翻硬幣問題訣竅翻硬幣問題訣竅

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1、1/ 6 作者 :楊金玨翻硬幣問題訣竅翻硬幣問題訣竅硬幣問題是公務員考試出現(xiàn)的 數(shù)學運算題型，屬于邏輯類考題，這類問題變化復雜，對考生的推理能力要求 高。博大弘仕楊金玨老師將在這里介紹翻硬幣問題的快速解題技巧。 首先要明白什么是 “翻硬幣問題 ”，通常題面形式是這樣的： M 個硬幣全部正面朝上，現(xiàn)在要求每次必須同時翻轉其中的 N 個硬幣，至 少翻轉多少次才能使全部硬幣反面朝上？ 那么可能出現(xiàn)四種情況： 硬幣總數(shù)（M）每次翻硬幣數(shù)量（N） 奇偶 偶奇 偶偶 上面四種情況中， 只有當硬幣總數(shù)是奇數(shù)個并且每次翻偶數(shù)個硬幣時， 不 能完成要求，其他三種都可以完成翻轉。 為什么不能完成這種情況呢？根據(jù)奇

2、偶的基本性質可以推導出來，每個硬 幣必須翻轉奇數(shù)次才能實現(xiàn)反面朝上，現(xiàn)在總數(shù)是奇數(shù)，那么所有硬幣翻轉總 數(shù)就是奇數(shù)個奇數(shù)，其結果必定是個奇數(shù)。但是每次翻轉偶數(shù)個硬幣，那么硬 幣被翻動的總數(shù)為偶數(shù)乘以翻動次數(shù)，結果必定是偶數(shù)。所以這種情況下是不 可能完成任務的。 翻硬幣問題形式多樣，這里總結出了一個基本的解題步驟。 第一步：判斷總個數(shù)是否與每次翻的個數(shù)呈倍數(shù)關系。如果是倍數(shù)關系， 翻動次數(shù)=MKN第二步：如果沒有倍數(shù)關系，考慮硬幣總數(shù)的奇偶情況。 當總數(shù)為偶數(shù) 1）每次翻的個數(shù)是總數(shù)減一 【例 1】現(xiàn)有 6 個一元面值硬幣正面朝上放在桌子上，你可以每次翻轉 5 個 2/ 6 硬幣（必須要翻轉 5

3、個），問你最少要經過幾次翻轉可以使這 6 個硬幣全部反 面朝上？ A.5次B.6次C.7次D.8次 【解析】本題屬于歸納推理問題。一個硬幣要翻面，需要翻奇數(shù)次，一共 有 6 個硬幣，每一次翻轉 5 個，那么必須翻轉偶數(shù)次才能保證每一枚硬幣翻轉 奇數(shù)次，故排除A、C。因為每次翻五個，則有一個沒被改變，或者說每次是在 原來的基礎上變一個，一共有 6 個硬幣，每次變一個，那么需要 6 次才能全部 變完。具體過程如下： 故需要 6 次，故正確答案為 B。 這類問題的解答公式為：翻動次數(shù)= M 翻動方法：只要按照第一次第一個不翻，第二次第二個不翻，按照此方法 進行操作就可以成功。 （ 2）除了上述以外情

4、況，要計算翻動次數(shù)，我們采用余數(shù)分析法。 首先用總數(shù)（M）嗨次翻的個數(shù)（N）,表達式為： MKN = a b 上面式子中，a為商，b為余數(shù)。那么我們把余數(shù)分成三種情況： b=1,翻動次數(shù)=a+1 【例 2】共有 10 個硬幣正面朝上，每次翻動 3個，總共翻動幾次才能反面 朝上？ A.3次B.4次C.5次D.6次 【解析】利用公式：MN = 1033 . 1余數(shù)b= 1,翻動次數(shù)=3+1 = 4。 這個公式在怎么推導出來的呢？ 此題計算為10* 3=3，余數(shù)為1,我們需要改寫余數(shù)為10 3=2，相 當于翻了 2 次 3 個硬幣，還剩下 4 個硬幣沒有翻過來。 OOOOOO OOOO XXXXXX

