜合題題型四特殊平行四邊形綜合題探究提高探究提高在判定矩形、菱形或正方形時(shí)，要弄清是在在判定矩形、菱形或正方形時(shí)，要弄清是在“四四邊形邊形”，還是在，還是在“平行四邊形平行四

17、邊形”的基礎(chǔ)上來求證的，要熟的基礎(chǔ)上來求證的，要熟悉各判定定理之間的聯(lián)系與區(qū)別，解答此類問題要認(rèn)真審悉各判定定理之間的聯(lián)系與區(qū)別，解答此類問題要認(rèn)真審題，通過對已知條件的分析、綜合，確定一種解決問題的題，通過對已知條件的分析、綜合，確定一種解決問題的方法，這里方程的思想很重要方法，這里方程的思想很重要知能遷移知能遷移4(2011宿遷宿遷)如圖，在邊長為如圖，在邊長為2的正方形的正方形ABCD中，中，P為為AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，Q為邊為邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)DQt(0t2)，線，線段段PQ的垂直平分線分別交邊的垂直平分線分別交邊AD、BC于點(diǎn)于點(diǎn)M、N，過，過Q作作QEAB于點(diǎn)于點(diǎn)E，過，

18、過M作作MFBC于點(diǎn)于點(diǎn)F. (1)(1)當(dāng)當(dāng)t1時(shí)，求證：時(shí)，求證：PEQ NFM； (2)(2)順次連接順次連接P、M、Q、N，設(shè)四邊形，設(shè)四邊形PMQN的面積為的面積為S， 求出求出S與自變量與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最小值的最小值解解(1)證明：證明：四邊形四邊形ABCD是正方形，是正方形， ABD90， ADAB. QEAB，MFBC， AEQMFB90. 四邊形四邊形ABFM、AEQD都是矩形都是矩形 MFAB，QEAD，MFQE. 又又PQMN， EQPFMN. 又又QEPMFN90， PEQ NFM.易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示試題試題在在ABC的兩邊的兩邊

19、AB、AC上向形外作正方形上向形外作正方形ABEF、ACGH， 過點(diǎn)過點(diǎn)A作作BC的垂線分別交的垂線分別交BC于點(diǎn)于點(diǎn)D，交，交FH于于M，求證：，求證：FMMH.學(xué)生答案展示學(xué)生答案展示 如圖，如圖，四邊形四邊形ABEF與四邊形與四邊形ACGH都是正方形，都是正方形， AFAB，AHAC. 又又FAHBAC， AFH ABC.52. 3190，3290， 12，15. 14，45. AMFM.同理，同理，AMAH， 故故FMMH.15不認(rèn)真畫圖導(dǎo)致錯(cuò)誤剖析剖析上述解法錯(cuò)在將上述解法錯(cuò)在將BAC畫成了直角畫成了直角( (題中沒有這個(gè)條題中沒有這個(gè)條件！件！) )從而導(dǎo)致從而導(dǎo)致FAH、BAC和

20、和1、4分別成為對頂分別成為對頂角，不認(rèn)真畫圖，匆匆忙忙進(jìn)行推理，就很容易犯錯(cuò)誤角，不認(rèn)真畫圖，匆匆忙忙進(jìn)行推理，就很容易犯錯(cuò)誤正解正解分別過分別過F、H畫畫FKMD，HLMD，垂足為，垂足為K、L. 四邊形四邊形ACGH是正方形，是正方形， ACAH，CAH90，1290. ADBC，2390，13. 又又HLAADC90， AHL CAD.HLAD. 同理：同理：AFK BAD. FKAD.FKHL. 又又FMKHML， FKMHLM90， FMK HML. FMMH.批閱筆記批閱筆記證明一個(gè)幾何命題時(shí)，一般要先根據(jù)題意畫出圖證明一個(gè)幾何命題時(shí)，一般要先根據(jù)題意畫出圖形，但畫圖時(shí)應(yīng)嚴(yán)格根據(jù)

21、題設(shè)條件，不能將一般的圖形畫形，但畫圖時(shí)應(yīng)嚴(yán)格根據(jù)題設(shè)條件，不能將一般的圖形畫成一個(gè)特殊圖形，否則在證明時(shí)就容易受所畫圖形干擾而成一個(gè)特殊圖形，否則在證明時(shí)就容易受所畫圖形干擾而導(dǎo)致錯(cuò)誤導(dǎo)致錯(cuò)誤. 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高方法與技巧方法與技巧 1. 1. 平行四邊形是中心對稱圖形，這是它的本質(zhì)特征平行四邊形是中心對稱圖形，這是它的本質(zhì)特征矩形、菱形、正方形作為特殊的平行四邊形，不僅具有平矩形、菱形、正方形作為特殊的平行四邊形，不僅具有平行四邊形的特征，而且它們都是軸對稱圖形，分別具有一行四邊形的特征，而且它們都是軸對稱圖形，分別具有一些獨(dú)特的性質(zhì)些獨(dú)特的性質(zhì) 2. 2. 利用一般與特

22、殊的關(guān)系，明確各四邊形的從屬關(guān)系，利用一般與特殊的關(guān)系，明確各四邊形的從屬關(guān)系，系統(tǒng)掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理系統(tǒng)掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理失誤與防范失誤與防范 1 1在判定矩形、菱形或正方形時(shí)，要明確是在在判定矩形、菱形或正方形時(shí)，要明確是在“四邊四邊形形”還是在還是在“平行四邊形平行四邊形”的基礎(chǔ)之上來求證的要熟悉各判定的基礎(chǔ)之上來求證的要熟悉各判定定定理的聯(lián)系和區(qū)別，解決此類問題時(shí)要認(rèn)真審題，通過對已知理的聯(lián)系和區(qū)別，解決此類問題時(shí)要認(rèn)真審題，通過對已知條件的分析、綜合，最后確定用哪一種判定方法是解決這類條件的分析、綜合，最后確定用哪一種判定方法是解決這類問題的關(guān)鍵問題的關(guān)鍵 2 2直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，常將它直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，常將它與直角三角形的其他性質(zhì)聯(lián)合運(yùn)用，解決直角三角形中的計(jì)與直角三角形的其他性質(zhì)聯(lián)合運(yùn)用，解決直角三角形中的計(jì)算或論證問題算或論證問題完成考點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練完成考點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練24 24