2012江蘇省數(shù)學(xué)競賽《提優(yōu)教程》教案：第17講三角形的五心

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1、 第17講 三角形的五心 三角形中有許多重要的特殊點，特別是三角形的“五心”，在解題時有很多應(yīng)用，在本節(jié)中將分別給予介紹． 三角形的“五心”指的是三角形的外心，內(nèi)心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心 三角形的三條邊的垂直平分線交于一點,這點稱為三角形的外心(外接圓圓心)． 三角形的外心到三角形的三個頂點距離相等． 都等于三角形的外接圓半徑． 銳角三角形的外心在三角形內(nèi)； 直角三角形的外心在斜邊中點； 鈍角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的內(nèi)心 三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點,這點稱為三角形的內(nèi)心(內(nèi)切圓圓心)． 三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等,都等于三角形

2、內(nèi)切圓半徑． 內(nèi)切圓半徑r的計算： 設(shè)三角形面積為S，并記p=(a+b+c)，則r=． 特別的，在直角三角形中,有 r=(a+b－c)． 3、三角形的重心 三角形的三條中線交于一點,這點稱為三角形的重心． 上面的證明中，我們也得到了以下結(jié)論：三角形的重心到邊的中點與到相應(yīng)頂點的距離之比為 1∶ 2． 4、三角形的垂心 三角形的三條高交于一點,這點稱為三角形的垂心． 斜三角形的三個頂點與垂心這四個點中，任何三個為頂點的三角形的垂心就是第四個點．所以把這樣的四個點稱為一個“垂心組”． 5、三角形的旁心 三角形的一條內(nèi)角平分線與另兩個外角平分線交于一點,稱為三角形的旁心(旁

3、切圓圓心)． 每個三角形都有三個旁切圓． A類例題 例1 證明重心定理。 證法1 如圖，D、E、F為三邊中點，設(shè)BE、CF交于G，連接EF，顯然EFBC，由三角形相似可得GB＝2GE，GC=2GF． 又設(shè)AD、BE交于G，同理可證GB=2GE，GA=2GD，即G、G都是BE上從B到E的三分之二處的點，故G、G重合． 即三條中線AD、BE、CF相交于一點G． 證法2 設(shè)BE、CF交于G，BG、CG中點為H、I．連EF、FH、HI、IE， 因為EFBC，HIBC， 所以 EFHI為平行四邊形． 所以 HG=GE、

4、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF． 同證法1可知AG=2GD，AD、BE、CF共點． 即定理證畢． 鏈接 證明外心、內(nèi)心定理是很容易的。 外心定理的證明：如圖，設(shè)AB、BC的中垂線交于點O，則有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂線上，因為O到三頂點的距離相等，故點O是ΔABC外接圓的圓心．因而稱為外心． 內(nèi)心定理的證明：如圖，設(shè)∠A、∠C的平分線相交于I、過I作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，則有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分線上，即三角形三內(nèi)角平分線交于一點． 上述定理的證法完全適用于旁心定理，請同學(xué)們自己完成． 例2

5、證明垂心定理 分析 我們可以利用構(gòu)造外心來進(jìn)行證明。 證明 如圖，AD、BE、CF為ΔABC三條高，過點A、B、C分別作對邊的平行線相交成ΔABC，顯然AD為BC的中垂線；同理BE、CF也分別為AC、AB的中垂線，由外心定理，它們交于一點，命題得證． 鏈接 （1）對于三線共點問題還可以利用Ceva定理進(jìn)行證明，同學(xué)們可以參考第十八講的內(nèi)容。（Ceva定理）設(shè)X、Y、Z分別為△ABC的邊BC、CA、AB上的一點，則AX、BY、CZ所在直線交于一點的充要條件是=1． （2）對于三角形的五心，還可以推廣到n邊形，例如，如果我們稱n（≥3）邊形某頂點同除該點以外的n-1個頂點所決