5、 OOOO 3/ 6 那么我們將這 4個硬幣分成兩組,每組兩個。接下來翻其中的 2個硬幣和 前面已經翻成反面的 1 個硬幣。 XXXXXO XXOO 最后把剩下的兩個正面硬幣和剛才翻成正面的那個硬幣一起翻過來。 XXXXXX XXXX 只要余數(shù)是偶數(shù),都可以采用這樣的方法翻轉。 再回過頭來看下最初計算式子，10 3=3,我們改寫余數(shù)為 10 3=2;商減少了 1,余數(shù)變成了 1+3=4,余數(shù)加除數(shù)。根據(jù)奇偶基本性 質，這里變化的余數(shù)一定是個偶數(shù)，因為被除數(shù)是偶數(shù)，被除數(shù) 二除數(shù) 商+1, 要使余數(shù)為 1,除數(shù)和商必定也是奇數(shù)。所以變化后的余數(shù)等于 1+除數(shù),結果 必定為偶數(shù)。偶數(shù)就需要 2 步

6、完成翻轉,總體上在原來商的基礎上只增加了 1, 所以余數(shù)b= 1時，翻動次數(shù)=a+1。 b =偶數(shù)，翻動次數(shù)=a+2 【例 3】共有 92個杯口朝上的杯子,每次翻動 11 個杯子,使其杯口朝下, 總共翻動幾次才能讓所有杯子反面朝下？ A.9 次 B.10 次 C.11 次 D.12 次 【解析】利用公式：MN = 92 1牡84余數(shù)b =偶數(shù)，翻動次數(shù)=8+2 =10。 翻動方法和上一道例題相同，將最后剩下的 4 個杯子分成兩組，先翻其中 的 2 個和前面已經翻過的 2 個，然后剛好剩下 4 個杯口朝上的杯子。總共需要 10 次。翻動方法如圖所示： （第 8 次） XXXXXX XXXXXXO

7、OOO （第 9 次）XXX000 000 000 XXOO （第 10 次） XXXXXX XXX XXX XXXX b =奇數(shù)，翻動次數(shù)=a+3 4/ 6 【例 4】有 18個房間開著燈，如果每次同時撥動 5 個房間的開關，經過幾 次撥動，燈全部關上？ A.3次B.4次C.6次D.幾次也不能 【解析】利用公式：MN = 1853 3余數(shù)b =奇數(shù)，翻動次數(shù)=3+3= 6。 余數(shù)是奇數(shù)時，為什么要翻 3 次呢？是如何翻轉的呢？下面我們用硬幣翻 轉來代替燈的開關。 首先完成三次翻轉，如圖所示： 00000 00000 00000 000 XXXXX 00000 00000 000 XXXXX

8、XXXXX 00000 000 XXXXX XXXXX XXXXX 000 接下來將剩下的 3 個全部翻轉，并且把前面翻過來的 2 個再次翻轉。 XXXXX XXXXX XXX00 XXX 現(xiàn)在就和前面講的余數(shù)是偶數(shù)情況相同了。把剩下的分成兩組，先翻其中 的一組，不夠的在前面翻過里面翻轉。 0000X XXXXX XXXX0 XXX 最后剩下的剛好翻完。 XXXXX XXXXX XXXXX XXX 前面我們討論的是總數(shù)是偶數(shù)，總數(shù)是奇數(shù)時有兩種情況： （1）每次翻轉的個數(shù)為奇數(shù)，那么按照上面講的余數(shù)分析法解決。 MKN = a b b=1,翻動次數(shù)=a+1 5/ 6 b =偶數(shù)，翻動次數(shù)=a+

9、2 b =奇數(shù)，翻動次數(shù)=a+3 （2）每次翻轉的個數(shù)為偶數(shù)，這種情況下無法完成任務。【例 5】有 7 個 杯口全部向上的杯子， 每次將其中 4 個同時翻轉， 經過幾次翻轉， 杯口可以全 部向下？ 【 09 山西】 A.3次B.4次C.5次D.幾次也不能 【解析】根據(jù)公式，不可能完成任務。所以選 D。要想杯子杯口朝下的 話，需要翻轉奇數(shù)次，所以七個杯口要全部向下的話，翻轉的總次數(shù)為 7 個奇 數(shù)的和，必定也是奇數(shù)，所以總共也是需要翻轉奇數(shù)次才行。但是每次翻轉其 中 4 個，不論翻多少次總數(shù)都是偶數(shù)，因此無論翻幾次都不行。正確答案為 D。 下面我們總結一下翻硬幣問題的解題方法。 M 個硬幣每次翻 N 個需要幾次 一、 倍數(shù)成立 m/n 二、 無倍數(shù) 1 、m 為奇數(shù)， n 為偶數(shù)，無法完成 2、 m 為偶數(shù)時 當 n 為奇數(shù)且比 m 小 1 是，翻 m 次 3、其余情況 m/n=a . b 當 b 為 1 ，則需 a+1 b 為偶數(shù)，則需 a+2 b 為奇數(shù)，則6/ 6 需 a+3