6、定的n-1邊形的重心的連線，為n邊形的中線，（當(dāng)n-1=2時，n-1邊形退化成一線段，此時重心即為線段的中心）那么重心定理可推廣如下：n邊形的各條中線(若有重合，只算一條）相交于一點，各中線被該點分為：（n-1）∶1的兩條線段，這點叫n邊形的重心．請同學(xué)們自己研究一下其他幾個“心”的推廣。 情景再現(xiàn) 1．設(shè)G為△ABC的重心，M、N分別為AB、CA的中點，求證：四邊形GMAN和△GBC的面積相等． 2．三角形的任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的二倍． B類例題 例3 過等腰△ABC底邊BC上一點P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC

7、于N. 作點P關(guān)于MN的對稱點P.試證：P點在△ABC外接圓上.(杭州大學(xué)《中學(xué)數(shù)學(xué)競賽習(xí)題》) 分析 分析點M和N的性質(zhì)，即能得到解題思路。 證明 由已知可得MP=MP=MB，NP=NP=NC， 故點M是△PBP的外心，點N是△PPC的外心.于是有 ∠BPP=∠BMP=∠BAC， ∠PPC=∠PNC=∠BAC. ∴∠BPC=∠BPP+∠PPC=∠BAC. 從而，P點與A、B、C共圓，即P在△ABC外接圓上. 鏈接 本題可以引出更多結(jié)論，例如PP平分∠BPC、PB:PC=BP:PC等等． 例4 AD，BE，

8、CF是△ABC的三條中線，P是任意一點. 證明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一個面積等于另外兩個面積的和. (第26屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克) 證明 設(shè)G為△ABC重心，直線PG與AB，BC相交.從A，C，D，E，F(xiàn)分別作該直線的垂線，垂足為A，C，D，E，F(xiàn). 易證AA=2DD，CC=2FF，2EE=AA+CC， ∴EE=DD+FF. 有S△PGE=S△PGD+S△PGF. 兩邊各擴(kuò)大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF. 例5 設(shè)A1A2A3A4為⊙O內(nèi)接四邊形，H1，H2，H3，H4依次為△A2A3A4，△A3A4A1，△A

9、4A1A2，△A1A2A3的垂心.求證：H1，H2，H3，H4四點共圓，并確定出該圓的圓心位置. (1992，全國高中聯(lián)賽) 證明 連接A2H1，A1H2，H1H2，記圓半徑為R.由△A2A3A4知 =2RA2H1=2Rcos∠A3A2A4； 由△A1A3A4得 A1H2=2Rcos∠A3A1A4. 但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2. 易證A2H1∥A1A2，于是，A2H1A1H2， 故得H1H2A2A1.設(shè)H1A1與H2A2的交點為M，故H1H2與A1A2關(guān)于M點成中心對稱.

10、 同理，H2H3與A2A3，H3H4與A3A4，H4H1與A4A1都關(guān)于M點成中心對稱.故四邊形H1H2H3H4與四邊形A1A2A3A4關(guān)于M點成中心對稱，兩者是全等四邊形，H1，H2，H3，H4在同一個圓上.后者的圓心設(shè)為Q，Q與O也關(guān)于M成中心對稱.由O，M兩點，Q點就不難確定了. 鏈接三角形的五心有許多重要性質(zhì)，它們之間也有很密切的了解，如： （1）三角形的重心與三頂點的連線所構(gòu)成的三個三角形面積相等； （2）三角形的外心到三頂點的距離相等； （3）三角形的垂心與三頂點這四點中，任一點是其余三點所構(gòu)成的三角形的垂心； （4）三角

11、形的內(nèi)心、旁心到三邊距離相等； （5）三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心； （6）三角形的外心是它的中點三角形的垂心； （7）三角形的重心也是它的中點三角形的重心； （8）三角形的中點三角形的外心也是其垂足三角形的外心． 情景再現(xiàn) 3．在△ABC的邊AB，BC，CA上分別取點P，Q，S. 證明以△APS，△BQP，△CSQ的外心為頂點的三角形與△ABC相似. (B波拉索洛夫《中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克》) 4．如果三角形三邊的平方成等差數(shù)列，那么該三角形和由它的三條中線圍成的新三

12、角形相似.其逆亦真. C類例題 例6 H為△ABC的垂心，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB的中心.一個以H為圓心的⊙H交直線EF，F(xiàn)D，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2. 求證：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. (1989，加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題) 分析 只須證明AA1=BB1=CC1即可. 證明 設(shè)BC=a， CA=b，AB=c，△ABC外接圓半徑為R，⊙H的半徑為r. 連HA1，AH交EF于M. A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2 =r2+(AM2-MH2)，

13、 ① 又AM2-HM2=(AH1)2-(AH-AH1)2 =AHAH1-AH2=AH2AB-AH2 =cosAbc-AH2， ② 而=2RAH2=4R2cos2A, =2Ra2=4R2sin2A. ∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. ③ 由①、②、③有 A=r2+bc-(4R2-a2) = (a2+b2+c

14、2)-4R2+r2. 同理，=(a2+b2+c2)-4R2+r2， = (a2+b2+c2)-4R2+r2. 故有AA1=BB1=CC1. 例7 已知⊙O內(nèi)接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F(xiàn)且與⊙O內(nèi)切.試證：EF中點P是△ABC之內(nèi)心.(B波拉索洛夫《中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克》) 證明 如圖，顯然EF中點P、圓心Q，中點K都在∠BAC平分線上.易知AQ=. ∵QKAQ=MQQN， ∴QK= ==. 由Rt△EPQ知PQ=. ∴PK=PQ+QK=+=. ∴PK=BK. 利用內(nèi)心等

15、量關(guān)系之逆定理，即知P是△ABC這內(nèi)心. 說明 在第20屆IMO中，美國提供的一道題實際上是例7的一種特例，但它增加了條件AB=AC. 例8 在直角三角形中，求證：r+ra+rb+rc=2p.式中r，ra，rb，rc分別表示內(nèi)切圓半徑及與a，b，c相切的旁切圓半徑，p表示半周. (杭州大學(xué)《中學(xué)數(shù)學(xué)競賽習(xí)題》) 證明 設(shè)Rt△ABC中，c為斜邊，先來證明一個特性： p(p-c)=(p-a)(p-b). ∵p(p-c)= (a+b+c)(a+b-c) =[(a+b)2-c2] =ab； (p-a)(p-b)= (-a+b+c)(a

16、-b+c) =[c2-(a-b)2]= ab. ∴p(p-c)=(p-a)(p-b). ① 觀察圖形，可得 ra=AF-AC=p-b， rb=BG-BC=p-a， rc=CK=p. 而r=(a+b-c)=p-c. ∴r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p. 由①及圖形易證. 例9 M是△ABC邊AB上的任意一點.r1，r2，r分別是△AMC，△BMC，△ABC內(nèi)切圓的半徑，q1，q2，q分別是上述三角形在∠ACB內(nèi)部的旁切圓半徑.證明=.(I

17、MO-12) 證明 對任意△ABC，由正弦定理可知 OD=OA =AB =AB， OE= AB. ∴. 亦即有 = ==. 例10 銳角△ABC中，O，G，H分別是外心、重心、垂心.設(shè)外心到三邊距離和為d外，重心到三邊距離和為d重，垂心到三邊距離和為d垂. 求證：1d垂+2d外=3d重. 證明 設(shè)△ABC外接圓半徑為1，三個內(nèi)角記為A，B， C. 易知d外=OO1+OO2+OO3 =cosA+cosB+cosC， ∴2d外=2(cosA+cosB+cosC). ① ∵A

18、H1=sinBAB=sinB(2sinC)=2sinBsinC， 同樣可得BH2CH3. ∴3d重=△ABC三條高的和 =2(sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB) ② ∴=2， ∴HH1=cosCBH=2cosBcosC. 同樣可得HH2，HH3. ∴d垂=HH1+HH2+HH3 =2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB) ③ 欲證結(jié)論，觀察①、②、③， 須證(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB)+(

19、cosA+ cosB+ cosC)=sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB.即可. 說明 本題用了三角法。 情景再現(xiàn) 5.設(shè)在圓內(nèi)接凸六邊形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.試證：(1)AD，BE，CF三條對角線交于一點；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF. (1991，國家教委數(shù)學(xué)試驗班招生試題) 6．△ABC的外心為O，AB=AC，D是AB中點，E是△ACD的重心.證明OE丄CD. (加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題) 7．△ABC中∠C=30，O是外心，I是內(nèi)心，邊AC上的D點與邊BC上的E點使得AD=BE=A

20、B.求證：OI丄DE，OI=DE. (1988，中國數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)題) 習(xí)題17 1．在△ABC中，∠A是鈍角，H是垂心，且AH=BC，則cos∠BHC=( ) A．－ B． C． D． 2．如果一個三角形的面積與周長都被一條直線平分，則此直線一定通過三角形的( ) A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心(1996年全國初中聯(lián)賽) 3．(1997年安徽省初中數(shù)學(xué)競賽)若0

21、外接圓的半徑之和是( ) A． B． C．2sinacosa D． 4．ΔABC中，∠A=45，BC=a，高BE、CF交于點H，則AH=( ) A．a(chǎn) B．a(chǎn) C．a(chǎn) D．a(chǎn) 5．下面三個命題中： ⑴ 設(shè)H為ΔABC的高AD上一點，∠BHC+∠BAC=180，則點H是ΔABC的垂心； ⑵ 設(shè)G為ΔABC的中線AD上一點，且SΔAGB=SΔBGC，則點G是ΔABC的重心； ⑶ 設(shè)E是ΔABC的外角∠BAK的角平分線與ΔABC的外接圓⊙O的交點，ED是⊙O的直徑，I在線段AD上，且DI=DB，則I是Δ

22、ABC的內(nèi)心． 正確命題的個數(shù)是( ) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 6．設(shè)ΔABC的∠A=60，求證：ΔABC的外心O、內(nèi)心I、垂心H及點B、C五點在同一個圓上． 7．已知P是□ABCD內(nèi)的一點，O為AC與BD的交點，M、N分別為PB、PC中點，Q為AN與DM的交點．求證： ⑴ P、Q、O三點在一條直線上； ⑵ PQ=2OQ． 8.I為△ABC之內(nèi)心，射線AI，BI，CI交△ABC外接圓于A′， B′，C ′.則AA′+BB′+CC′＞△ABC周長.(1982，澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克) 9.△T

23、′的三邊分別等于△T的三條中線，且兩個三角形有一組角相等.求證這兩個三角形相似.(1989，捷克數(shù)學(xué)奧林匹克) 10.I為△ABC的內(nèi)心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3.求證：△O1O2O3與△ABC有公共的外心.(1988，美國數(shù)學(xué)奧林匹克) 11.AD為△ABC內(nèi)角平分線.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.則△OO1O2是等腰三角形. 12.△ABC中∠C＜90，從AB上M點作CA，CB的垂線MP，MQ.H是△CPQ的垂心.當(dāng)M是AB上動點時，求H的軌跡.(IMO-7) 本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答 1．證明 如圖，連GA，因為M、N分別為AB、

24、CA的中點，所以△AMG的面積=△GBM的面積，△GAN的面積=△GNC的面積, 即四邊形GMAN和△GBC的面積相等． 2．證明 如圖，O為ΔABC的外心，H為垂心，連CO交ΔABC外接圓于D，連DA、DB，則DA⊥AC，BD⊥BC，又AH⊥BC，BH⊥AC．所以DA∥BH，BD∥AH，從而四邊形DAHB為平行四邊形。又顯然DB=2OM，所以AH=2OM． 同理可證 BH=2ON，CH=2OK．證畢． 3．提示：設(shè)O1，O2，O3是△APS，△BQP，△CSQ的外心，作出六邊形O1PO2QO3S后再由外心性質(zhì)可知∠PO1S=2∠A，∠QO2P=2∠B，∠SO

25、3Q=2∠C. ∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360.從而又知∠O1PO2+∠O2QO3+∠O3SO1=360 將△O2QO3繞著O3點旋轉(zhuǎn)到△KSO3，易判斷△KSO1≌△O2PO1， 同時可得△O1O2O3≌△O1KO3.∴∠O2O1O3=∠KO1O3=∠O2O1K = (∠O2O1S+∠SO1K)= (∠O2O1S+∠PO1O2)= ∠PO1S=∠A； 同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC. 4．提示：將△ABC簡記為△，由三中線AD，BE，CF圍成的三角形簡記為△.G為重心，連DE到H，使EH=DE，連HC，HF，則△就是△HCF.

26、(1)a2，b2，c2成等差數(shù)列△∽△.若△ABC為正三角形，易證△∽△.不妨設(shè)a≥b≥c，有 CF=，BE=，AD=. 將a2+c2=2b2，分別代入以上三式，得CF=，BE=，AD=. ∴CF:BE:AD =::=a:b:c. 故有△∽△′. (2)△∽△′a2，b2，c2成等差數(shù)列.當(dāng)△中a≥b≥c時， △′中CF≥BE≥AD.∵△∽△′，∴＝()2. 據(jù)“三角形的三條中線圍成的新三角形面積等于原三角形面積的”，有=. ∴=3a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2. 5.證

27、明 連接AC，CE，EA，由已知可證AD，CF，EB是△ACE的三條內(nèi)角平分線，I為△ACE的內(nèi)心.從而有ID=CD=DE，IF=EF=FA，IB=AB=BC. 再由△BDF，易證BP，DQ，F(xiàn)S是它的三條高，I是它的垂心，利用 不等式有： BI+DI+FI≥2(IP+IQ+IS). 不難證明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS. ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC. ∴AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI) ≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF. I就是一點兩

28、心. 6．提示：設(shè)AM為高亦為中線，取AC中點 F，E必在DF上且DE:EF=2:1.設(shè) CD交AM于G，G必為△ABC重心. 連GE，MF，MF交DC于K.易證： DG:GK=DC:()DC=2:1. ∴DG:GK=DE:EFGE∥MF. ∵OD丄AB，MF∥AB， ∴OD丄MFOD丄GE.但OG丄DEG又是△ODE之垂心. 易證OE丄CD. 7．提示：輔助線如圖所示，作∠DAO平分線交BC于K. 易證△AID≌△AIB≌△EIB， ∠AID=∠AIB=∠EIB. 利用內(nèi)心張角公式，有

29、 ∠AIB=90+∠C=105， ∴∠DIE=360-1053=45. ∵∠AKB=30+∠DAO=30+ (∠BAC-∠BAO)=30+ (∠BAC-60)=∠BAC=∠BAI=∠BEI. ∴AK∥IE. 由等腰△AOD可知DO丄AK，∴DO丄IE，即DF是△DIE的一條高. 同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE.由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE. 習(xí)題17解答 1． B；2．A；3．A；4．C；5．選B，只有（3）是對的； 6．略；7．略；8.略；9.略；10.略；11.略；12. H的軌跡是一條線段. . 友情提示：部分文檔來自網(wǎng)絡(luò)整理，供您參考！文檔可復(fù)制、編制，期待您的好評與關(guān)注！ - 10 - / 10